Conjuntos y sistemas difusos de tipo 2

Los conjuntos y sistemas difusos de tipo 2 generalizan los conjuntos y sistemas difusos estándar de tipo 1 para poder manejar una mayor incertidumbre. Desde los inicios de los conjuntos difusos, se criticó el hecho de que la función de pertenencia de un conjunto difuso de tipo 1 no tiene incertidumbre asociada, algo que parece contradecir el término " difuso" , ya que este conlleva la connotación de mucha incertidumbre. Entonces, ¿qué se hace cuando hay incertidumbre sobre el valor de la función de pertenencia? La respuesta a esta pregunta la proporcionó en 1975 el inventor de los conjuntos difusos, Lotfi A. Zadeh , ^{[ 1 ]} cuando propuso tipos más sofisticados de conjuntos difusos, el primero de los cuales denominó "conjunto difuso de tipo 2". Un conjunto difuso de tipo 2 nos permite incorporar la incertidumbre sobre la función de pertenencia a la teoría de conjuntos difusos y es una forma de abordar directamente la crítica anterior a los conjuntos difusos de tipo 1. Y, si no hay incertidumbre, entonces un conjunto difuso de tipo 2 se reduce a un conjunto difuso de tipo 1, lo cual es análogo a la reducción de la probabilidad al determinismo cuando desaparece la imprevisibilidad.

Los sistemas difusos de tipo 1 trabajan con una función de pertenencia fija , mientras que en los sistemas difusos de tipo 2 la función de pertenencia fluctúa. Un conjunto difuso determina cómo se convierten los valores de entrada en variables difusas. ^{[ 2 ]}

Para distinguir simbólicamente entre un conjunto difuso de tipo 1 y uno de tipo 2, se coloca una tilde sobre el símbolo del conjunto difuso; así, A representa un conjunto difuso de tipo 1, mientras que à representa el conjunto difuso de tipo 2 correspondiente. Cuando se realiza esta última distinción, el conjunto difuso de tipo 2 resultante se denomina "conjunto difuso general de tipo 2" (para diferenciarlo del conjunto difuso especial de tipo 2 de intervalo).

Zadeh no se limitó a los conjuntos difusos de tipo 2, ya que en ese artículo de 1976 ^{[ 1 ]} también generalizó todo esto a conjuntos difusos de tipo n . El presente artículo se centra únicamente en los conjuntos difusos de tipo 2 porque representan el siguiente paso en la progresión lógica de los conjuntos difusos de tipo 1 a los de tipo n , donde n = 1, 2, ... . Si bien algunos investigadores están comenzando a explorar conjuntos difusos de orden superior al tipo 2, a principios de 2009, este trabajo se encontraba en sus inicios.

La función de pertenencia de un conjunto difuso general de tipo 2, Ã, es tridimensional (Fig. 1), donde la tercera dimensión es el valor de la función de pertenencia en cada punto de su dominio bidimensional que se denomina su "huella de incertidumbre" (FOU).

Para un conjunto difuso de tipo 2 de intervalo, el valor de la tercera dimensión es el mismo (p. ej., 1) en todas partes, lo que significa que no contiene información nueva. Por lo tanto, para dicho conjunto, la tercera dimensión se ignora y solo se utiliza la incertidumbre de primer orden (FOU) para describirlo. Es por esta razón que un conjunto difuso de tipo 2 de intervalo a veces se denomina modelo de conjunto difuso de incertidumbre de primer orden , mientras que un conjunto difuso de tipo 2 general (con su útil tercera dimensión) a veces se denomina modelo de conjunto difuso de incertidumbre de segundo orden .

El FOU representa la difuminación de una función de pertenencia de tipo 1 y se describe completamente mediante sus dos funciones de delimitación (Fig. 2): una función de pertenencia inferior (LMF) y una función de pertenencia superior (UMF), ambas conjuntos difusos de tipo 1. Por consiguiente, es posible utilizar las matemáticas de los conjuntos difusos de tipo 1 para caracterizar y trabajar con conjuntos difusos de intervalo de tipo 2. Esto significa que los ingenieros y científicos que ya conocen los conjuntos difusos de tipo 1 no tendrán que invertir mucho tiempo en aprender las matemáticas generales de los conjuntos difusos de tipo 2 para comprender y utilizar los conjuntos difusos de intervalo de tipo 2.

El trabajo sobre conjuntos difusos de tipo 2 se estancó durante la década de 1980 y principios y mediados de la de 1990, aunque se publicaron algunos artículos al respecto. La gente todavía intentaba averiguar qué hacer con los conjuntos difusos de tipo 1, así que, aunque Zadeh propuso los conjuntos difusos de tipo 2 en 1976, no era el momento adecuado para que los investigadores abandonaran lo que estaban haciendo con los conjuntos difusos de tipo 1 para centrarse en los de tipo 2. Esto cambió a finales de la década de 1990 como resultado de los trabajos de Jerry Mendel y sus estudiantes sobre conjuntos y sistemas difusos de tipo 2. ^{[ 3 ]} Desde entonces, más investigadores de todo el mundo están escribiendo artículos sobre conjuntos y sistemas difusos de tipo 2.

Los conjuntos difusos de tipo 2 de intervalo han recibido la mayor atención debido a que las matemáticas necesarias para estos conjuntos —principalmente la aritmética de intervalos— son mucho más sencillas que las necesarias para los conjuntos difusos de tipo 2 generales. La bibliografía sobre conjuntos difusos de tipo 2 de intervalo es extensa, mientras que la bibliografía sobre conjuntos difusos de tipo 2 generales es mucho menor. Ambos tipos de conjuntos difusos son objeto de investigación activa por parte de un número cada vez mayor de investigadores en todo el mundo y han dado lugar a aplicaciones exitosas en diversos ámbitos, como el control de robots . ^{[ 4 ]}

Formalmente, ya se han elaborado los siguientes modelos para conjuntos difusos de tipo 2 de intervalo:

• Operaciones de conjuntos difusos : unión, intersección y complemento ^{[ 5 ] [ 3 ]}
• Centroide (una operación muy utilizada por los profesionales de dichos conjuntos, y también una medida de incertidumbre importante para ellos) ^{[ 6 ] [ 3 ] [ 7 ]}
• Otras medidas de incertidumbre [imprecisión, cardinalidad , varianza y asimetría ^{[ 8 ]} y límites de incertidumbre ^{[ 9 ]}
• Similitud ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}
• Subconjunto ^{[ 13 ]}
• Conjuntos difusos embebidos ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}
• Clasificación de conjuntos difusos ^{[ 12 ]}
• Clasificación y selección de reglas difusas ^{[ 17 ]}
• Métodos de reducción de tipos ^{[ 6 ] [ 3 ]}
• Intervalos de disparo para un sistema de lógica difusa de tipo 2 de intervalo ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 3 ]}
• Promedio ponderado difuso ^{[ 20 ]}
• Promedio ponderado lingüístico ^{[ 21 ]}
• Síntesis de un FOU a partir de datos recopilados de un grupo de sujetos ^{[ 22 ]}

Los conjuntos difusos de tipo 2 están encontrando una amplia aplicabilidad en los sistemas de lógica difusa (SLD) basados ​​en reglas porque permiten modelar incertidumbres que no pueden ser modeladas por los conjuntos difusos de tipo 1. En la figura 3 se muestra un diagrama de bloques de un SLD de tipo 2. Este tipo de SLD se utiliza en el control de lógica difusa, el procesamiento de señales de lógica difusa, la clasificación basada en reglas, etc., y a veces se le denomina aplicación de aproximación de funciones de conjuntos difusos, porque el SLD está diseñado para minimizar una función de error .

Las siguientes discusiones, sobre los cuatro componentes en el FLS basado en reglas de la Fig. 3, se presentan para un FLS de tipo 2 de intervalo, porque hasta la fecha son el tipo más popular de FLS de tipo 2; sin embargo, la mayoría de las discusiones también son aplicables a un FLS de tipo 2 general.

Las reglas, que son proporcionadas por expertos en la materia o se extraen de datos numéricos, se expresan como una colección de declaraciones IF-THEN, por ejemplo:

Si la temperatura es moderada y la presión es alta , gire la válvula un poco hacia la derecha .

Los conjuntos difusos se asocian con los términos que aparecen en los antecedentes (parte IF) o consecuentes (parte THEN) de las reglas, así como con las entradas y salidas del sistema de lógica difusa (SLD). Las funciones de pertenencia se utilizan para describir estos conjuntos difusos; en un SLD de tipo 1, todos son conjuntos difusos de tipo 1, mientras que en un SLD de intervalo de tipo 2, al menos una función de pertenencia es un conjunto difuso de intervalo de tipo 2.

Un sistema de lógica difusa de tipo 2 de intervalo permite cuantificar cualquiera de los siguientes tipos de incertidumbres, o todos ellos:

1. Palabras que se utilizan en los antecedentes y consecuentes de las reglas, porque las palabras pueden significar cosas diferentes para personas diferentes.
2. Consecuencias inciertas: porque cuando las reglas se obtienen de un grupo de expertos, las consecuencias a menudo serán diferentes para la misma regla, es decir, los expertos no necesariamente estarán de acuerdo.
3. Parámetros de la función de pertenencia: porque cuando esos parámetros se optimizan utilizando datos de entrenamiento inciertos (ruidosos), los parámetros se vuelven inciertos.
4. Mediciones ruidosas, porque muy a menudo son esas mediciones las que activan el FLS.

En la figura 3, las entradas medidas (precisas) se transforman primero en conjuntos difusos en el bloque Fuzzifier porque son los conjuntos difusos, y no los números, los que activan las reglas que se describen en términos de conjuntos difusos y no de números. En un sistema de lógica difusa de tipo 2 de intervalo, son posibles tres tipos de fuzzificadores. Cuando las mediciones son:

• Perfectos, están diseñados como un conjunto impecable;
• Ruidosos, pero el ruido es estacionario, se modelan como un conjunto difuso de tipo 1; y,
• Son ruidosos, pero el ruido no es estacionario, se modelan como un conjunto difuso de tipo 2 de intervalo (este último tipo de difusificación no se puede hacer en un FLS de tipo 1).

En la figura 3, después de que las mediciones se difuminan, los conjuntos difusos de entrada resultantes se transforman en conjuntos de salida difusos mediante el bloque de inferencia . Esto se logra cuantificando primero cada regla mediante la teoría de conjuntos difusos y, posteriormente, utilizando las matemáticas de los conjuntos difusos para establecer la salida de cada regla, con la ayuda de un mecanismo de inferencia. Si hay M reglas, los conjuntos de entrada difusos del bloque de inferencia activarán solo un subconjunto de esas reglas, donde el subconjunto contiene al menos una regla y, por lo general, muchas menos que M reglas. La inferencia se realiza regla por regla. Por lo tanto, a la salida del bloque de inferencia, habrá uno o más conjuntos de salida difusos de reglas activadas .

En la mayoría de las aplicaciones de ingeniería de un sistema de lógica difusa (SLD), se necesita un número (y no un conjunto difuso) como resultado final. Por ejemplo, el consecuente de la regla anterior es "Gire la válvula un poco a la derecha". Ninguna válvula automática entenderá esto, ya que "un poco a la derecha" es una expresión lingüística, y una válvula debe girarse mediante valores numéricos, es decir, en un número determinado de grados. Por consiguiente, los conjuntos difusos de salida de la regla activada deben convertirse en un número, lo cual se realiza en el bloque de procesamiento de salida de la figura 3.

En un sistema de lógica difusa de tipo 1 (FLS), el procesamiento de salida, denominado " desborrosificación ", transforma un conjunto difuso de tipo 1 en un número. Existen diversas maneras de hacerlo, por ejemplo: calcular la unión de los conjuntos difusos de salida de las reglas activadas (el resultado es otro conjunto difuso de tipo 1) y, a continuación, calcular el centro de gravedad de la función de pertenencia para dicho conjunto; calcular un promedio ponderado de los centros de gravedad de las funciones de pertenencia de los consecuentes de cada regla activada; etc.

Las cosas son algo más complicadas para un FLS de tipo 2 de intervalo, porque para pasar de un conjunto difuso de tipo 2 de intervalo a un número (generalmente) se requieren dos pasos (Fig. 3). El primer paso, llamado "reducción de tipo", consiste en reducir un conjunto difuso de tipo 2 de intervalo a un conjunto difuso de tipo 1 con valores de intervalo. Existen tantos métodos de reducción de tipo como métodos de defusificación de tipo 1. Para la reducción de tipo se utiliza un algoritmo desarrollado por Karnik y Mendel ^{[ 6 ] [ 3 ],} ahora conocido como el "algoritmo KM". Aunque este algoritmo es iterativo, es muy rápido.

El segundo paso del procesamiento de salida, que tiene lugar después de la reducción de tipo, se sigue denominando "desborrosificación". Dado que un conjunto de tipo reducido de un conjunto difuso de tipo 2 de intervalo es siempre un intervalo finito de números, el valor desborrosificado es simplemente el promedio de los dos extremos de este intervalo.

Como se observa en la Figura 3, un sistema de lógica difusa (SLD) de tipo 2 de intervalo puede tener dos resultados: valores numéricos precisos y el conjunto reducido. Este último proporciona una medida de las incertidumbres que han influido en el SLD de tipo 2 de intervalo, debido a las mediciones de entrada (posiblemente) inciertas que han activado reglas cuyos antecedentes, consecuentes o ambos son inciertos. Del mismo modo que la desviación estándar se utiliza ampliamente en probabilidad y estadística para medir la incertidumbre impredecible sobre un valor medio, el conjunto reducido puede proporcionar una medida de la incertidumbre sobre el resultado preciso de un SLD de tipo 2 de intervalo.

Otra aplicación para conjuntos difusos también ha sido inspirada por Zadeh ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} : "Computación con palabras". Se han utilizado diferentes acrónimos para "computación con palabras", por ejemplo, CW y CWW. Según Zadeh:

CWW es una metodología en la que los objetos de cálculo son palabras y proposiciones extraídas del lenguaje natural. Se inspira en la extraordinaria capacidad humana para realizar una amplia variedad de tareas físicas y mentales sin mediciones ni cálculos.

Por supuesto, no se refería a que las computadoras computarían usando palabras —palabras o frases— en lugar de números. Se refería a que las computadoras se activarían mediante palabras, que se convertirían en una representación matemática usando conjuntos difusos y que estos conjuntos difusos serían mapeados por un motor CWW en algún otro conjunto difuso, después de que este último se convertiría de nuevo en una palabra. Una pregunta natural es: ¿Qué tipo de conjunto difuso —tipo 1 o tipo 2— debería usarse como modelo para una palabra? Mendel ^{[ 26 ] [ 27 ]} ha argumentado, basándose en el concepto de " falsacionismo " de Karl Popper , ^{[ 28 ] [ 25 ]} que usar un conjunto difuso de tipo 1 como modelo para una palabra es científicamente incorrecto. Un conjunto difuso de intervalo de tipo 2 debería usarse como modelo (de incertidumbre de primer orden) para una palabra. Se están realizando muchas investigaciones sobre CWW.

Los conjuntos difusos de tipo 2 se aplicaron en las siguientes áreas:

• Procesamiento de imágenes ^{[ 29 ] [ 30 ]}
• Procesamiento de vídeo y visión por computadora ^{[ 31 ] [ 32 ]}
• Análisis de modos y efectos de falla ^{[ 33 ]}
• Aproximación y estimación de funciones ^{[ 34 ]}
• Sistemas de control ^{[ 35 ]}

Las implementaciones gratuitas de MATLAB , que abarcan conjuntos y sistemas difusos de tipo 2 generales y de intervalo, así como sistemas difusos de tipo 1, están disponibles en: http://sipi.usc.edu/~mendel/software . El software que admite sistemas de lógica difusa de tipo 2 de intervalo discreto está disponible en: DIT2FLS Toolbox - http://dit2fls.com/projects/dit2fls-toolbox/ DIT2FLS Library Package - http://dit2fls.com/projects/dit2fls-library-package/

Las bibliotecas Java, incluido el código fuente para sistemas difusos de tipo 1, de intervalo y de tipo 2 general, están disponibles en: http://juzzy.wagnerweb.net/ .

La biblioteca de Python para conjuntos difusos de tipo 1 y tipo 2 está disponible en: https://github.com/carmelgafa/type2fuzzy

La biblioteca de Python para conjuntos y sistemas difusos de tipo 2 de intervalo está disponible en: https://github.com/Haghrah/PyIT2FLS

Una caja de herramientas de código abierto para Matlab/Simulink para sistemas de lógica difusa de tipo 2 de intervalo está disponible en: http://web.itu.edu.tr/kumbasart/type2fuzzy.htm

• Inteligencia computacional
• Sistema experto
• Sistema de control difuso
• lógica difusa
• Conjunto difuso
• Computación granular
• Computación perceptiva
• Juego de piezas en bruto
• Conjunto suave
• Vaguedad
• Variable aleatoria difusa

Existen dos módulos multimedia de IEEE Expert Now a los que se puede acceder desde el sitio web de IEEE:

• "Introducción a los conjuntos y sistemas difusos de tipo 2" por Jerry Mendel, patrocinado por la Sociedad de Inteligencia Computacional del IEEE.
• "Controladores de lógica difusa de tipo 2: Hacia un nuevo enfoque para el manejo de incertidumbres en entornos del mundo real", por Hani Hagras, patrocinado por la Sociedad de Inteligencia Computacional del IEEE.