Número elemental

Un número elemental es una forma de formalizar el concepto de número de forma cerrada . En términos generales, es un número complejo que se puede especificar mediante operaciones algebraicas, exponenciación y logaritmos .

En la literatura aparecen varios tipos diferentes de números elementales.

Un número elemental de Joseph Fels Ritt se construye a partir de un número entero aplicando un número finito de${\displaystyle \mathbb {Q} }$-operaciones algebraicas (es decir${\displaystyle \mathbb {Q} }$-funciones algebraicas), funciones exponenciales y/o funciones logarítmicas. ^{[ 1 ]} El conjunto de estos números es el subcampo más pequeño de${\displaystyle \mathbb {C} }$que es algebraicamente cerrado y cerrado bajo${\displaystyle \exp }$y${\displaystyle \ln }$. ^{[ 2 ]} Un número elemental es una constante${\displaystyle \mathbb {Q} }$-función elemental. ^{[ 3 ]}

Un número exponencial-logarítmico de Timothy Y. Chow se construye a partir de un entero aplicando un número finito de operaciones de campo (es decir, funciones racionales) sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$, funciones exponenciales y/o funciones logarítmicas. El conjunto de estos números es la intersección de todos los subcampos de${\displaystyle \mathbb {C} }$que están cerrados bajo exp y ln. Está cerrado bajo las operaciones de campo,${\displaystyle \exp }$y${\displaystyle \ln }$. ^{[ 4 ]}

Un número elemental de Daniel Richardson es una solución de un tipo especial de sistema de ecuaciones polinómicas exponenciales. ^{[ 5 ]}

Los números de Chow se pueden presentar explícitamente, es decir, aplicando funciones racionales, exponenciales y logarítmicas, mientras que los conjuntos de Ritt y Richardson también permiten una presentación implícita, es decir, soluciones de${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ecuaciones algebraicas o sistemas polinómicos exponenciales-logarítmicos especiales.