Regularización de la función zeta

En matemáticas y física teórica , la regularización mediante la función zeta es un tipo de regularización o método de sumabilidad que asigna valores finitos a sumas o productos divergentes , y en particular puede utilizarse para definir determinantes y trazas de algunos operadores autoadjuntos . Esta técnica se aplica actualmente con frecuencia a problemas de física , pero tiene su origen en los intentos de dar significados precisos a sumas mal condicionadas que aparecen en la teoría de números .

Existen varios métodos de suma diferentes, denominados regularización de la función zeta, para definir la suma de una serie posiblemente divergente a ₁ + a ₂ + ....

Un método consiste en definir su suma regularizada zeta como ζ _A ( − 1) si esta está definida, donde la función zeta se define para Re( s ) grande por

${\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots }$

si esta suma converge, y por continuación analítica en otro lugar.

En el caso de que n ₌ n , la función zeta es la función zeta de Riemann ordinaria . Este método fue utilizado por Srinivasa Ramanujan para "sumar" la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ a ζ ( − 1) = − 1/12.

Stephen Hawking ( 1977 ) demostró que en el espacio plano, donde se conocen los autovalores de los laplacianos, la función zeta correspondiente a la función de partición puede calcularse explícitamente. Consideremos un campo escalar φ contenido en una caja grande de volumen V en el espacio-tiempo plano a la temperatura T = β ⁻¹ . La función de partición se define mediante una integral de trayectoria sobre todos los campos φ en el espacio euclidiano obtenido al establecer τ = it , que son cero en las paredes de la caja y que son periódicos en τ con periodo β . En esta situación, a partir de la función de partición, se calculan la energía, la entropía y la presión de la radiación del campo φ . En el caso de espacios planos, los autovalores que aparecen en las cantidades físicas son generalmente conocidos, mientras que en el caso de espacios curvos no se conocen: en este caso se necesitan métodos asintóticos.      

Another method defines the possibly divergent infinite product a₁a₂.... to be exp(−ζ′_A(0)). D. B.RayandI. M. Singer (1971) used this to define the determinant of a positive self-adjoint operatorA (the Laplacian of a Riemannian manifold in their application) with eigenvaluesa₁, a₂, ...., and in this case the zeta function is formally the trace of A^−s. S.MinakshisundaramandÅ. Pleijel (1949) showed that if A is the Laplacian of a compact Riemannian manifold then the Minakshisundaram–Pleijel zeta function converges and has an analytic continuation as a meromorphic function to all complex numbers, and R. T.Seeley (1967) extended this to elliptic pseudo-differential operatorsA on compact Riemannian manifolds. So for such operators one can define the determinant using zeta function regularization. See "analytic torsion."

Hawking (1977) suggested using this idea to evaluate path integrals in curved spacetimes. He studied zeta function regularization in order to calculate the partition functions for thermal graviton and matter's quanta in curved background such as on the horizon of black holes and on de Sitter background using the relation by the inverse Mellin transformation to the trace of the kernel of heat equations.

The first example in which zeta function regularization is available appears in the Casimir effect, which is in a flat space with the bulk contributions of the quantum field in three space dimensions. In this case we must calculate the value of Riemann zeta function at –3, which diverges explicitly. However, it can be analytically continued to s = –3 where hopefully there is no pole, thus giving a finite value to the expression. A detailed example of this regularization at work is given in the article on the detail example of the Casimir effect, where the resulting sum is very explicitly the Riemann zeta-function (and where the seemingly legerdemain analytic continuation removes an additive infinity, leaving a physically significant finite number).

Un ejemplo de regularización mediante la función zeta es el cálculo del valor esperado en el vacío de la energía de un campo de partículas en la teoría cuántica de campos . De forma más general, el método de la función zeta puede utilizarse para regularizar todo el tensor energía-momento, tanto en el espaciotiempo plano como en el curvo.

El valor no regulado de la energía viene dado por la suma de las energías de punto cero de todos los modos de excitación del vacío:

${\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _ {n}{\frac {\hbar |\omega _ {n}|}{2}}}$

Aquí,${\displaystyle T_{00}}$es el componente cero del tensor energía-momento y se entiende que la suma (que puede ser una integral) se extiende sobre todos los modos de energía (positivos y negativos).${\displaystyle \omega _{n}}$; el valor absoluto nos recuerda que la energía se considera positiva. Esta suma, tal como está escrita, suele ser infinita (${\displaystyle \omega _{n}}$es típicamente lineal en n). La suma puede regularizarse escribiéndola como

${\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _ {n}|}{2}}|\omega _ {n}|^{-s}}$

donde s es algún parámetro, que se supone que es un número complejo . Para valores grandes y reales de s mayores que 4 (para el espacio tridimensional), la suma es manifiestamente finita y, por lo tanto, a menudo se puede evaluar teóricamente.

La regularización zeta resulta útil, ya que a menudo permite preservar las diversas simetrías del sistema físico. Se emplea en la teoría de campos conformes , la renormalización y la determinación de la dimensión crítica del espaciotiempo en la teoría de cuerdas . También puede utilizarse en diversas ramas de la física de la materia condensada.incluyendo la teoría del magnetismo cuántico.

La regularización de la función zeta es equivalente a la regularización dimensional .Sin embargo, la principal ventaja de la regularización zeta es que se puede utilizar siempre que la regularización dimensional falle, por ejemplo, si hay matrices o tensores dentro de los cálculos.${\displaystyle \epsilon _{i,j,k}}$

La regularización de la función zeta proporciona una estructura analítica a cualquier suma sobre una función aritmética f ( n ). Dichas sumas se conocen como series de Dirichlet . La forma regularizada

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

convierte las divergencias de la suma en polos simples en el plano complejo s . En los cálculos numéricos, la regularización de la función zeta es inapropiada, ya que es extremadamente lenta para converger. Para fines numéricos, una suma que converge más rápidamente es la regularización exponencial, dada por

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.}$

A esto se le llama a veces la transformada Z de f , donde z  =  exp( − t ). La estructura analítica de las regularizaciones exponencial y zeta están relacionadas. Al expandir la suma exponencial como una serie de Laurent

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots }$

Se observa que la serie zeta tiene la estructura

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{sN}}+\cdots .}$

La estructura de los reguladores exponencial y zeta está relacionada mediante la transformada de Mellin . Uno puede convertirse en el otro utilizando la representación integral de la función Gamma :

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt}$

lo que conduce a la identidad

${\displaystyle \Gamma (s){\tilde {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}F(t)\,dt}$

relacionar los reguladores exponenciales y zeta, y convertir los polos en el plano s en términos divergentes en la serie de Laurent.

La suma

${\displaystyle f(s)=\sum _ {n}a_ {n}e^{-s|\omega _ {n}|}}$

a veces se le llama núcleo de calor o suma regularizada de núcleo de calor ; este nombre proviene de la idea de que el${\displaystyle \omega _{n}}$a veces se puede entender como valores propios del núcleo de calor . En matemáticas, dicha suma se conoce como una serie de Dirichlet generalizada ; su uso para promediar se conoce como media abeliana . Está estrechamente relacionada con la transformada de Laplace-Stieltjes , en el sentido de que

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)}$

dónde${\displaystyle \alpha (t)}$es una función escalón , con pasos de${\displaystyle a_{n}}$en${\displaystyle t=|\omega _{n}|}$Existen varios teoremas para la convergencia de dicha serie. Por ejemplo, según el teorema de Hardy-Littlewood Tauber, si

${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n}|}}}$

luego la serie para${\displaystyle f(s)}$converge en el semiplano${\displaystyle \Re (s)>L}$y es uniformemente convergente en cada subconjunto compacto del semiplano${\displaystyle \Re (s)>L}$En casi todas las aplicaciones a la física, uno tiene${\displaystyle L=0}$

Gran parte del trabajo inicial que estableció la convergencia y equivalencia de series regularizadas con los métodos de regularización del núcleo de calor y la función zeta fue realizado por GH Hardy y JE Littlewood en 1916.y se basa en la aplicación de la integral de Cahen-Mellin . El esfuerzo se realizó con el fin de obtener valores para varias sumas mal definidas y condicionalmente convergentes que aparecen en la teoría de números .

En cuanto a su aplicación como regulador en problemas físicos, antes de Hawking (1977) , J. Stuart Dowker y Raymond Critchley propusieron en 1976 un método de regularización de la función zeta para problemas de física cuántica.Emilio Elizalde y otros también han propuesto un método basado en la regularización zeta para las integrales.${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{ms}dx}$, aquí${\displaystyle x^{-s}}$es un regulador y la integral divergente depende de los números${\displaystyle \zeta (sm)}$en el límite${\displaystyle s\to 0}$Véase renormalización . Además, a diferencia de otras regularizaciones como la regularización dimensional y la regularización analítica, la regularización zeta no tiene contra-términos y solo proporciona resultados finitos.

• Función generadora – Serie de potencias formal 
• Fórmula de Perron : fórmula para la suma de una función aritmética. 
• Renormalización : método físico utilizado para tratar con infinitos. 
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ – Serie divergente 
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ – Serie divergente 
• Torsión analítica : invariante topológico de variedades que permite distinguir variedades homotópicamente equivalentes. 
• Suma de Ramanujan : técnicas matemáticas para sumar series infinitas divergentes. 
• Función Minakshisundaram-Pleijel zeta
• Función zeta (operador)

• ^ Tom M. Apostol, "Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números", "Springer-Verlag Nueva York. (Véase el capítulo 8.)"
• ^ A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti y S. Zerbini, «Aspectos analíticos de los campos cuánticos», World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6
• ^ GH Hardy y JE Littlewood, "Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y a la teoría de la distribución de los números primos",Acta Mathematica,41(1916), págs. 119-196.(Véase, por ejemplo, el teorema 2.12)
• Hawking, SW (1977), "Regularización de la función zeta de integrales de trayectoria en el espaciotiempo curvo" , Communications in Mathematical Physics , 55 (2): 133– 148, Bibcode : 1977CMaPh..55..133H , doi : 10.1007/BF01626516 , ISSN 0010-3616 , MR 0524257 , S2CID 121650064   
• ^ V. Moretti,Enfoque directo de la función z y renormalización del tensor de tensión de un bucle en espaciotiempos curvos, Phys. Rev. D 56, 7797 (1997).
• Minakshisundaram, S.; Pleijel, Å. (1949), "Algunas propiedades de las autofunciones del operador de Laplace en variedades riemannianas", Canadian Journal of Mathematics , 1 (3): 242– 256, doi : 10.4153/CJM-1949-021-5 , ISSN 0008-414X , MR 0031145  
• Ray, DB; Singer, IM (1971), " R -torsión y el laplaciano en variedades riemannianas", Advances in Mathematics , 7 (2): 145–210 , doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4 , MR 0295381 
• "Método de la función zeta para la regularización" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Seeley, RT (1967), "Potencias complejas de un operador elíptico", en Calderón, Alberto P. (ed.), Integrales singulares (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Chicago, Ill., 1966) , Actas de Simposios de Matemáticas Puras, vol.  10, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 288–307 , ISBN  978-0-8218-1410-9, MR 0237943 
• ^ Dowker, JS; Critchley, R. (1976), "Lagrangiano efectivo y tensor energía-momento en el espacio de De Sitter", Physical Review D , 13 (12): 3224–3232 , Bibcode : 1976PhRvD..13.3224D , doi : 10.1103/PhysRevD.13.3224
• ^ D. Fermi, L. Pizzocchero, "Regularización zeta local y el efecto Casimir escalar. Un enfoque general basado en núcleos integrales", World Scientific Publishing,ISBN 978-981-3224-99-5(tapa dura), ISBN 978-981-3225-01-5(libro electrónico). doi : 10.1142/10570 (2017).

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