Teorema de Whitehead

En la teoría de la homotopía (una rama de las matemáticas ), el teorema de Whitehead establece que si una aplicación continua f entre complejos CW X e Y induce isomorfismos en todos los grupos de homotopía , entonces f es una equivalencia homotópica . Este resultado fue demostrado por JHC Whitehead en dos artículos fundamentales de 1949 y proporciona una justificación para trabajar con el concepto de complejo CW que él introdujo en dichos trabajos. Se trata de un resultado modelo de la topología algebraica , en la que el comportamiento de ciertos invariantes algebraicos (en este caso, grupos de homotopía) determina una propiedad topológica de una aplicación.

En mayor detalle, sean X e Y espacios topológicos . Dada una aplicación continua

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

y un punto x en X , consideremos para cualquier n ≥ 0 el homomorfismo inducido

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x)),}$

donde π _n ( X , x ) denota el n -ésimo grupo de homotopía de X con punto base x . (Para n = 0, π ₀ ( X ) simplemente significa el conjunto de componentes de camino de X .) Una aplicación f es una equivalencia de homotopía débil si la función

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)}$

es biyectiva y los homomorfismos${\displaystyle f_{*}}$son biyectivas para todo x en X y todo n ≥ 1. (Para X e Y conexos por caminos , la primera condición es automática, y basta con enunciar la segunda condición para un solo punto x en X ). El teorema de Whitehead establece que una equivalencia homotópica débil de un complejo CW a otro es una equivalencia homotópica. (Es decir, la aplicación f : X → Y tiene una inversa homotópica g : Y → X , lo cual no es del todo claro a partir de las suposiciones). Esto implica la misma conclusión para espacios X e Y que son homotópicamente equivalentes a complejos CW.

Combinando esto con el teorema de Hurewicz se obtiene un corolario útil: una aplicación continua.${\displaystyle f\colon X\to Y}$Entre complejos CW simplemente conexos que inducen un isomorfismo en todos los grupos de homología integrales se produce una equivalencia homotópica.

Una advertencia: no basta con suponer que π _n ( X ) es isomorfo a π _n ( Y ) para cada n para concluir que X e Y son homotópicamente equivalentes. Se necesita una aplicación f  : X → Y que induzca un isomorfismo en los grupos de homotopía. Por ejemplo, consideremos X = S ² × RP ³ e Y = RP ² × S ^3. Entonces X e Y tienen el mismo grupo fundamental , a saber, el grupo cíclico Z /2, y el mismo recubrimiento universal, a saber, S ² × S ³ ; por lo tanto, tienen grupos de homotopía isomorfos. Por otro lado, sus grupos de homología son diferentes (como se puede ver en la fórmula de Künneth ); por lo tanto, X e Y no son homotópicamente equivalentes.

El teorema de Whitehead no se cumple para espacios topológicos generales ni siquiera para todos los subespacios de R ⁿ . Por ejemplo, el círculo de Varsovia , un subconjunto compacto del plano, tiene todos los grupos de homotopía iguales a cero, pero la aplicación del círculo de Varsovia a un punto no es una equivalencia homotópica. El estudio de posibles generalizaciones del teorema de Whitehead a espacios más generales forma parte de la teoría de formas .

• Whitehead, JHC (1949). "Homotopía combinatoria. I" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 55 (3): 213– 245. doi : 10.1090/s0002-9904-1949-09175-9 .
• Whitehead, JHC (1949). "Homotopía combinatoria. II" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 55 (5): 453– 496. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09213-3 . MR 0030760 . 
• A. Hatcher , Topología algebraica , Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-Xy ISBN 0-521-79540-0 (véase el Teorema 4.5)
• "8.8 Teorema de Whitehead y principio de Whitehead". Teoría de tipos homotópicos: Fundamentos univalentes de las matemáticas . Instituto de Estudios Avanzados del Programa de Fundamentos Univalentes. 12 de marzo de 2013.
• May, JP (8 de septiembre de 1983). «Los teoremas duales de Whitehead». Topological Topics : 46–54 . doi : 10.1017/CBO9780511600760.004 . ISBN 978-0-521-27581-1.
• May, JP; Ponto, K. (2011). Topología algebraica más concisa . doi : 10.7208/chicago/9780226511795.001.0001 . ISBN 978-0-226-51178-8.
• Griffiths, Phillip ; Morgan, John (2013). «El teorema de Whitehead y el teorema de Hurewicz». Teoría de la homotopía racional y formas diferenciales . Progress in Mathematics. Vol.  16. pp. 27–40 . doi : 10.1007/978-1-4614-8468-4_4 . ISBN  978-1-4614-8467-7.