Función zeta (operador)

La función zeta de un operador matemático${\displaystyle {\mathcal {O}}}$es una función definida como

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\operatorname {tr} \;{\mathcal {O}}^{-s}}$

para aquellos valores de s donde existe esta expresión, y como una continuación analítica de esta función para otros valores de s . Aquí "tr" denota una traza funcional .

La función zeta también puede expresarse como una función zeta espectral ^{[ 1 ]} en términos de los valores propios.${\displaystyle \lambda _{i}}$del operador${\displaystyle {\mathcal {O}}}$por

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\sum _{i}\lambda _{i}^{-s}}$.

Se utiliza para dar una definición rigurosa al determinante funcional de un operador, que viene dado por

${\displaystyle \det {\mathcal {O}}:=e^{-\zeta '_{\mathcal {O}}(0)}\;.}$

La función zeta de Minakshisundaram-Pleijel es un ejemplo, cuando el operador es el laplaciano de una variedad riemanniana compacta .

Una de las motivaciones más importantes para la teoría de Arakelov son las funciones zeta para operadores con el método de núcleos de calor generalizado algebraicamente. ^{[ 2 ]}

• Métrica de Quillen

• Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (2006), Geometría fractal, dimensiones complejas y funciones zeta. Geometría y espectros de cadenas fractales , Springer Monographs in Mathematics, Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-33285-5, Zbl 1119.28005 
• Fursaev, Dmitri; Vassilevich, Dmitri (2011), Operadores, geometría y cuantos: métodos de geometría espectral en la teoría cuántica de campos , Física teórica y matemática, Springer-Verlag , pág.  98, ISBN 978-94-007-0204-2