lema de normalización de Noether

En matemáticas , el lema de normalización de Noether es un resultado del álgebra conmutativa , introducido por Emmy Noether en 1926. ^{[ 1 ]} Afirma que para cualquier campo${\displaystyle k}$y cualquier k -álgebra conmutativa generada de forma finita${\displaystyle A}$, existen elementos${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots,y_{d}}$en${\displaystyle A}$que son algebraicamente independientes sobre${\displaystyle k}$y tal que${\displaystyle A}$es un módulo finitamente generado sobre el anillo de polinomios${\displaystyle S=k[y_{1},y_{2},\ldots ,y_{d}]}$. El número entero${\displaystyle d}$es igual a la dimensión de Krull del anillo${\displaystyle A}$; y si${\displaystyle A}$es un dominio integral ,${\displaystyle d}$es también el grado de trascendencia del campo de fracciones de${\displaystyle A}$sobre k.

El teorema tiene una interpretación geométrica. Supongamos que A es el anillo de coordenadas de una variedad afín X , y consideremos S como el anillo de coordenadas de un espacio afín de dimensión d.${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$. Luego el mapa de inclusión${\displaystyle S\hookrightarrow A}$induce un morfismo finito sobreyectivo de variedades afines${\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{d}}$Es decir, cualquier variedad afín es un recubrimiento ramificado de un espacio afín. Cuando k es infinito, dicho recubrimiento ramificado puede construirse mediante una proyección general desde un espacio afín que contiene a X a un subespacio de dimensión d .

De forma más general, en el lenguaje de los esquemas , el teorema puede enunciarse equivalentemente como: todo k -esquema afín (de tipo finito ) X es finito sobre un espacio afín n- dimensional. El teorema puede refinarse para incluir una cadena de ideales de R (o, equivalentemente, subconjuntos cerrados de X ) que son finitos sobre los subespacios de coordenadas afines de las dimensiones correspondientes. ^{[ 2 ]}

El lema de normalización de Noether puede utilizarse como un paso importante para demostrar el Nullstellensatz de Hilbert , uno de los resultados más fundamentales de la geometría algebraica clásica . El teorema de normalización también es una herramienta importante para establecer las nociones de dimensión de Krull para k -álgebras.

Teorema. ( Lema de normalización de Noether ) Sea k un cuerpo y${\displaystyle A=k[y_{1}',...,y_{m}']}$Sea una k -álgebra finitamente generada . Entonces, para algún entero d ,${\displaystyle 0\leq d\leq m}$, existen${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{d}\in A}$algebraicamente independiente sobre k tal que A es finito (es decir, finitamente generado como módulo) sobre${\displaystyle k[y_{1},\ldots ,y_{d}]}$(el entero d es entonces igual a la dimensión de Krull de A ). Si A es un dominio de integridad, entonces d es también el grado de trascendencia del campo de fracciones de A sobre k .

La siguiente demostración se debe a Nagata y aparece en el Libro Rojo de Mumford . Una segunda demostración, de carácter más geométrico, se presenta en la página 176 del mismo texto.

Prueba: Haremos inducción sobre m . Caso${\displaystyle m=0}$es${\displaystyle k=A}$y no hay nada que demostrar. Supongamos${\displaystyle m=1}$. Entonces${\displaystyle A\cong k[y]/I}$como k -álgebras, donde${\displaystyle I\subset k[y]}$es algún ideal. Dado que${\displaystyle k[y]}$es un PID (es un dominio euclidiano ),${\displaystyle I=(f)}$. Si${\displaystyle f=0}$Hemos terminado, así que supongamos${\displaystyle f\neq 0}$. Sea e el grado de f . Entonces A se genera, como un espacio vectorial k , por${\displaystyle 1,y,y^{2},\dots,y^{e-1}}$Por lo tanto, A es finito sobre k . Supongamos ahora${\displaystyle m\geq 2}$. Si el${\displaystyle y_{i}'}$son algebraicamente independientes, entonces al establecer${\displaystyle y_{i}=y_{i}'}$, hemos terminado. Si no, basta con probar la afirmación de que existe una k -subálgebra S de A que es generada por${\displaystyle m-1}$elementos, tales que A es finito sobre S. De hecho, por la hipótesis inductiva, podemos encontrar, para algún entero d ,${\displaystyle 0\leq d\leq m-1}$elementos algebraicamente independientes${\displaystyle y_{1},...,y_{d}}$de S tal que S es finito sobre${\displaystyle k[y_{1},...,y_{d}]}$. Dado que A es finito sobre S y S es finito sobre${\displaystyle k[y_{1},...,y_{d}]}$, obtenemos la conclusión deseada de que A es finito sobre${\displaystyle k[y_{1},...,y_{d}]}$.

Para probar la afirmación, asumimos por hipótesis que la${\displaystyle y_{i}'}$no son algebraicamente independientes, de modo que existe un polinomio no nulo f en m variables sobre k tal que

${\displaystyle f(y_{1}',\ldots ,y_{m}')=0}$.

Dado un número entero r que se determinará más adelante, establezca

${\displaystyle z_{i}=y_{i}'-(y_{1}')^{r^{i-1}},\quad 2\leq i\leq m,}$

y, para simplificar la notación, escribimos${\displaystyle {\tilde {y}}=y_{1}'.}$

A continuación se lee:

${\displaystyle f({\tilde {y}},z_{2}+{\tilde {y}}^{r},z_{3}+{\tilde {y}}^{r^{2}},\ldots ,z_{m}+{\tilde {y}}^{r^{m-1}})=0.\ \ \ (*)}$

Ahora bien, si${\displaystyle a{\tilde {y}}^{\alpha _{1}}\prod _{2}^{m}(z_{i}+{\tilde {y}}^{r^{i-1}})^{\alpha _{i}}}$es un monomio que aparece en el lado izquierdo de la ecuación anterior, con coeficiente${\displaystyle a\in k}$, el término más alto en${\displaystyle {\tilde {y}}}$Después de expandir el producto se ve así:

${\displaystyle a{\tilde {y}}^{\alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}}$.

Siempre que el exponente anterior coincida con el más alto${\displaystyle {\tilde {y}}}$exponente producido por algún otro monomio, es posible que el término más alto en${\displaystyle {\tilde {y}}}$de${\displaystyle f({\tilde {y}},z_{2}+{\tilde {y}}^{r},z_{3}+{\tilde {y}}^{r^{2}},...,z_{m}+{\tilde {y}}^{r^{m-1}})}$no será de la forma anterior, porque puede verse afectado por la cancelación. Sin embargo, si r es suficientemente grande (por ejemplo, podemos establecer${\displaystyle r=1+\deg f}$), luego cada uno${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$codifica un número base r único , por lo que esto no ocurre. Para tal r , sea${\displaystyle c\in k}$Sea el coeficiente del monomio único de f de grado múltiple.${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$para la cual la cantidad${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$es máximo. Multiplicación de${\displaystyle (*)}$por${\displaystyle 1/c}$proporciona una ecuación de dependencia integral de${\displaystyle {\tilde {y}}}$encima${\displaystyle S=k[z_{2},...,z_{m}]}$, es decir,${\displaystyle y_{1}'(={\tilde {y}})}$es integral sobre S. Además, porque${\displaystyle A=S[y_{1}']}$, A es de hecho finito sobre S. Esto completa la demostración de la afirmación, así que hemos terminado con la primera parte.

Además, si A es un dominio de integridad, entonces d es el grado de trascendencia de su cuerpo de fracciones. En efecto, A y el anillo de polinomios${\displaystyle S=k[y_{1},...,y_{d}]}$tienen el mismo grado de trascendencia (es decir, el grado del cuerpo de fracciones) ya que el cuerpo de fracciones de A es algebraico sobre el de S (como A es integral sobre S ) y S tiene grado de trascendencia d . Por lo tanto, queda por demostrar que la dimensión de Krull de S es d . (Esto también es una consecuencia de la teoría de la dimensión ). Inducimos sobre d , con el caso${\displaystyle d=0}$siendo trivial. Desde${\displaystyle 0\subsetneq (y_{1})\subsetneq (y_{1},y_{2})\subsetneq \cdots \subsetneq (y_{1},\dots,y_{d})}$es una cadena de ideales primos, la dimensión es al menos d . Para obtener la estimación inversa, sea${\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}$ser una cadena de ideales primordiales. Que${\displaystyle 0\neq u\in {\mathfrak {p}}_{1}}$Aplicamos la normalización de Noether y obtenemos${\displaystyle T=k[u,z_{2},\dots ,z_{d}]}$(en el proceso de normalización, podemos elegir libremente la primera variable) de tal manera que S sea integral sobre T. Por la hipótesis inductiva,${\displaystyle T/(u)}$tiene dimensión${\displaystyle d-1}$. Por incomparabilidad ,${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\cap T}$es una cadena de longitud${\displaystyle m}$y luego, en${\displaystyle T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)}$, se convierte en una cadena de longitud${\displaystyle m-1}$. Desde${\displaystyle \operatorname {dim} T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)\leq \operatorname {dim} T/(u)}$, tenemos${\displaystyle m-1\leq d-1}$. Por eso,${\displaystyle \dim S\leq d}$.${\displaystyle \square }$

El siguiente refinamiento aparece en el libro de Eisenbud, que se basa en la idea de Nagata: ^{[ 2 ]}

Geométricamente hablando, la última parte del teorema dice que para${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A\subset \mathbf {A} ^{m}}$cualquier proyección lineal general${\displaystyle \mathbf {A} ^{m}\to \mathbf {A} ^{d}}$induce un morfismo finito${\displaystyle X\to \mathbf {A} ^{d}}$(cf. la introducción); además de Eisenbud, véase también.

Una aplicación no trivial típica del lema de normalización es el teorema genérico de libertad : Sea${\displaystyle A,B}$sean anillos tales que${\displaystyle A}$es un dominio integral noetheriano y supongamos que hay un homomorfismo de anillos${\displaystyle A\to B}$que exhibe${\displaystyle B}$como un álgebra finitamente generada sobre${\displaystyle A}$. Luego hay algunos${\displaystyle 0\neq g\in A}$de tal manera que${\displaystyle B[g^{-1}]}$es gratis${\displaystyle A[g^{-1}]}$-módulo.

Para probar esto, dejemos${\displaystyle F}$sea ​​el campo de fracciones de${\displaystyle A}$. Argumentamos por inducción sobre la dimensión de Krull de${\displaystyle F\otimes _{A}B}$. El caso base es cuando la dimensión de Krull es${\displaystyle -\infty }$; es decir,${\displaystyle F\otimes _{A}B=0}$; es decir, cuando hay algo${\displaystyle 0\neq g\in A}$de tal manera que${\displaystyle gB=0}$, de modo que${\displaystyle B[g^{-1}]}$es gratis como un${\displaystyle A[g^{-1}]}$-módulo. Para el paso inductivo, tenga en cuenta que${\displaystyle F\otimes _{A}B}$es un finito generado${\displaystyle F}$-álgebra. Por lo tanto, según el lema de normalización de Noether,${\displaystyle F\otimes _{A}B}$contiene elementos algebraicamente independientes${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$de tal manera que${\displaystyle F\otimes _{A}B}$es finito sobre el anillo de polinomios${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$. Multiplicando cada uno${\displaystyle x_{i}}$por elementos de${\displaystyle A}$podemos asumir${\displaystyle x_{i}}$están en${\displaystyle B}$Ahora consideramos:

${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]\to B.}$

Ahora${\displaystyle B}$puede que no sea finito${\displaystyle A'}$, pero se volverá finito después de invertir un solo elemento de la siguiente manera. Si${\displaystyle b}$es un elemento de${\displaystyle B}$, entonces, como un elemento de${\displaystyle F\otimes _{A}B}$, es integral sobre${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$; es decir,${\displaystyle b^{n}+a_{1}b^{n-1}+\dots +a_{n}=0}$para algunos${\displaystyle a_{i}}$en${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$Por lo tanto, algunos${\displaystyle 0\neq g\in A}$mata todos los denominadores de los coeficientes de${\displaystyle a_{i}}$y entonces${\displaystyle b}$es integral sobre${\displaystyle A'[g^{-1}]}$. Elegir un número finito de generadores de${\displaystyle B}$como un${\displaystyle A'}$-álgebra y aplicando esta observación a cada generador, encontramos algunos${\displaystyle 0\neq g\in A}$de tal manera que${\displaystyle B[g^{-1}]}$es integral (por lo tanto finito) sobre${\displaystyle A'[g^{-1}]}$. Reemplazar${\displaystyle B,A}$por${\displaystyle B[g^{-1}],A[g^{-1}]}$y entonces podemos suponer${\displaystyle B}$es finito sobre${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]}$Para finalizar, consideremos una filtración finita.${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset B_{2}\supset \cdots \supset B_{r}}$por${\displaystyle A'}$-submódulos tales que${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}\simeq A'/{\mathfrak {p}}_{i}}$por ideales primordiales${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$(tal filtración existe según la teoría de los primos asociados ). Para cada i , si${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\neq 0}$, por hipótesis inductiva, podemos elegir algunos${\displaystyle g_{i}\neq 0}$en${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle A'/{\mathfrak {p}}_{i}[g_{i}^{-1}]}$es gratis como un${\displaystyle A[g_{i}^{-1}]}$-módulo, mientras${\displaystyle A'}$es un anillo de polinomios y por lo tanto libre. Por lo tanto, con${\displaystyle g=g_{0}\cdots g_{r}}$,${\displaystyle B[g^{-1}]}$es un módulo gratuito sobre${\displaystyle A[g^{-1}]}$.${\displaystyle \square }$

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica , Graduate Texts in Mathematics , vol.  150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR 1322960 , Zbl 0819.13001  
• Mumford, David (1988), El libro rojo de variedades y esquemas , Notas de clase en matemáticas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 978-3-662-21581-4
• "Teorema de Noether" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]. Nota: el lema se encuentra en los comentarios de actualización.
• Noether, Emmy (1926), "Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p " , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 28– 35, archivado desde el original el 8 de marzo de 2013

• Robertz, D.: Normalización de Noether guiada por descomposiciones de cono monomial. Journal of Symbolic Computation 44(10), 1359–1373 (2009)