Teselaje triangular

En geometría , el teselado triangular es uno de los tres teselados regulares del plano euclidiano , y es el único en el que las figuras que lo componen no son paralelos . Dado que el ángulo interno del triángulo equilátero es de 60 grados, seis triángulos en un punto ocupan 360 grados. El teselado triangular tiene el símbolo de Schläfli {3,6}.

El matemático inglés John Conway lo llamó deltille , nombre derivado de la forma triangular de la letra griega delta (Δ). El recubrimiento triangular también puede denominarse kishextille mediante una operación kish que añade un punto central y triángulos para reemplazar las caras de un hextille .

Es uno de los tres teselados regulares del plano . Los otros dos son el teselado cuadrado y el teselado hexagonal .

Hay 9 coloraciones uniformes distintas de un teselado triangular. (Nombrando los colores por índices en los 6 triángulos alrededor de un vértice: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Tres de ellas se pueden derivar de otras repitiendo colores: 111212 y 111112 a partir de 121213 combinando 1 y 3, mientras que 111213 se reduce a partir de 121314. ^{[ 1 ]}

Existe una clase de coloraciones arquimedianas , 111112 (marcada con un *), que no es 1-uniforme, ya que contiene filas alternas de triángulos donde cada tercer triángulo está coloreado. El ejemplo mostrado es 2-uniforme, pero existen infinitas coloraciones arquimedianas de este tipo que pueden crearse mediante desplazamientos horizontales arbitrarios de las filas.

La disposición de vértices del teselado triangular se llama red A ₂ . ^{[ 2 ]} Es el caso bidimensional de un panal simplicial .

La red A ^* _{2 (también llamada A} ³ ₂ ) se puede construir mediante la unión de las tres redes A ₂ , y es equivalente a la red A _{2 .}

+ + = dual de =

Los vértices del teselado triangular son los centros del empaquetamiento circular más denso posible . ^{[ 3 ]} Cada círculo está en contacto con otros 6 círculos en el empaquetamiento ( número de contacto ). La densidad de empaquetamiento es π / √12 o 90,69 %. La celda de Voronoi de un teselado triangular es un hexágono , por lo que la teselación de Voronoi , el teselado hexagonal, tiene una correspondencia directa con los empaquetamientos circulares.

Los teselados triangulares se pueden realizar con la topología {3,6} equivalente a la del teselado regular (6 triángulos alrededor de cada vértice). Con caras idénticas ( transitividad de caras ) y transitividad de vértices , existen 5 variaciones. La simetría dada supone que todas las caras son del mismo color. ^{[ 4 ]}

• 
  Triángulo escaleno p2 simetría
• 
  Triángulo escaleno pmg simetría
• 
  Triángulo isósceles simetría cmm
• 
  Triángulo rectángulo simetría cmm
• 
  Triángulo equilátero p6m simetría

Los recubrimientos planos están relacionados con los poliedros . Al colocar menos triángulos en un vértice, queda un hueco que permite plegarlo para formar una pirámide . Estos se pueden extender a los sólidos platónicos : cinco, cuatro y tres triángulos en un vértice definen un icosaedro , un octaedro y un tetraedro , respectivamente.

Este teselado está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con símbolos de Schläfli {3,n}, que continúa en el plano hiperbólico .

También está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de sólidos catalanes con configuración de caras Vn.6.6, y también continúa en el plano hiperbólico.

Hay 4 apeirogonos complejos regulares que comparten los vértices del teselado triangular. Los apeirogonos complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirogonos regulares p { q } r están restringidos por: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices y las figuras de los vértices son r -gonales. ^{[ 5 ]}

La primera está formada por 2 aristas, las dos siguientes son aristas triangulares y la última tiene aristas hexagonales superpuestas.

• Isogrid (diseño estructural mediante teselado triangular)
• Lista de teselaciones uniformes
• Panal de abeja simple
• Teselaciones de polígonos regulares
• Panal de abejas con teselado triangular

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8pág.  296, Tabla II: Panales regulares
• Grünbaum, Branko y Shephard, GC (1987). Azulejos y patrones . Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Capítulo 2.1: Teselaciones regulares y uniformes , págs.  58-65; Capítulo 2.9: Coloraciones arquimedianas y uniformes, págs.  102-107)
• Williams, Robert (1979). Los fundamentos geométricos de la estructura natural: Un libro de referencia sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.

p35

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5

Contenido multimedia relacionado con el teselado triangular de orden 6 en Wikimedia Commons.

• Weisstein, Eric W. "Cuadrícula triangular" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Teselación regular" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Teselación uniforme" . MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas 2D x3o6o - trat - O2" .