objetos iniciales y terminales

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto inicial de una categoría $C$ es un objeto $I$ en $C$ tal que para cada objeto $X$ en $C$ , existe precisamente un morfismo $I \to X.$

La noción dual es la de un objeto terminal (también llamado elemento terminal ): $T$ es terminal si para cada objeto $X$ en $C$ existe exactamente un morfismo $X \to T.$ Los objetos iniciales también se denominan coterminales o universales , y los objetos terminales también se denominan finales .

Si un objeto es a la vez inicial y terminal, se le llama objeto cero u objeto nulo . Una categoría apuntada es aquella que tiene un objeto cero.

Un objeto inicial estricto $I$ es aquel para el cual todo morfismo en $I$ es un isomorfismo ( los objetos terminales estrictos se definen de forma análoga).

Ejemplos

El conjunto vacío es el único objeto inicial en Set , la categoría de conjuntos . Todo conjunto de un solo elemento ( singular ) es un objeto terminal en esta categoría; no existen objetos nulos. De manera similar, el espacio vacío es el único objeto inicial en Top , la categoría de espacios topológicos , y todo espacio de un punto es un objeto terminal en esta categoría.
En la categoría Rel de conjuntos y relaciones, el conjunto vacío es el único objeto inicial, el único objeto terminal y, por lo tanto, el único objeto cero.

En la categoría de conjuntos con punto (cuyos objetos son conjuntos no vacíos junto con un elemento distinguido; un morfismo de $(A, a)$ a $(B, b)$ es una función $f : A \to B$ con $f (a) = b$ ), todo conjunto unitario es un objeto cero. De manera similar, en la categoría de espacios topológicos con punto , todo conjunto unitario es un objeto cero.
En Grp , la categoría de grupos , cualquier grupo trivial es un objeto cero. El objeto trivial también es un objeto cero en Ab , la categoría de grupos abelianos , Rng, la categoría de pseudoanillos , R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo, y K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo. Véase Objeto cero (álgebra) para más detalles. Este es el origen del término "objeto cero".
En Ring , la categoría de anillos con unidad y morfismos que preservan la unidad, el anillo de enteros Z es un objeto inicial. El anillo cero, que consta de un solo elemento $0 = 1,$ es un objeto terminal.
En Rig , la categoría de rigs con unidad y morfismos que preservan la unidad, el rig de números naturales N es un objeto inicial. El rig cero, que es el anillo cero , que consta de un solo elemento $0 = 1,$ es un objeto terminal.
En Campo , la categoría de campos , no existen objetos iniciales ni terminales. Sin embargo, en la subcategoría de campos de característica fija, el campo primo es un objeto inicial.
Cualquier conjunto parcialmente ordenado $(P, \leq)$ puede interpretarse como una categoría: los objetos son los elementos de $P$ , y hay un único morfismo de $x$ a $y$ si y solo si $x \leq y$ . Esta categoría tiene un objeto inicial si y solo si $P$ tiene un elemento mínimo ; tiene un objeto terminal si y solo si $P$ tiene un elemento máximo .
Cat , la categoría de categorías pequeñas con functores como morfismos, tiene como objeto inicial la categoría vacía, 0 (sin objetos ni morfismos), y como objeto terminal la categoría terminal, 1 (con un único objeto con un único morfismo identidad).
En la categoría de esquemas , Spec( Z ), el espectro primo del anillo de enteros, es un objeto terminal. El esquema vacío (igual al espectro primo del anillo cero ) es un objeto inicial.
Un límite de un diagrama F puede caracterizarse como un objeto terminal en la categoría de conos a F. De igual modo , un colímite de F puede caracterizarse como un objeto inicial en la categoría de coconos de F.
En la categoría Ch _R de complejos de cadena sobre un anillo conmutativo R , el complejo cero es un objeto cero.
En una secuencia exacta corta de la forma 0 → a → b → c → 0 , los objetos inicial y final son el objeto cero anónimo. Esto se utiliza con frecuencia en las teorías de cohomología.
En la categoría de tipos, el tipo vacío es el objeto inicial y el tipo unitario es el objeto terminal.

Propiedades

Existencia y singularidad

$No es obligatorio que los objetos iniciales y terminales existan en una categoría determinada. Sin$ embargo, si existen, son esencialmente únicos. Específicamente, si $I₁$ e $I₂$ son dos objetos iniciales diferentes, existe un isomorfismo único entre ellos. Además, si $I es un objeto inicial$ $,$ cualquier objeto isomorfo a $I$ también es un objeto inicial. Lo mismo ocurre con los objetos terminales.

Para las categorías completas hay un teorema de existencia para los objetos iniciales. Específicamente, una categoría completa ( localmente pequeña ) $C$ tiene un objeto inicial si y solo si existen un conjunto $I$ ( no una clase propia ) y una familia indexada por I $($ $K$ $i$ $)$ $de$ objetos de $C$ tales que para cualquier objeto $X$ de $C$ , hay al menos un morfismo $K$ $i$ $\to$ $X$ para algún $i$ $\in$ $I.$

Formulaciones equivalentes

Los objetos terminales en una categoría $C$ también pueden definirse como límites del diagrama vacío único $0 \to C.$ Dado que la categoría vacía es trivialmente una categoría discreta , un objeto terminal puede considerarse como un producto vacío (un producto es, en general, el límite del diagrama discreto ${Xᵢ})$ . De manera similar, un objeto inicial es un colímite del diagrama vacío $0 \to C$ y puede considerarse como un coproducto vacío o una suma categórica.

De ello se deduce que cualquier functor que preserve los límites transformará objetos terminales en objetos terminales, y cualquier functor que preserve los colímites transformará objetos iniciales en objetos iniciales. Por ejemplo, el objeto inicial en cualquier categoría concreta con objetos libres será el objeto libre generado por el conjunto vacío (ya que el functor libre , al ser adjunto izquierdo del functor olvidadizo a Set , preserva los colímites).

Los objetos iniciales y terminales también pueden caracterizarse en términos de propiedades universales y funtores adjuntos . Sea 1 la categoría discreta con un solo objeto (denotado por •), y sea $U : C \to 1$ el único funtor (constante) a 1. Entonces

Un objeto inicial $I$ en $C$ es un morfismo universal de • a $U.$ El functor que envía • a $I$ es adjunto izquierdo a U.
Un objeto terminal $T$ en $C$ es un morfismo universal de $U$ a •. El functor que envía • a $T$ es adjunto derecho de $U.$

Relación con otras construcciones categóricas

Muchas construcciones naturales en la teoría de categorías pueden formularse en términos de encontrar un objeto inicial o terminal en una categoría adecuada.

Un morfismo universal de un objeto $X$ a un functor $U$ puede definirse como un objeto inicial en la categoría coma $(X ↓ U)$ . De manera dual, un morfismo universal de $U$ a $X$ es un objeto terminal en $(U ↓ X)$ .
El límite de un diagrama $F$ es un objeto terminal en $Cone(F)$ , la categoría de conos a $F.$ De manera dual, un colímite de $F$ es un objeto inicial en la categoría de conos de $F.$
Una representación de un functor $F$ a Set es un objeto inicial en la categoría de elementos de $F.$
La noción de functor final (o functor inicial) es una generalización de la noción de objeto final (o objeto inicial).

Otras propiedades

El monoide de endomorfismo de un objeto inicial o terminal $I$ es trivial: $End(I) = Hom(I, I) = { id I}$ .
Si una categoría C $tiene$ un objeto cero $0$ , entonces para cualquier par de objetos $X$ e $Y$ en $C$ , la composición única $X \to 0 \to Y$ es un morfismo cero de $X$ a $Y.$

Referencias

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Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 5 (2.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 .
Este artículo se basa en parte en el artículo de PlanetMath sobre ejemplos de objetos iniciales y terminales, archivado el 11 de noviembre de 2005 en Wayback Machine .