Filtro bidimensional

El filtrado de señales digitales consiste en la implementación de un filtro digital. Un filtro digital es un sistema que realiza operaciones matemáticas sobre una señal discreta muestreada para reducir o realzar ciertos aspectos de dicha señal. Las señales de entrada y salida son digitales. Esto contrasta con el otro tipo principal de filtro electrónico, el filtro analógico, que es un circuito electrónico que opera sobre una señal analógica continua . En realidad, el concepto básico de los filtros digitales y analógicos es el mismo. La única diferencia radica en los tipos de señales y los métodos de filtrado. Los filtros digitales se pueden implementar numéricamente mediante software y ofrecen las ventajas de una alta precisión de procesamiento, un sistema estable, un tamaño reducido y un peso ligero. No existe adaptación de impedancias en los filtros digitales, y estos pueden realizar funciones de filtrado especiales que no pueden lograr los filtros analógicos. Las señales analógicas también se pueden procesar mediante filtros digitales utilizando convertidores analógico-digitales .

Los filtros bidimensionales se utilizan para procesar señales digitales bidimensionales. Existe una diferencia importante entre el diseño de filtros digitales unidimensionales y bidimensionales. En el caso unidimensional, el diseño y la implementación de los filtros se pueden considerar más fácilmente por separado. Primero se diseña el filtro y luego, mediante las manipulaciones adecuadas de la función de transferencia, se pueden determinar los coeficientes requeridos por una estructura de red particular. En cambio, en el caso bidimensional, el diseño y la implementación están más estrechamente relacionados. Dado que los polinomios multidimensionales no se pueden factorizar en general, esto significa que una función de transferencia multidimensional arbitraria generalmente no se puede manipular para obtener la forma requerida por una implementación particular. Si nuestra implementación solo puede realizar funciones de transferencia factorizables, nuestro algoritmo de diseño debe estar adaptado para diseñar solo filtros de esta clase. Esto tiene el efecto de complicar el problema de diseño y también limitar el número de implementaciones prácticas. Los filtros digitales se pueden clasificar en dos tipos principales: respuesta de impulso finito ( FIR ) y respuesta de impulso infinito ( IIR ). El filtro digital FIR 2D se obtiene mediante una estructura de algoritmo no recursivo, mientras que el filtro digital IIR 2D se obtiene mediante una estructura de algoritmo de retroalimentación recursiva. ^{[ 1 ]}

Un filtro IIR puede implementarse de forma directa reorganizando su ecuación de diferencias para expresar una muestra de salida en términos de las muestras de entrada y las muestras de salida calculadas previamente. ^{[ 2 ]} Para un filtro de primer cuadrante, la señal de entrada${\displaystyle x\left(n_{1},n_{2}\right)}$y la señal de salida${\displaystyle y\left(n_{1},n_{2}\right)}$están relacionados por

${\displaystyle y\left(n_{1},n_{2}\right)=\sum _{l_{1}=0}^{L_{1}-1}\sum _{l_{2}=0}^{L_{2}-1}a(l_{1},l_{2})x(n_{1}-l_{1},n_{2}-l_{2})-\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})y(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2})}$

Dado que la respuesta del filtro a un impulso${\displaystyle \delta (n_{1},n_{2})}$es por definición la respuesta impulsional${\displaystyle h\left(n_{1},n_{2}\right)}$, podemos derivar la relación

${\displaystyle h\left(n_{1},n_{2}\right)=a(l_{1},l_{2})-\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})h(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2})}$

Al aplicar la transformada Z bidimensional a ambos lados, podemos resolver la función del sistema.${\displaystyle H\left(z_{1},z_{2}\right)}$, que viene dado por

${\displaystyle H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {\sum _{l_{1}=0}^{L_{1}-1}\sum _{l_{2}=0}^{L_{2}-1}a(l_{1},l_{2})z_{1}^{-l_{1}}z_{2}^{-l_{2}}}{\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})z_{1}^{-k_{1}}z_{2}^{-k_{2}}}}={\frac {A_{z}(z_{1},z_{2})}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}}$

Esta relación puede considerarse como el resultado de la cascada de dos filtros, un filtro FIR con una función de sistema igual a${\ Displaystyle A (z_ {1}, z_ {2})}$y un filtro IIR con una función de sistema igual a${\displaystyle 1/B(z_{1},z_{2})}$, como se muestra en la figura siguiente. ^{[ 3 ]}

Otro método para construir filtros IIR 2-D complejos es mediante la interconexión en paralelo de subfiltros. En este caso, la función de transferencia global se convierte en

${\displaystyle H_{z}^{p}(z_{1},z_{2})=\sum _{i=1}^{N}H_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}$

Usando la ecuación

${\displaystyle H_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})={\frac {A_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}{B_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}}}$

y al colocar la suma en la función de transferencia sobre un denominador común, obtenemos la forma expandida.

${\displaystyle H_{z}^{p}(z_{1},z_{2})={\frac {A_{z}^{p}(z_{1},z_{2})}{B_{z}^{p}(z_{1},z_{2})}}={\frac {\sum _{j=1}^{N}\prod _{i\neq j}A_{z}^{(j)}(z_{1},z_{2})B_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}{\prod _{i=1}^{N}B_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}}}$

La forma paralela no puede utilizarse para implementar una función de sistema racional bidimensional arbitraria. ^{[ 4 ]} Sin embargo, podemos sintetizar filtros IIR bidimensionales interesantes que pueden implementarse mediante una arquitectura paralela. Por ejemplo, la forma paralela puede ser ventajosa al diseñar un filtro con múltiples bandas de paso . La implementación paralela también puede ser útil para implementar un filtro IIR bidimensional cuya respuesta impulsional no se limita a un solo cuadrante, como un filtro simétrico.

En la literatura se han descrito numerosas técnicas de diseño para filtros digitales IIR bidimensionales. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} En 2013, el algoritmo genético se había utilizado con éxito en el diseño de filtros digitales durante aproximadamente una década. Aquí presentamos un método para diseñar filtros IIR bidimensionales denominado método de diseño basado en algoritmos genéticos.

Inicialización

La figura siguiente muestra el flujo de diseño propuesto basado en GA. Los coeficientes del filtro se codifican en su representación numérica CSD. En la inicialización de la población, los cromosomas se generan aleatoriamente. Cada coeficiente tiene una longitud de palabra preespecificada y un número máximo de dígitos distintos de cero, que se puede establecer en cualquier valor deseado. ^{[ 5 ]}