Diseño de ventanas bidimensionales

El proceso de ventana consiste en concentrar la máxima energía de una secuencia con índice limitado en un intervalo de frecuencia finito. Este proceso puede extenderse a N dimensiones, donde la ventana N -dimensional tiene soporte limitado y máxima concentración de energía en una banda de paso N -dimensional separable o no separable. El diseño de una ventana N -dimensional, en particular una ventana bidimensional, encuentra aplicaciones en diversos campos, como la estimación espectral de señales multidimensionales , el diseño de filtros bidimensionales no recursivos con simetría circular y cuadrantal , ^{[ 1 ]} el diseño de funciones de convolución óptimas , la mejora de imágenes para reducir los efectos de los artefactos de procesamiento dependientes de los datos, la apodización óptica y el diseño de matrices de antenas . ^{[ 2 ]}

Debido a las diversas aplicaciones del procesamiento de señales multidimensionales , las diversas metodologías de diseño de ventanas 2D son de vital importancia para facilitar las aplicaciones mencionadas anteriormente.

Consideremos una función de ventana bidimensional (o matriz de ventana ).${\ Displaystyle w (n_ {1}, n_ {2})}$con su transformada de Fourier denotada por${\displaystyle W(w_{1},w_{2})}$. Dejar${\displaystyle i(n_{1},n_{2})}$y${\ Displaystyle I (w_ {1}, w_ {2})}$denotan la respuesta al impulso y a la frecuencia de un filtro ideal y${\displaystyle h(n_{1},n_{2})}$y${\ Displaystyle H (w_ {1}, w_ {2})}$Denotemos la respuesta al impulso y a la frecuencia de un filtro que se aproxima al filtro ideal, entonces podemos aproximar${\ Displaystyle I (w_ {1}, w_ {2})}$por${\displaystyle h(n_{1},n_{2})}$. Desde${\displaystyle i(n_{1},n_{2})}$Tiene una extensión infinita y puede aproximarse como una respuesta impulsional finita multiplicándola por una función de ventana como se muestra a continuación.

${\ Displaystyle h (n_ {1}, n_ {2}) = i (n_ {1}, n_ {2}) w (n_ {1}, n_ {2})}$

y en el dominio de Fourier

${\displaystyle H(w_{1},w_{2})={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}[I(w_{1},w_{2})**W(w_{1},w_{2})]}$ ^{[ 2 ]}

El problema consiste en elegir una función de ventana con una forma apropiada tal que${\ Displaystyle H (w_ {1}, w_ {2})}$ está cerca de${\ Displaystyle I (w_ {1}, w_ {2})}$y en cualquier región que rodee una discontinuidad de${\ Displaystyle I (w_ {1}, w_ {2})}$,${\ Displaystyle H (w_ {1}, w_ {2})}$No debería presentar ondulaciones excesivas debido al efecto de ventana.

Existen cuatro enfoques para generar ventanas 2D utilizando una ventana unidimensional como prototipo. ^{[ 3 ]}

Enfoque I

Uno de los métodos para derivar la ventana 2-D es a partir del producto exterior de dos ventanas 1-D, es decir,${\ Displaystyle w (n_ {1}, n_ {2}) = w_ {1} (n_ {1}) w_ {2} (n_ {2}).}$En este enfoque se aprovecha la propiedad de separabilidad. La ventana formada tiene una región cuadrada de soporte y es separable en las dos variables. Para comprender este enfoque, ^{[ 4 ]} considere la ventana de Kaiser unidimensional cuya función de ventana viene dada por

${\displaystyle w[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N-1}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},&0\leq n\leq N-1\\\\0&{\text{en otro caso}}\\\end{matrix}}\right.}$

Entonces, la función 2D correspondiente viene dada por

${\displaystyle w(n_{1},n_{2})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\alpha {\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{a}}\right)^{2}}}\right)I_{0}\left(\alpha {\sqrt {1-({\frac {n_{2}}{a}})^{2}}}\right)}{I_{0}^{2}(\alpha )}},&|n_{1}|\leqslant a,|n_{2}|\leqslant a\\0&{\text{otherwise}}\\\end{matrix}}\right.}$

dónde:

• ${\displaystyle r={\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}}$
• N es la longitud de la secuencia 1-D,
• I _{0 es la} función de Bessel modificada de orden cero de primera especie,
• α es un número real arbitrario no negativo que determina la forma de la ventana. En el dominio de la frecuencia, determina el equilibrio entre el ancho del lóbulo principal y el nivel del lóbulo lateral, una decisión fundamental en el diseño de ventanas.

La transformada de Fourier de${\displaystyle w(n_{1},n_{2})}$es el producto exterior de las transformadas de Fourier de${\displaystyle w_{1}(n_{1}){\text{ and }}w_{2}(n_{2})}$. Por eso${\displaystyle W(w_{1},w_{2})=W_{1}(w_{1})W_{2}(w_{2})}$. ^{[ 5 ]}

Enfoque II

Otro método para extender el diseño de ventana 1-D a un diseño 2-D es mediante el muestreo de una función de ventana continua 1-D rotada circularmente. ^{[ 2 ]} Se dice que una función posee simetría circular si puede escribirse como una función de su radio, independientemente de${\displaystyle \theta }$es decir${\displaystyle f(r,\theta )=f(r).}$

Si w ( n ) denota una buena ventana simétrica par unidimensional, entonces la función de ventana bidimensional correspondiente ^{[ 2 ]} es

${\displaystyle w(n_{1},n_{2})=w\left({\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}\right){\text{ for }}\left|{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}\right|\leqslant a}$

(dónde${\displaystyle a}$es una constante) y

${\displaystyle w(n_{1},n_{2})=0{\text{ for }}\left|{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}\right|>a}$

La transformación de la transformada de Fourier de la función ventana en coordenadas rectangulares a coordenadas polares da como resultado una expresión de la transformada de Fourier-Bessel , conocida como transformada de Hankel . Por lo tanto, la transformada de Hankel se utiliza para calcular la transformada de Fourier de las funciones ventana bidimensionales.

Si se utiliza este enfoque para encontrar la ventana 2D a partir de la función de ventana 1D, entonces sus transformadas de Fourier tienen la relación

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}H(w_{1},w_{2})**W(w_{1},w_{2})=H(w)*W(w)}$^{[ 2 ]}

dónde:

${\displaystyle H(w)=\left\{{\begin{matrix}1,&w\geq 0\\0,&w<0\\\end{matrix}}\right.}$es una función escalón unidimensional

y

${\displaystyle H(w_{1},w_{2})=\left\{{\begin{matrix}1,&w_{1}\geq 0{\text{ and all }}w_{2}\\0,&w_{1}<0{\text{ and all }}w_{2}\end{matrix}}\right.}$es una función escalonada bidimensional. Para calcular el porcentaje del lóbulo principal constituido por el lóbulo lateral, se calcula el volumen bajo los lóbulos laterales, a diferencia de lo que ocurre en una dimensión, donde se utiliza el área bajo los lóbulos laterales. Para comprender este enfoque, consideremos una ventana de Kaiser unidimensional; entonces, la función bidimensional correspondiente se puede derivar como:

${\displaystyle w(n_{1},n_{2})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\alpha {\sqrt {1-{\frac {\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}{a^{2}}}}}\right)}{I_{0}(\alpha )}},&|r|\leqslant a\\0&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

Este es el método más utilizado para diseñar ventanas bidimensionales.

El diseño de filtros 2D mediante ventanas utilizando formulaciones de ventana obtenidas de los dos enfoques anteriores dará como resultado el mismo orden de filtro. Esto resulta en una ventaja para el segundo enfoque ya que su región circular de soporte tiene menos muestras distintas de cero que la región cuadrada de soporte obtenida del primer enfoque, lo que a su vez resulta en ahorros computacionales debido a la reducción del número de coeficientes del filtro 2D. Pero la desventaja de este enfoque es que las características de frecuencia de la ventana 1D no se conservan bien en los casos 2D mediante este método de rotación. ^{[ 3 ]} También se encontró que el ancho del lóbulo principal y el nivel del lóbulo lateral de las ventanas 2D no se comportan tan bien y son tan predecibles como sus prototipos 1D. ^{[ 4 ]} Al diseñar una ventana 2D hay dos características que deben considerarse para la rotación. En primer lugar, la ventana 1D solo está definida para valores enteros de${\displaystyle n}$pero${\displaystyle {\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}}$El valor no es un número entero en general. Para superar esto, se puede utilizar el método de interpolación para definir valores para${\displaystyle w(n_{1},n_{2})}$para cualquier arbitrario${\displaystyle w\left({\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}\right).}$En segundo lugar, la FFT bidimensional debe ser aplicable a la ventana bidimensional.

Enfoque III

Otro enfoque consiste en obtener ventanas 2D rotando la respuesta en frecuencia de una ventana 1D en el espacio de Fourier, seguida de la transformada inversa de Fourier. ^{[ 6 ]} En el enfoque II, la señal en el dominio espacial se rota, mientras que en este enfoque la ventana 1D se rota en un dominio diferente (por ejemplo, la señal en frecuencia).

Así, la transformada de Fourier de la función de ventana 2D viene dada por

${\displaystyle W_{2}(w_{1},w_{2})=W_{1}\left({\sqrt {(w_{1}^{2}+w_{2}^{2})}}\right).}$

La función de ventana 2D${\displaystyle w_{2}(n_{1},n_{2})}$se puede obtener calculando la transformada inversa de Fourier de ${\displaystyle W_{2}(w_{1},w_{2})}$.

Otra forma de mostrar la rotación que preserva el tipo es cuando la relación${\displaystyle W_{1}(w_{1})=W_{2}(w_{1},w_{2})\ at\ w_{2}=0}$se satisface. Esto implica que una porción de la respuesta en frecuencia de la ventana 2D es igual a la de la ventana 1D donde la orientación de${\displaystyle (w_{1},w_{2})}$es arbitrario. En el dominio espacial, esta relación viene dada por${\displaystyle w_{1}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }\!w_{2}(n_{1},n_{2})\,dn_{2}}$Esto implica que una porción de la respuesta en frecuencia${\displaystyle W_{2}(w_{1},w_{2})}$es lo mismo que la transformada de Fourier de la integración unidireccional de la ventana 2D${\displaystyle w_{2}(n_{1},n_{2})}$.

La ventaja de este enfoque es que las características individuales de la respuesta de la ventana 1-D${\displaystyle W_{1}(w_{1})}$se conservan bien en la respuesta de ventana 2D obtenida${\displaystyle W_{2}(w_{1},w_{2})}$Además, la simetría circular mejora considerablemente en un sistema discreto . El inconveniente es que es computacionalmente ineficiente debido al requisito de la transformada inversa de Fourier bidimensional y, por lo tanto, menos útil en la práctica. ^{[ 3 ]}

Enfoque IV

Se propuso un nuevo método para diseñar una ventana 2-D aplicando la transformación de McClellan a una ventana 1-D. ^{[ 7 ]} Cada coeficiente de la ventana 2-D resultante es la combinación lineal de los coeficientes de la ventana 1-D correspondiente con ponderación entera o potencia de 2.

Consideremos un caso de longitud par, entonces la respuesta en frecuencia de la ventana unidimensional de longitud N se puede escribir como

${\displaystyle W_{1}(w)=\sum _{n=1}^{N/2}w(n)\cos[(n-0.5)w].}$

Consideremos la transformación de McClellan:

${\displaystyle \cos(w)=0.5\cos(w_{1})+0.5\cos(w_{2})+0.5\cos(w_{1})\cos(w_{2})-0.5}$

lo cual es equivalente a

${\displaystyle \cos(0.5w)=\cos(0.5w_{1})\cos(0.5w_{2}){\text{ for }}0\leq \ w\leq \pi ,0\leq \ w_{1}\leq \pi ,0\leq \ w_{2}\leq \pi .}$

Sustituyendo lo anterior, obtenemos la respuesta en frecuencia de la ventana 2D correspondiente.

${\displaystyle W_{2}(w_{1},w_{2})=\sum _{n_{1}=1}^{N/2}\sum _{n_{2}=1}^{N/2}w_{2}(n_{1},n_{2})\cos[(n_{1}-0.5)w_{1}]\cos[(n_{2}-0.5)w_{2}].}$

A partir de la ecuación anterior, se pueden obtener los coeficientes de la ventana 2-D.

Para ilustrar este enfoque, consideremos la ventana de Tseng. La ventana de Tseng unidimensional de${\displaystyle 2N}$Los pesos se pueden escribir como

${\displaystyle W(w)=\exp(-jw/2)\sum _{n=1}^{N}2w_{n}\cos \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)w\right).}$

Al implementar este enfoque, la respuesta en frecuencia de la ventana de Tseng transformada mediante McClellan en 2D viene dada por

${\displaystyle W(w_{1},w_{2})=\exp(-j(w_{1}+w_{2})/2)\sum _{n_{1}=1}^{N}\sum _{n_{2}=1}^{N}4w(n_{1},n_{2})\cos \left(\left(n_{1}-{\frac {1}{2}}\right)w_{1}\right)\cos \left(\left(n_{2}-{\frac {1}{2}}\right)w_{2}\right)}$

dónde${\displaystyle w(n_{1},n_{2})}$son los coeficientes de la ventana de Tseng 2-D.

Esta ventana encuentra aplicaciones en el diseño de conjuntos de antenas para la detección de señales AM. ^{[ 8 ]}

Entre las ventajas se incluyen un diseño sencillo y eficiente, una respuesta en frecuencia casi circularmente simétrica de la ventana bidimensional y la conservación de las características del prototipo de ventana unidimensional. Sin embargo, al utilizar este enfoque para el diseño de filtros FIR, se observó que los filtros bidimensionales diseñados no eran tan buenos como los propuestos originalmente por McClellan.

Utilizando los enfoques anteriores, las funciones de ventana 2D para algunas de las ventanas 1D se muestran a continuación. Cuando se utiliza la transformada de Hankel para encontrar la respuesta en frecuencia de la función de ventana, es difícil representarla en forma cerrada. Excepto para la ventana rectangular y la ventana de Bartlett , las demás funciones de ventana se representan en su forma integral original. La función de ventana bidimensional se representa como${\displaystyle w(r)}$con una región de apoyo proporcionada por${\displaystyle |r|<a}$donde la ventana está configurada a la unidad en el origen y${\displaystyle w(r)=0}$para${\displaystyle |r|>a.}$Utilizando la transformada de Hankel , la respuesta en frecuencia de la función ventana viene dada por

${\displaystyle W(f)=\int _{0}^{\infty }\!rw(r)J_{0}(fr)\,dr.}$ ^{[ 9 ]}

dónde${\displaystyle J_{0}}$es la identidad de la función de Bessel .

Ventana rectangular

La versión bidimensional de una ventana rectangular con simetría circular se muestra a continuación ^{[ 9 ].}

${\displaystyle w(r)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&|r|\leqslant a\\0,&|r|>a\\\end{array}}\right.}$

La ventana es cilíndrica con una altura igual a uno y una base igual a 2a. La sección transversal vertical de esta ventana es una ventana rectangular unidimensional. La respuesta en frecuencia de la ventana, después de sustituir la función de ventana definida anteriormente, utilizando la transformada de Hankel , se muestra a continuación.

${\displaystyle W(f)=\int _{0}^{\infty }\!rJ_{0}(fr)\,dr}$