Tabla normal estándar

Si X es una variable aleatoria de una distribución normal con media μ y desviación estándar σ , su puntuación Z se puede calcular a partir de X restando μ y dividiendo por la desviación estándar:

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}}$

Si${\displaystyle {\overline {X}}}$es la media de una muestra de tamaño n de alguna población en la que la media es μ y la desviación estándar es σ , el error estándar es ⁠${\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}:}$⁠

${\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

Si${\textstyle \sum X}$es el total de una muestra de tamaño n de alguna población en la que la media es μ y la desviación estándar es σ , el total esperado es nμ y el error estándar es ⁠${\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}:}$⁠

${\displaystyle Z={\frac {\sum {X}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}}$

Las tablas Z se componen típicamente de la siguiente manera:

• La etiqueta de las filas contiene la parte entera y el primer decimal de Z.
• La etiqueta de las columnas contiene el segundo decimal de Z.
• Los valores dentro de la tabla son las probabilidades correspondientes al tipo de tabla. Estas probabilidades son cálculos del área bajo la curva normal desde el punto de partida (0 para acumulado desde la media , infinito negativo para acumulado e infinito positivo para acumulado complementario ) hasta Z.

Ejemplo: Para encontrar 0,69 , uno miraría hacia abajo en las filas para encontrar 0,6 y luego a través de las columnas hasta 0,09 , lo que daría una probabilidad de 0,25490 para una tabla acumulativa de medias o 0,75490 de una tabla acumulativa .

Para encontrar un valor negativo como –0,83 , se podría utilizar una tabla acumulativa para valores z negativos ^{[ 3 ]} que arroja una probabilidad de 0,20327 .

Pero como la curva de distribución normal es simétrica, normalmente solo se proporcionan probabilidades para valores positivos de Z. El usuario podría tener que aplicar una operación complementaria al valor absoluto de Z , como en el ejemplo siguiente.

Las tablas Z utilizan al menos tres convenciones diferentes:

Acumulado desde la media

da una probabilidad de que una estadística esté entre 0 (media) y Z. Ejemplo: Prob(0 ≤ Z ≤ 0,69) = 0,2549 .

Acumulativo

da una probabilidad de que un estadístico sea menor que Z. Esto equivale al área de la distribución por debajo de Z. Ejemplo: Prob(Z ≤ 0,69) = 0,7549 .

Acumulativo complementario

da una probabilidad de que un estadístico sea mayor que Z. Esto equivale al área de la distribución por encima de Z.

Ejemplo: Hallar Prob( Z ≥ 0,69) . Dado que esta es la porción del área por encima de Z , la proporción que es mayor que Z se halla restando Z de 1. Es decir, Prob( Z ≥ 0,69) = 1 − Prob(Z ≤ 0,69) o Prob( Z ≥ 0,69) = 1 − 0,7549 = 0,2451 .

Esta tabla proporciona la probabilidad de que un estadístico se encuentre entre menos infinito y Z.

${\displaystyle f(z)=\Phi (z)}$

Los valores se calculan utilizando la función de distribución acumulativa de una distribución normal estándar con media cero y desviación estándar uno, que generalmente se denota con la letra griega mayúscula${\displaystyle \Phi }$( phi ), es la integral

${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}\,dt}$

${\displaystyle \Phi }$(z) está relacionado con la función de error , o erf( z ) .

${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$

Nótese que para z = 1, 2, 3 , se obtienen (después de multiplicar por 2 para tener en cuenta el intervalo [− z , z ] ) los resultados f ( z ) = 0,6827, 0,9545, 0,9974 , característicos de la regla 68–95–99,7 .

Esta tabla proporciona una probabilidad de que un estadístico sea menor que Z (es decir, entre menos infinito y Z ).

^{[ 4 ]}

Esta tabla proporciona la probabilidad de que un estadístico sea mayor que Z. ${\displaystyle f(z)=1-\Phi (z)}$

^{[ 5 ]} Esta tabla da una probabilidad de que un estadístico sea mayor queZvaloresenteros grandesde Z.