Fórmula de trazas de Grothendieck

En geometría algebraica , la fórmula de la traza de Grothendieck expresa el número de puntos de una variedad sobre un cuerpo finito en términos de la traza del endomorfismo de Frobenius sobre sus grupos de cohomología . Existen varias generalizaciones: el endomorfismo de Frobenius puede sustituirse por un endomorfismo más general, en cuyo caso los puntos sobre un cuerpo finito se sustituyen por sus puntos fijos; y también existe una versión más general para un haz sobre la variedad, donde los grupos de cohomología se sustituyen por cohomología con coeficientes en el haz.

La fórmula de traza de Grothendieck es un análogo en geometría algebraica del teorema del punto fijo de Lefschetz en topología algebraica .

Una aplicación de la fórmula de traza de Grothendieck consiste en expresar la función zeta de una variedad sobre un cuerpo finito, o más generalmente la serie L de un haz, como una suma sobre trazas de Frobenius en grupos de cohomología. Este es uno de los pasos utilizados en la demostración de las conjeturas de Weil .

La fórmula de traza de Behrend generaliza la fórmula a pilas algebraicas .

Sea k un cuerpo finito, l un número primo invertible en k , X un k -esquema suave de dimensión n , y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$un constructible${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$-haz en X . Entonces la siguiente expresión cohomológica para la función L de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$contiene:

${\displaystyle L(X,{\mathcal {F}},t)=\prod _{i=0}^{2n}\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))^{(-1)^{i+1}}={\frac {\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n-1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}{\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{0}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}}}$

donde F es en todas partes una acción geométrica de Frobenius sobre la cohomología l -ádica con soportes compactos del haz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Al tomar derivadas logarítmicas de ambas series de potencias formales , se obtiene una afirmación sobre sumas de trazas para cada extensión de cuerpo finito E del cuerpo base k :

${\displaystyle \sum _{x\in X(E)}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,{\mathcal {F}}_{x})=\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}$

Para un haz constante${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$(considerado como${\displaystyle (\varprojlim \mathbb {Z} /l^{n}\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} }$para calificar como un haz l -ádico) el lado izquierdo de esta fórmula es el número de puntos E de X.

• Deligne, Pierre (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4½) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol.  569. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0091516 . ISBN 978-3-540-08066-4.
• Grothendieck, Alejandro (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol.  589. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0096802 . ISBN 3-540-08248-4.
• Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Étale cohomology and the Weil conjecture , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol.  13, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-12175-6, MR 0926276