Función zeta aritmética

En matemáticas , la función zeta aritmética es una función zeta asociada a un esquema de tipo finito sobre los enteros . La función zeta aritmética generaliza la función zeta de Riemann y la función zeta de Dedekind a dimensiones superiores. La función zeta aritmética es uno de los objetos más fundamentales de la teoría de números .

La función zeta aritmética ζ _X ( s ) se define mediante un producto de Euler análogo a la función zeta de Riemann :

${\displaystyle {\zeta _{X}(s)}=\prod _{x}{\frac {1}{1-N(x)^{-s}}},}$

donde el producto se toma sobre todos los puntos cerrados x del esquema X. Equivalentemente, el producto se toma sobre todos los puntos cuyo campo residual es finito. La cardinalidad de este campo se denota N ( x ) .

Si X es el espectro de un campo finito con q elementos, entonces

${\displaystyle \zeta _{X}(s)={\frac {1}{1-q^{-s}}}.}$

Para una variedad X sobre un cuerpo finito, se sabe por la fórmula de traza de Grothendieck que

${\displaystyle \zeta _ {X}(s)=Z(X,q^{-s})}$

donde es una función racional (es decir, un cociente de polinomios). ${\displaystyle Z(X,t)}$

Dadas dos variedades X e Y sobre un cuerpo finito, la función zeta de viene dada por ${\displaystyle X\times Y}$

${\displaystyle Z(X,t)\star Z(Y,t)=Z(X\times Y,t),}$

donde denota la multiplicación en el anillo de vectores de Witt de los enteros. ^{[ 1 ]}${\displaystyle \star }$${\displaystyle W(\mathbf {Z} )}$

Si X es el espectro del anillo de enteros, entonces ζ _X ( s ) es la función zeta de Riemann. De manera más general, si X es el espectro del anillo de enteros de un cuerpo numérico algebraico , entonces ζ _X ( s ) es la función zeta de Dedekind .

La función zeta de los espacios afines y proyectivos sobre un esquema X viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _ {\mathbf {A} ^{n}(X)}(s)&=\zeta _ {X}(sn)\\\zeta _ {\mathbf {P} ^{n}(X)}(s)&=\prod _ {i=0}^{n}\zeta _ {X}(si)\end{aligned}}}$

La segunda ecuación se puede deducir de la primera usando que, para cualquier X que sea la unión disjunta de un subesquema cerrado y abierto U y V , respectivamente,

${\displaystyle \zeta _ {X}(s)=\zeta _ {U}(s)\zeta _ {V}(s).}$

De forma aún más general, una fórmula similar se cumple para uniones disjuntas infinitas. En particular, esto muestra que la función zeta de X es el producto de las funciones zeta de la reducción de X módulo los primos p :

${\displaystyle \zeta _{X}(s)=\prod _{p}\zeta _{X_{p}}(s).}$

Dicha expresión, que abarca todos los números primos, se denomina a veces producto de Euler , y cada factor se llama factor de Euler. En muchos casos de interés, la fibra genérica X _Q es lisa . Entonces, solo un número finito de X _p son singulares ( mala reducción ). Para casi todos los primos, es decir, cuando X tiene buena reducción, se sabe que el factor de Euler coincide con el factor correspondiente de la función zeta de Hasse-Weil de X _Q. Por lo tanto, estas dos funciones están estrechamente relacionadas.

Existen varias conjeturas sobre el comportamiento de la función zeta de un esquema equidimensional irreducible regular X (de tipo finito sobre los enteros). Muchas (aunque no todas) de estas conjeturas generalizan el caso unidimensional de teoremas bien conocidos sobre la función zeta de Euler-Riemann-Dedekind.

El esquema no tiene por qué ser plano sobre Z ; en este caso, se trata de un esquema de tipo finito sobre algún F _p . Esto se denomina caso característico p más adelante. En este último caso, se conocen muchas de estas conjeturas (con la notable excepción de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , es decir, el estudio de valores especiales). Se sabe muy poco sobre esquemas planos sobre Z de dimensión dos o superior.

Hasse y Weil conjeturaron que ζ _X ( s ) tiene una continuación meromorfa al plano complejo y satisface una ecuación funcional con respecto a s → n − s donde n es la dimensión absoluta de X .

Esto se demuestra para n = 1 y algunos casos muy especiales cuando n > 1 para esquemas planos sobre Z y para todo n en característica positiva. Es una consecuencia de las conjeturas de Weil (más precisamente, de la parte de la hipótesis de Riemann) que la función zeta tenga una continuación meromorfa hasta . ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>n-{\tfrac {1}{2}}}$

Según la hipótesis generalizada de Riemann, se conjetura que los ceros de ζ _X ( s ) se encuentran dentro de la franja crítica 0 ≤ Re( s ) ≤ n están sobre las líneas verticales Re( s ) = 1/2, 3/2, ... y los polos de ζ _X ( s ) dentro de la franja crítica 0 ≤ Re( s ) ≤ n están sobre las líneas verticales Re( s ) = 0, 1, 2, ... .

Esto fue demostrado ( Emil Artin , Helmut Hasse , André Weil , Alexander Grothendieck , Pierre Deligne ) en característica positiva para todo n . No está demostrado para ningún esquema que sea plano sobre Z. La hipótesis de Riemann es un caso parcial de la Conjetura 2.

Sujeto a la continuación analítica, se conjetura que el orden del cero o polo y el residuo de ζ _X ( s ) en puntos enteros dentro de la franja crítica se pueden expresar mediante invariantes aritméticos importantes de X . Un argumento debido a Serre basado en las propiedades elementales anteriores y la normalización de Noether muestra que la función zeta de X tiene un polo en s = n cuyo orden es igual al número de componentes irreducibles de X con dimensión máxima. ^{[ 2 ]} En segundo lugar, Tate conjeturó ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathrm {ord} _{s=n-1}\zeta _{X}(s)=rk{\mathcal {O}}_{X}^{\times }(X)-rk\mathrm {Pic} (X)}$

Es decir, el orden de los polos se puede expresar mediante el rango de los grupos de funciones regulares invertibles y el grupo de Picard . La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es un caso parcial de esta conjetura. De hecho, esta conjetura de Tate es equivalente a una generalización de la de Birch y Swinnerton-Dyer.

Más en general, conjeturó Soulé ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {ord} _{s=n-m}\zeta _{X}(s)=-\sum _{i}(-1)^{i}rkK_{i}(X)^{(m)}}$

El lado derecho denota los autoespacios de Adams de la K -teoría algebraica de X. Estos rangos son finitos bajo la conjetura de Bass .

Estas conjeturas se conocen cuando n = 1 , es decir, en el caso de anillos numéricos y curvas sobre cuerpos finitos. En cuanto a n > 1 , se han demostrado casos parciales de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, pero incluso en característica positiva la conjetura permanece abierta.

La función zeta aritmética de un esquema aritmético equidimensional conexo regular de dimensión de Kronecker n puede factorizarse en el producto de factores L definidos adecuadamente y un factor auxiliar. Por lo tanto, los resultados sobre las funciones L implican resultados correspondientes para las funciones zeta aritméticas. Sin embargo, todavía existen muy pocos resultados probados sobre los factores L de esquemas aritméticos en característica cero y dimensiones 2 y superiores. Ivan Fesenko inició ^{[ 5 ]} una teoría que estudia las funciones zeta aritméticas directamente, sin trabajar con sus factores L. Es una generalización de dimensión superior de la tesis de Tate , es decir, utiliza grupos adele superiores , integral zeta superior y objetos que provienen de la teoría de campos de clase superior . En esta teoría, la continuación meromorfa y la ecuación funcional de modelos regulares propios de curvas elípticas sobre campos globales están relacionadas con la propiedad de periodicidad media de una función de frontera. ^{[ 6 ]} En su trabajo conjunto con M. Suzuki y G. Ricotta se propone una nueva correspondencia en teoría de números, entre las funciones zeta aritméticas y las funciones periódicas medias en el espacio de funciones suaves en la recta real de crecimiento no mayor que exponencial. ^{[ 7 ]} Esta correspondencia está relacionada con la correspondencia de Langlands . Otras dos aplicaciones de la teoría de Fesenko son a los polos de la función zeta de modelos propios de curvas elípticas sobre campos globales y al valor especial en el punto central. ^{[ 8 ]}

Fuentes

• François Bruhat (1963). Lecciones sobre algunos aspectos del análisis p-ádico . Instituto Tata de Investigación Fundamental.
• Serre, Jean-Pierre (1969-1970). "Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définiciones y conjeturas)". Seminario Delange-Pisot-Poitou . 19 .