Errores de tipo I y tipo II

En la teoría de las pruebas estadísticas , la noción de error estadístico es una parte integral de la prueba de hipótesis . La prueba consiste en elegir entre dos proposiciones en competencia llamadas hipótesis nula , denotadas por${\textstyle H_{0}}$y la hipótesis alternativa , denotada por${\textstyle H_{1}}$Esto es conceptualmente similar al veredicto en un juicio. La hipótesis nula corresponde a la posición del acusado: así como se presume su inocencia hasta que se demuestre su culpabilidad, la hipótesis nula se presume verdadera hasta que los datos aporten pruebas convincentes en su contra. La hipótesis alternativa corresponde a la posición contraria al acusado. Específicamente, la hipótesis nula también implica la ausencia de una diferencia o de una asociación. Por lo tanto, la hipótesis nula nunca puede ser que exista una diferencia o una asociación.

Si el resultado de la prueba se corresponde con la realidad, entonces se ha tomado una decisión correcta. Sin embargo, si el resultado de la prueba no se corresponde con la realidad, entonces se ha producido un error. Hay dos situaciones en las que la decisión es errónea. La hipótesis nula puede ser verdadera, mientras que rechazamos${\textstyle H_{0}}$Por otro lado, la hipótesis alternativa${\textstyle H_{1}}$puede ser cierto, mientras que no lo rechazamos${\textstyle H_{0}}$Se distinguen dos tipos de error: error de tipo I y error de tipo II. ^{[ 2 ]}

El primer tipo de error consiste en el rechazo erróneo de una hipótesis nula como resultado de un procedimiento de prueba. Este tipo de error se denomina error de tipo I (falso positivo) y, a veces, error de primera clase. En el contexto de un juicio, un error de tipo I equivale a condenar a un acusado inocente.

El segundo tipo de error consiste en no rechazar la hipótesis nula como resultado de una prueba. Este tipo de error se denomina error de tipo II (falso negativo) y también se conoce como error de segunda clase. En el contexto de un juicio, un error de tipo II corresponde a la absolución de un delincuente.

La tasa de error de cruce (CER) es el punto en el que los errores de tipo I y los errores de tipo II son iguales. Un sistema con un valor de CER más bajo proporciona mayor precisión que un sistema con un valor de CER más alto. En igualdad de condiciones, tener la tasa de errores de tipo I y la tasa de errores de tipo II iguales (es decir, la CER) dará como resultado la tasa de error general más baja. ^{[ 3 ]}

En términos de falsos positivos y falsos negativos, un resultado positivo corresponde al rechazo de la hipótesis nula, mientras que un resultado negativo corresponde a no rechazarla; "falso" significa que la conclusión es incorrecta. Por lo tanto, un error de tipo I equivale a un falso positivo, y un error de tipo II equivale a un falso negativo.

Relaciones tabuladas entre la veracidad/falsedad de la hipótesis nula y los resultados de la prueba: ^{[ 4 ]}

La misma idea puede expresarse en términos de la tasa de resultados correctos y, por lo tanto, utilizarse para minimizar las tasas de error y mejorar la calidad de la prueba de hipótesis. Para reducir la probabilidad de cometer un error de tipo I, aumentar el valor alfa es sencillo y eficiente. Por ejemplo, establecer el valor alfa en 0,01 en lugar de 0,05. Para disminuir la probabilidad de cometer un error de tipo II, que está estrechamente relacionado con la potencia del análisis, aumentar el tamaño de la muestra de la prueba o flexibilizar el nivel alfa (por ejemplo, establecer el nivel alfa en 0,1 en lugar de 0,05) podría aumentar la potencia del análisis. Un estadístico de prueba es robusto si se controla la tasa de error de tipo I.

Variar los valores umbral (puntos de corte) también puede utilizarse para aumentar la especificidad o la sensibilidad de la prueba, lo que a su vez mejora su calidad. Por ejemplo, imaginemos una prueba médica en la que un investigador mide la concentración de una proteína específica en una muestra de sangre. El investigador podría ajustar el umbral (línea vertical negra en la figura) y se diagnosticaría a las personas con enfermedades si se detecta algún valor superior a dicho umbral. Según la imagen, modificar el umbral provocaría cambios en los falsos positivos y los falsos negativos, que se corresponderían con un desplazamiento en la curva.

El límite de velocidad de una autopista en los Estados Unidos es de 120 kilómetros por hora (75  mph). Un dispositivo está configurado para medir la velocidad de los vehículos que pasan. Supongamos que el dispositivo realizará tres mediciones de la velocidad de un vehículo que pasa, registrando como una muestra aleatoria X ₁ , X ₂ , X _3. La policía de tránsito multará o no a los conductores dependiendo de la velocidad promedio.${\displaystyle {\bar {X}}}$. Es decir, el estadístico de prueba

${\displaystyle T={\frac {X_{1}+X_{2}+X_{3}}{3}}={\bar {X}}}$

Además, suponemos que las mediciones X ₁ , X ₂ , X ₃ se modelan como una distribución normal N(μ,2). Entonces, T debería seguir N(μ,2/${\displaystyle {\sqrt {3}}}$) y el parámetro μ representa la velocidad real del vehículo que pasa. En este experimento, la hipótesis nula H ₀ y la hipótesis alternativa H ₁ deben ser

H ₀ : μ=120 frente a H ₁ : μ>120.

Si realizamos el nivel estadístico en α=0,05, entonces se debe calcular un valor crítico c para resolver

${\displaystyle P\left(Z\geqslant {\frac {c-120}{\frac {2}{\sqrt {3}}}}\right)=0.05}$

Según la regla de cambio de unidades para la distribución normal. Consultando la tabla Z , podemos obtener

${\displaystyle {\frac {c-120}{\frac {2}{\sqrt {3}}}}=1.645\Rightarrow c=121.9}$

Aquí se encuentra la zona crítica. Es decir, si la velocidad registrada de un vehículo supera el valor crítico de 121,9, el conductor será multado. Sin embargo, aún existe un 5 % de conductores que reciben multas injustas, ya que la velocidad media registrada es superior a 121,9, pero la velocidad real no supera los 120, lo que denominamos un error de tipo I.

El error de tipo II corresponde al caso en que la velocidad real de un vehículo supera los 120 kilómetros por hora, pero el conductor no es multado. Por ejemplo, si la velocidad real de un vehículo μ=125, la probabilidad de que el conductor no sea multado se puede calcular como

${\displaystyle P=(T<121.9|\mu =125)=P\left({\frac {T-125}{\frac {2}{\sqrt {3}}}}<{\frac {121.9-125}{\frac {2}{\sqrt {3}}}}\right)=\phi (-2.68)=0.0036}$

Esto significa que, si la velocidad real de un vehículo es de 125, el conductor tiene una probabilidad del 0,36 % de evitar la multa cuando la estadística se realiza con un nivel de significancia α=0,05, ya que la velocidad media registrada es inferior a 121,9. Si la velocidad real está más cerca de 121,9 que de 125, entonces la probabilidad de evitar la multa también será mayor.

También deben considerarse las ventajas y desventajas del error de tipo I y el error de tipo II. Es decir, en este caso, si la policía de tránsito no quiere multar injustamente a conductores inocentes, el nivel α puede establecerse en un valor menor, como 0,01. Sin embargo, si se opta por esta medida, es más probable que los conductores cuya velocidad real supere los 120 kilómetros por hora, por ejemplo, 125, eviten la multa.

Es práctica habitual que los estadísticos realicen pruebas para determinar si una " hipótesis especulativa " sobre los fenómenos observados en el mundo (o sus habitantes) puede ser respaldada. Los resultados de dichas pruebas determinan si un conjunto particular de resultados concuerda razonablemente (o no) con la hipótesis planteada.

Partiendo de la premisa estadística de que la hipótesis planteada es errónea, y de la denominada «hipótesis nula» que postula que los fenómenos observados ocurren simplemente por casualidad (y que, en consecuencia, el agente especulado no tiene efecto)  , la prueba determinará si dicha hipótesis es correcta o incorrecta. Por ello, la hipótesis sometida a prueba suele denominarse hipótesis nula (término acuñado probablemente por Fisher (1935, p.  19)), ya que es esta hipótesis la que la prueba debe confirmar o refutar. Cuando la hipótesis nula se refuta, es posible concluir que los datos respaldan la «hipótesis alternativa» (la hipótesis original).

La aplicación sistemática por parte de los estadísticos de la convención de Neyman y Pearson de representar "la hipótesis a probar" (o "la hipótesis a anular") con la expresión H ₀ ha llevado a circunstancias en las que muchos entienden el término "hipótesis nula" como "hipótesis nula"  , una afirmación de que los resultados en cuestión han surgido por azar. Este no es necesariamente el caso  : la restricción clave, según Fisher (1966), es que "la hipótesis nula debe ser exacta, es decir, libre de vaguedad y ambigüedad, porque debe proporcionar la base del 'problema de distribución', cuya solución es la prueba de significancia". ^{[ 9 ]} Como consecuencia de esto, en la ciencia experimental la hipótesis nula es generalmente una afirmación de que un tratamiento particular no tiene efecto; en la ciencia observacional, es que no hay diferencia entre el valor de una variable medida particular y el de una predicción experimental.

Si la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el obtenido, suponiendo que la hipótesis nula fuera cierta, es inferior a una probabilidad límite preestablecida (por ejemplo, el 5%), entonces se dice que el resultado es estadísticamente significativo y se rechaza la hipótesis nula.

El estadístico británico Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) destacó que la hipótesis nula

Nunca se prueba ni se establece, pero sí se puede refutar durante la experimentación. Se puede decir que todo experimento existe únicamente para que los hechos tengan la oportunidad de refutar la hipótesis nula.

Para abordar los problemas con las pruebas de hipótesis nulas, Andrew Gelman , John Carlin y otros han sugerido errores de tipo S y tipo M para agregarlos a la consideración de resultados significativos. ^{[ 10 ]}

Los errores de tipo S son errores de signo. La tasa de error de tipo S corresponde a la probabilidad de que, si se obtiene un resultado significativo, el efecto se estime en la dirección incorrecta respecto al efecto real. Esto suele ocurrir con configuraciones de prueba de baja potencia.

Los errores de tipo M son errores de magnitud. Esto se corrige mediante un "factor de exageración", que evalúa la razón esperada entre los valores absolutos de la estimación y el valor verdadero, condicionado a la obtención de un resultado significativo. Esto es importante porque el uso de una prueba de significancia para seleccionar resultados genera sesgo de selección, lo que puede llevar a una sobreestimación drástica del tamaño del efecto.

En la práctica médica, las diferencias entre las aplicaciones de cribado y de pruebas diagnósticas son considerables.

La comparación biométrica, como la del reconocimiento de huellas dactilares , el reconocimiento facial o el reconocimiento de iris , es susceptible a errores de tipo I y de tipo II.

• Hipótesis: "La entrada no identifica a nadie en la lista de personas buscadas".
• Hipótesis nula: "La entrada sí identifica a alguien en la lista de personas buscadas".
• Error de tipo I (tasa de falso rechazo): La realidad es que la persona está en la lista de búsqueda, pero el sistema concluye que no lo está según los datos.
• Error de tipo II (tasa de coincidencia falsa): La realidad es que la persona no figura en la lista de búsqueda, pero el sistema concluye que se trata de la persona que estamos buscando según los datos.

La probabilidad de errores de tipo I se denomina "tasa de falso rechazo" (FRR) o tasa de falsos no coincidentes (FNMR), mientras que la probabilidad de errores de tipo II se denomina "tasa de falsos aceptados" (FAR) o tasa de falsos coincidentes (FMR).

Si el sistema está diseñado para detectar raramente a los sospechosos, la probabilidad de errores de tipo II se denomina " tasa de falsas alarmas ". Por otro lado, si el sistema se utiliza para validación (y la aceptación es la norma), la tasa de falsas alarmas (FAR) mide la seguridad del sistema, mientras que la tasa de falsas alarmas (FRR) mide el nivel de inconveniencia para el usuario.

En los procesos penales, se hace especial hincapié en garantizar que, si se comete algún error, este sea de tipo II (dejar en libertad a un acusado culpable) y no de tipo I (castigar a una persona inocente por un delito que no cometió). Este énfasis justifica la elevada carga de la prueba (culpable más allá de toda duda razonable), el examen minucioso de la caracterización que hace la fiscalía de las pruebas o testimonios incriminatorios, y el escepticismo o la exclusión de las pruebas que puedan ser más perjudiciales que probatorias (la ponderación establecida en la Regla 403).

Numerosos estudios académicos, que se remontan a siglos atrás, abordan las graves consecuencias de los errores judiciales en los procesos penales, no solo para el acusado, sino también para la percepción de imparcialidad de todo el sistema judicial y la confianza de la comunidad en que las denuncias de actividad delictiva se escucharán con seriedad y equidad. El jurista inglés William Blackstone acuñó la proporción de Blackstone de 10:1 para describir el concepto de que un sistema justo podría permitir que diez acusados ​​culpables quedaran en libertad en lugar de encarcelar a más de una persona inocente.

En los últimos años, la doctrina jurídica y la jurisprudencia convencional han adoptado la taxonomía de errores de tipo I y tipo II para contar con un vocabulario más riguroso con el que analizar los errores judiciales y las condenas injustas. La Corte Suprema de los Estados Unidos utilizó la taxonomía de tipo I frente a tipo II en su análisis de los errores en el caso Ballew v. Georgia ^{[ 12 ],} y los jueces y profesores de derecho utilizan cada vez más esta designación dicotómica en lugar de los términos más informales de "condenado injustamente" o "absuelto erróneamente", que se usaban con frecuencia en estudios anteriores.

Las investigaciones recientes y la preocupación judicial se centran a menudo en el tamaño y la unanimidad de los jurados como salvaguardas contra el error de tipo I (condenar erróneamente a un acusado inocente).

Los jurados pequeños de menos de doce personas han sido criticados por la Corte Suprema de los Estados Unidos por ser más propensos a producir errores de tipo I; ^{[ 13 ]} mientras tanto, algunos jueces también han criticado la selección de más de los doce jurados típicos como problemática (el juez Anderson de la Corte de Apelaciones de Wisconsin escribió una notable disidencia sobre este tema en 1993: "A falta de una declaración legislativa de política pública que permita a un acusado consentir ser juzgado por un jurado de más de doce personas, es un error manifiesto permitir que más de doce jurados deliberen." ^{[ 14 ]} ). En cuanto a la unanimidad, el 20 de abril de 2020, la Corte Suprema de los Estados Unidos dictaminó que la Sexta Enmienda exige un veredicto unánime del jurado para condenar a un acusado por un delito grave, citando la preocupación por el error de tipo I como una de las razones principales para exigir veredictos unánimes en asuntos penales graves. ^{[ 15 ]}

En los controles de seguridad de los aeropuertos , que en última instancia son sistemas de inspección visual , se detectan falsos positivos a diario . Las alarmas de seguridad instaladas tienen como objetivo impedir la introducción de armas en los aviones; sin embargo, suelen estar configuradas con una sensibilidad tan alta que se activan varias veces al día por objetos insignificantes, como llaves, hebillas de cinturón, monedas sueltas, teléfonos móviles y chinchetas en los zapatos.

• Hipótesis: "El objeto es un arma".
• Hipótesis nula: "El objeto no es un arma".
• Error de tipo I (falso positivo): La realidad es que el objeto no es un arma, pero el sistema sigue activando la alarma.
• Error de tipo II (falso negativo). La verdad es que el objeto es un arma, pero el sistema no detecta nada en este momento.

Por lo tanto, la proporción de falsos positivos (identificar a un viajero inocente como terrorista) con respecto a los verdaderos positivos (detectar a un posible terrorista) es muy alta; y dado que casi todas las alarmas son falsos positivos, el valor predictivo positivo de estas pruebas de detección es muy bajo.

El coste relativo de los resultados erróneos determina la probabilidad de que los creadores de las pruebas permitan que estos sucesos ocurran. Dado que el coste de un falso negativo en este escenario es extremadamente alto (no detectar una bomba introducida en un avión podría provocar cientos de muertes), mientras que el coste de un falso positivo es relativamente bajo (una inspección adicional relativamente sencilla), la prueba más adecuada es aquella con una especificidad estadística baja pero una sensibilidad estadística alta (una que permite una alta tasa de falsos positivos a cambio de un mínimo de falsos negativos).

Los conceptos de falsos positivos y falsos negativos son muy comunes en el ámbito de la informática y las aplicaciones informáticas, incluyendo la seguridad informática , el filtrado de spam , el malware , el reconocimiento óptico de caracteres y muchos otros.

Por ejemplo, en el caso del filtrado de correo no deseado:

• Hipótesis: "El mensaje es spam".
• Hipótesis nula: "El mensaje no es spam".
• Error de tipo I (falso positivo): Las técnicas de filtrado o bloqueo de correo no deseado clasifican erróneamente un mensaje de correo electrónico legítimo como spam y, como resultado, interfieren con su entrega.
• Error de tipo II (falso negativo): El correo electrónico no deseado no se detecta como tal, sino que se clasifica como correo que no es spam.

Si bien la mayoría de las tácticas antispam pueden bloquear o filtrar un alto porcentaje de correos electrónicos no deseados, lograrlo sin generar un número significativo de falsos positivos es una tarea mucho más compleja. Un bajo número de falsos negativos es un indicador de la eficacia del filtrado de spam.