Expresión en forma cerrada

En matemáticas , una expresión o fórmula de forma cerrada es aquella que se forma con constantes , variables y un conjunto de funciones consideradas básicas y conectadas por operaciones aritméticas ( +, −, ×, / y potencias enteras ) y composición de funciones . Comúnmente, las funciones básicas que se permiten en formas cerradas son la raíz enésima , la función exponencial , el logaritmo y las funciones trigonométricas . ^{[ a ]} Sin embargo, el conjunto de funciones básicas depende del contexto. Por ejemplo, si se añaden raíces polinómicas a las funciones básicas, las funciones que tienen una forma cerrada se denominan funciones elementales .

El problema de la expresión en forma cerrada surge cuando se introducen nuevas maneras de especificar objetos matemáticos , como límites , series e integrales : dado un objeto especificado con dichas herramientas, un problema natural es encontrar, si es posible, una expresión en forma cerrada de este objeto; es decir, una expresión de este objeto en términos de las formas anteriores de especificarlo.

La fórmula cuadrática

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$

es una forma cerrada de las soluciones de la ecuación cuadrática general${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

En términos más generales, en el contexto de las ecuaciones polinómicas , una forma cerrada de una solución es una solución en radicales ; es decir, una expresión en forma cerrada para la cual las funciones permitidas son solo raíces enésimas y operaciones de campo .${\displaystyle (+,-,\times ,/).}$De hecho, la teoría de campos permite demostrar que si una solución de una ecuación polinómica tiene una forma cerrada que involucra exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas, entonces también tiene una forma cerrada que no involucra estas funciones.

Existen expresiones en radicales para todas las soluciones de ecuaciones cúbicas (grado 3) y ecuaciones cuárticas (grado 4). El tamaño de estas expresiones aumenta significativamente con el grado, lo que limita su utilidad.

En grados superiores, el teorema de Abel-Ruffini establece que existen ecuaciones cuyas soluciones no pueden expresarse en radicales y, por lo tanto, no tienen formas cerradas. Un ejemplo sencillo es la ecuación${\displaystyle x^{5}-x-1=0.}$La teoría de Galois proporciona un método algorítmico para decidir si una ecuación polinómica particular puede resolverse mediante radicales.

La integración simbólica consiste esencialmente en la búsqueda de formas cerradas para las antiderivadas de funciones especificadas por expresiones de forma cerrada. En este contexto, las funciones básicas utilizadas para definir formas cerradas suelen ser los logaritmos , la función exponencial y las raíces de polinomios . Las funciones que tienen una forma cerrada para estas funciones básicas se denominan funciones elementales e incluyen las funciones trigonométricas , las funciones trigonométricas inversas , las funciones hiperbólicas y las funciones hiperbólicas inversas .

El problema fundamental de la integración simbólica consiste, por tanto, en decidir, dada una función elemental especificada por una expresión de forma cerrada, si su antiderivada es una función elemental y, en caso afirmativo, encontrar una expresión de forma cerrada para dicha antiderivada.

Para funciones racionales ; es decir, para fracciones de dos funciones polinómicas ; las antiderivadas no siempre son fracciones racionales, sino que siempre son funciones elementales que pueden involucrar logaritmos y raíces polinómicas. Esto generalmente se demuestra con la descomposición en fracciones parciales . La necesidad de logaritmos y raíces polinómicas se ilustra con la fórmula

$${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$$

lo cual es válido si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son polinomios coprimos tales que${\displaystyle g}$es cuadrado libre y${\displaystyle \deg f<\deg g.}$

Al modificar las funciones básicas para incluir funciones adicionales, se puede cambiar el conjunto de ecuaciones con soluciones analíticas. Muchas funciones de distribución acumulativa no pueden expresarse en forma analítica, a menos que se consideren básicas funciones especiales como la función de error o la función gamma . Es posible resolver la ecuación quíntica si se incluyen funciones hipergeométricas generales , aunque la solución es demasiado compleja desde el punto de vista algebraico para ser útil. Para muchas aplicaciones informáticas prácticas, es totalmente razonable suponer que la función gamma y otras funciones especiales son básicas, ya que existen numerosas implementaciones numéricas disponibles.

Este es un término que a veces se entiende como sinónimo de forma cerrada (ver "Wolfram Mathworld") .) pero este uso es controvertido (ver "Math Stackexchange") .). No está claro hasta qué punto este término se usa realmente, en contraposición a si es el resultado de versiones anteriores de esta página que no han sido citadas.

Las expresiones en forma cerrada no incluyen series infinitas ni fracciones continuas ; tampoco incluyen integrales ni límites . De hecho, según el teorema de Stone-Weierstrass , cualquier función continua en el intervalo unitario puede expresarse como un límite de polinomios, por lo que cualquier clase de funciones que contenga los polinomios y sea cerrada bajo límites incluirá necesariamente todas las funciones continuas.

De manera similar, se dice que una ecuación o sistema de ecuaciones tiene una solución analítica si y solo si al menos una solución puede expresarse como una expresión analítica; y se dice que tiene una solución analítica si y solo si al menos una solución puede expresarse como una expresión analítica. Existe una sutil distinción entre una " función analítica " y un " número analítico " en la discusión de una "solución analítica", que se analiza en ( Chow 1999 ) y más adelante . A una solución analítica o analítica se la denomina a veces solución explícita (en contraste con las ecuaciones implícitas ).

Se han propuesto tres subcampos de los números complejos C para codificar la noción de "número de forma cerrada"; en orden creciente de generalidad, estos son los números de Liouville (que no deben confundirse con los números de Liouville en el sentido de aproximación racional), los números EL y los números elementales . Los números de Liouville , denotados L , forman el subcampo algebraicamente cerrado más pequeño de C cerrado bajo exponenciación y logaritmo (formalmente, intersección de todos esos subcampos); es decir, números que involucran exponenciación y logaritmos explícitos , pero permiten polinomios explícitos e implícitos (raíces de polinomios); esto se define en ( Ritt 1948 , p. 60) . L se denominaba originalmente números elementales , pero este término ahora se usa de manera más amplia para referirse a números definidos explícita o implícitamente en términos de operaciones algebraicas, exponenciales y logaritmos. Una definición más restringida propuesta en ( Chow 1999 , pp. 441–442) , denotada E y denominada números EL , es el subcampo más pequeño de C cerrado bajo exponenciación y logaritmo; este no tiene por qué ser algebraicamente cerrado y corresponde a operaciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas explícitas . "EL" significa tanto "exponencial-logarítmico" como abreviatura de "elemental".

Que un número sea un número de forma cerrada está relacionado con que sea un número trascendental . Formalmente, los números de Liouville y los números elementales contienen los números algebraicos , e incluyen algunos, pero no todos, los números trascendentales. En cambio, los números EL no contienen todos los números algebraicos, pero sí incluyen algunos números trascendentales. Los números de forma cerrada se pueden estudiar mediante la teoría de números trascendentales , cuyo resultado principal es el teorema de Gelfond-Schneider , y cuya conjetura de Schanuel es una cuestión abierta importante .

Para los cálculos numéricos, no es necesario que las ecuaciones tengan una forma cerrada, ya que muchos límites e integrales pueden calcularse de forma eficiente. Algunas ecuaciones no tienen solución en forma cerrada, como las que representan el problema de los tres cuerpos o el modelo de Hodgkin-Huxley . Por lo tanto, los estados futuros de estos sistemas deben calcularse numéricamente.

Existe software que intenta encontrar expresiones de forma cerrada para valores numéricos, incluyendo RIES, ^{[ 3 ]} identify en Maple ^{[ 4 ]} y SymPy , ^{[ 5 ]} Plouffe's Inverter, ^{[ 6 ]} y la Calculadora Simbólica Inversa . ^{[ 7 ]}

• Solución algebraica : solución en radicales de una ecuación polinómica. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento. 
• Simulación por ordenador : proceso de modelado matemático realizado en un ordenador. 
• Función elemental – Tipo de función matemática 
• Operaciones finitas : suma, multiplicación, división, ... Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 
• Solución numérica – Métodos para aproximaciones numéricas Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 
• Función de Liouville : funciones elementales y sus integrales iteradas finitamente. 
• Regresión simbólica – Tipo de análisis de regresión 
• Problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski - Problema matemático 
• Término (lógica) – Componentes de una fórmula matemática o lógica 
• Fórmula autorreferencial de Tupper : fórmula que se representa visualmente a sí misma al ser graficada. 

• Ritt, JF (1948), Integración en términos finitos
• Chow, Timothy Y. (mayo de 1999), "¿Qué es un número de forma cerrada?", American Mathematical Monthly , 106 (5): 440– 448, arXiv : math/9805045 , doi : 10.2307/2589148 , JSTOR 2589148 
• Jonathan M. Borwein y Richard E. Crandall (enero de 2013), "Formas cerradas: qué son y por qué nos importan", Notices of the American Mathematical Society , 60 (1): 50– 65, doi : 10.1090/noti936

• Weisstein, Eric W. "Solución en forma cerrada" . MathWorld .
• Redes neuronales de tiempo continuo en forma cerrada