Reflexión de deslizamiento

En geometría , una reflexión con deslizamiento o transflexión es una transformación geométrica que consiste en una reflexión a través de un hiperplano y una traslación ("deslizamiento") en una dirección paralela a ese hiperplano, combinadas en una sola transformación. ^{[ 1 ]}

Debido a que las distancias entre puntos no cambian durante la reflexión con deslizamiento, se trata de un movimiento o isometría . Cuando el contexto es el plano euclidiano bidimensional , el hiperplano de reflexión es una línea recta llamada eje de deslizamiento . Cuando el contexto es el espacio tridimensional , el hiperplano de reflexión es un plano llamado plano de deslizamiento . El vector de desplazamiento de la traslación se llama vector de deslizamiento .

Cuando un objeto o configuración geométrica permanece inalterado tras una transformación, se dice que posee simetría , y dicha transformación se denomina operación de simetría . La simetría de reflexión-deslizamiento se observa en grupos de frisos (patrones que se repiten en una dimensión, a menudo utilizados en bordes decorativos), grupos de papel tapiz ( teselaciones regulares del plano) y grupos espaciales (que describen, por ejemplo, simetrías cristalinas ). Los objetos con simetría de reflexión-deslizamiento generalmente no son simétricos bajo reflexión únicamente, pero dos aplicaciones de la misma reflexión-deslizamiento dan como resultado una doble traslación, por lo que los objetos con simetría de reflexión-deslizamiento siempre poseen también una simetría de traslación simple .

Cuando una reflexión se combina con una traslación en una dirección perpendicular al hiperplano de reflexión, la composición de ambas transformaciones es una reflexión en un hiperplano paralelo. Sin embargo, cuando una reflexión se combina con una traslación en cualquier otra dirección, la composición de ambas transformaciones es una reflexión con deslizamiento, que puede describirse de forma unívoca como una reflexión en un hiperplano paralelo combinada con una traslación en una dirección paralela a dicho hiperplano.

Un deslizamiento simple se representa como el grupo de frisos p11g. Una reflexión de deslizamiento puede verse como una reflexión de rotor límite , donde la rotación se convierte en una traslación. También se le puede dar una notación de Schoenflies como S _2∞ , una notación de Coxeter como [∞ ⁺ ,2 ⁺ ] y una notación de orbifold como ∞×.

En el plano euclidiano, las reflexiones y las reflexiones con deslizamiento son los únicos dos tipos de isometrías indirectas (que invierten la orientación) .

Por ejemplo, existe una isometría que consiste en la reflexión sobre el eje x , seguida de una traslación de una unidad paralela a este. En coordenadas, se toma

Esta isometría mapea el eje x sobre sí mismo; cualquier otra línea paralela al eje x se refleja en el eje x , por lo que este sistema de líneas paralelas permanece invariante.

El grupo de isometría generado por una simple reflexión con deslizamiento es un grupo cíclico infinito . ^{[ 2 ]}

La combinación de dos reflexiones con deslizamiento iguales da como resultado una traslación pura con un vector de traslación que es el doble del de la reflexión con deslizamiento, por lo que las potencias pares de la reflexión con deslizamiento forman un grupo de traslación.

En el caso de la simetría de reflexión con deslizamiento, el grupo de simetría de un objeto contiene una reflexión con deslizamiento y, por lo tanto, el grupo generado por ella. Si solo contiene eso, este tipo es el grupo de friso p11g.

Ejemplo de patrón con este grupo de simetría:

Un ejemplo típico de reflexión por deslizamiento en la vida cotidiana serían las huellas que deja una persona al caminar por la playa en la arena.

El grupo de frisos n.º 6 (reflexiones con deslizamiento, traslaciones y rotaciones) se genera mediante una reflexión con deslizamiento y una rotación alrededor de un punto en la línea de reflexión. Es isomorfo a un producto semidirecto de Z y C ₂ .

Ejemplo de patrón con este grupo de simetría:

Para cualquier grupo de simetría que contenga alguna simetría de reflexión con deslizamiento, el vector de traslación de cualquier reflexión con deslizamiento es la mitad de un elemento del grupo de traslación. Si el vector de traslación de una reflexión con deslizamiento es a su vez un elemento del grupo de traslación, entonces la simetría de reflexión con deslizamiento correspondiente se reduce a una combinación de simetría de reflexión y simetría de traslación .

La simetría de reflexión con deslizamiento respecto a dos líneas paralelas con la misma traslación implica que también existe simetría traslacional en la dirección perpendicular a estas líneas, con una distancia de traslación que es el doble de la distancia entre las líneas de reflexión con deslizamiento. Esto corresponde al grupo de papel tapiz pg; con simetría adicional, también se presenta en pmg, pgg y p4g.

Si también existen líneas de reflexión verdaderas en la misma dirección, entonces están espaciadas uniformemente entre las líneas de reflexión de deslizamiento. Una línea de reflexión de deslizamiento paralela a una línea de reflexión verdadera ya implica esta situación. Esto corresponde al grupo de papel tapiz cm. La simetría traslacional viene dada por vectores de traslación oblicua desde un punto en una línea de reflexión verdadera a dos puntos en la siguiente, formando un rombo con la línea de reflexión verdadera como una de las diagonales. Con simetría adicional, también se presenta en cmm, p3m1, p31m, p4m y p6m.

En el plano euclidiano, 3 de los 17 grupos de papel tapiz requieren generadores de reflexión con deslizamiento. p2gg tiene reflexiones con deslizamiento ortogonales y rotaciones de orden 2. cm tiene espejos y deslizamientos paralelos, y pg tiene deslizamientos paralelos. (Las reflexiones con deslizamiento se muestran a continuación como líneas discontinuas).

En la notación de Hermann-Mauguin, los planos de deslizamiento se representan con las letras a , b o c , según el eje sobre el que se desplacen. (La orientación del plano viene determinada por la posición del símbolo en la notación de Hermann-Mauguin). Si el eje no está definido, el plano de deslizamiento se puede representar con la letra g . Cuando el plano de deslizamiento es paralelo a la pantalla, se puede indicar con una flecha curva cuya punta apunta a la dirección del deslizamiento. Cuando el plano de deslizamiento es perpendicular a la pantalla, se puede representar con líneas discontinuas si es paralelo al plano de la pantalla o con líneas punteadas si es perpendicular a él. Además, una red centrada puede generar un plano de deslizamiento en dos direcciones simultáneamente. Este tipo de plano de deslizamiento puede indicarse mediante una flecha curva con una punta de flecha en ambos extremos cuando el plano de deslizamiento es paralelo al plano de la pantalla, o mediante una línea discontinua y de doble punto cuando el plano de deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. También existe el deslizamiento n , que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de una diagonal de una cara, y el deslizamiento d , que es a lo largo de un cuarto de una diagonal de cara o espacio de la celda unitaria . Este último se suele denominar plano de deslizamiento de diamante, ya que forma parte de la estructura de diamante. El plano de deslizamiento n puede indicarse mediante una flecha diagonal cuando es paralelo al plano de la pantalla, o mediante una línea discontinua y de puntos cuando el plano de deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. Un plano de deslizamiento d puede indicarse mediante una media flecha diagonal si el plano de deslizamiento es paralelo al plano de la pantalla, o mediante una línea discontinua y de puntos con flechas si el plano de deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. Si un plano de deslizamiento d está presente en un sistema cristalino, entonces ese cristal debe tener una red centrada. ^{[ 3 ]}

En la versión actual de la notación de Hermann-Mauguin, el símbolo e se utiliza cuando existen dos formas posibles de designar la dirección del deslizamiento, ya que ambas son válidas. Por ejemplo, si un cristal tiene una red de Bravais centrada en la base y centrada en la cara C, entonces un deslizamiento de media celda unitaria en la dirección a produce el mismo resultado que un deslizamiento de media celda unitaria en la dirección b .

El grupo de isometría generado por una simple reflexión con deslizamiento es un grupo cíclico infinito . La combinación de dos operaciones de plano de deslizamiento iguales produce una traslación pura con un vector de traslación que es el doble del de la reflexión con deslizamiento, por lo que las potencias pares de la reflexión con deslizamiento forman un grupo de traslación.

En el caso de la simetría de reflexión-deslizamiento, el grupo de simetría de un objeto contiene una reflexión-deslizamiento y el grupo generado por ella. Para cualquier grupo de simetría que contenga una reflexión-deslizamiento, el vector de deslizamiento es la mitad de un elemento del grupo de traslación. Si el vector de traslación de una operación de plano de deslizamiento es a su vez un elemento del grupo de traslación, entonces la simetría del plano de deslizamiento correspondiente se reduce a una combinación de simetría de reflexión y simetría de traslación .

La simetría de deslizamiento se puede observar en la naturaleza entre ciertos fósiles de la biota de Ediacara ; los machaeridianos ; y ciertos gusanos paleoscolecidos . ^{[ 4 ]} También se puede observar en muchos grupos actuales de plumas de mar . ^{[ 5 ]}

En el Juego de la Vida de Conway , un patrón común llamado planeador recibe ese nombre porque repite su configuración de celdas, desplazada por una reflexión de deslizamiento, después de dos pasos del autómata. Después de cuatro pasos y dos reflexiones de deslizamiento, el patrón regresa a su orientación original, desplazado diagonalmente una unidad. De esta manera, continúa moviéndose a través de la matriz del juego. ^{[ 6 ]}

En ingeniería eléctrica, si una señal periódica también presenta simetrías de deslizamiento, se dice que es "simétrica de media onda". Esta simetría adicional hace que la serie de Fourier de la función contenga únicamente términos impares. Algunos ejemplos son la función seno , las ondas cuadradas y las ondas triangulares .

• Eje helicoidal
• Red (grupo)

• Walter Borchardt-Ott (1995). Cristalografía . Springer-Verlag. ISBN 3-540-59478-7.

• Glide Reflection archivado el 4 de abril de 2006 en Wayback Machine en cut-the-knot