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Articulo de referencia

Mapa de vías férreas

En el ámbito matemático de la teoría geométrica de grupos , un mapa de vías de tren es una aplicación continua f de un grafo conexo finito a sí mismo que es una equivalencia hom...

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En el ámbito matemático de la teoría geométrica de grupos , un mapa de vías de tren es una aplicación continua f de un grafo conexo finito a sí mismo que es una equivalencia homotópica y que posee propiedades de cancelación particularmente agradables con respecto a las iteraciones. Este mapa envía vértices a vértices y aristas a caminos de aristas no triviales con la propiedad de que para cada arista e del grafo y para cada entero positivo n el camino f n ( e ) está inmerso , es decir, f n ( e ) es localmente inyectivo en e . Los mapas de vías de tren son una herramienta clave para analizar la dinámica de los automorfismos de grupos libres finitamente generados y en el estudio del espacio exterior de Culler - Vogtmann .

Historia

Los mapas de vías de tren para automorfismos de grupos libres fueron introducidos en un artículo de 1992 de Bestvina y Handel. [ 1 ] La noción fue motivada por las vías de tren de Thurston en superficies, pero el caso de grupos libres es sustancialmente diferente y más complicado. En su artículo de 1992, Bestvina y Handel demostraron que todo automorfismo irreducible de F n tiene un representante de vía de tren. En el mismo artículo introdujeron la noción de una vía de tren relativa y aplicaron métodos de vía de tren para resolver [ 1 ] la conjetura de Scott que dice que para todo automorfismo α de un grupo libre finitamente generado F n el subgrupo fijo de α es libre de rango a lo sumo n . En un artículo posterior [ 2 ] Bestvina y Handel aplicaron las técnicas de vía de tren para obtener una prueba efectiva de la clasificación de Thurston de homeomorfismos de superficies compactas (con o sin frontera) que dice que todo homeomorfismo de este tipo es, salvo isotopía , reducible, de orden finito o pseudo-anosov .

Desde entonces, las vías de tren se convirtieron en una herramienta estándar en el estudio de las propiedades algebraicas, geométricas y dinámicas de los automorfismos de grupos libres y de subgrupos de Out( F n ). Las vías de tren son particularmente útiles ya que permiten comprender el crecimiento a largo plazo (en términos de longitud) y el comportamiento de cancelación para grandes iteraciones de un automorfismo de F n aplicado a una clase de conjugación particular en F n . Esta información es especialmente útil cuando se estudia la dinámica de la acción de elementos de Out( F n ) en el espacio exterior de Culler - Vogtmann y su frontera y cuando se estudian acciones de F n en árboles reales . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] Ejemplos de aplicaciones de vías de tren incluyen: un teorema de Brinkmann [ 6 ] que prueba que para un automorfismo α de F n el grupo toroide de mapeo de α es hiperbólico en palabras si y solo si α no tiene clases de conjugación periódicas; un teorema de Bridson y Groves [ 7 ] que dice que para cada automorfismo α de F n el grupo toroide de mapeo de α satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática ; una prueba de la resolubilidad algorítmica del problema de conjugación para grupos libres por cíclicos; [ 8 ] y otros.

Las vías del tren fueron una herramienta clave en la demostración de Bestvina, Feighn y Handel de que el grupo Out( F n ) satisface la alternativa de Tits . [ 9 ] [ 10 ]

La maquinaria de vías de tren para endomorfismos inyectivos de grupos libres fue desarrollada posteriormente por Dicks y Ventura. [ 11 ]

Definición formal

Mapa combinatorio

Para un grafo finito Γ (que aquí se considera un complejo celular unidimensional ), un mapa combinatorio es un mapa continuo.

f  : Γ → Γ   

de tal manera que:

  • La función f asigna vértices a vértices.
  • Para cada arista e de Γ, su imagen f ( e ) es un camino de aristas no trivial e 1 ... e m en Γ donde m  ≥  1. Además, e puede subdividirse en m intervalos de tal manera que el interior del i -ésimo intervalo es mapeado por f homeomórficamente sobre el interior de la arista e i para i  =  1,..., m .

Mapa de vías férreas

Sea Γ un grafo conexo finito. Un mapa combinatorio f  : Γ → Γ se denomina mapa de vía de tren si para cada arista e de Γ y para cada entero n ≥ 1, el camino de aristas f n ( e ) no contiene retrocesos, es decir, no contiene subcaminos de la forma hh − 1 donde h es una arista de Γ . En otras palabras, la restricción de f n a e es localmente inyectiva (o una inmersión) para cada arista e y para cada n ≥ 1.       

Cuando se aplica al caso n  =  1, esta definición implica, en particular, que el camino f ( e ) no tiene retrocesos.

Representante topológico

Sea F k un grupo libre de rango finito k  ≥  2. Fijemos una base libre A de F k y una identificación de F k con el grupo fundamental de la rosa R k que es una cuña de k círculos correspondientes a los elementos de la base de A.

Sea φ  ∈  Out( F k ) un automorfismo exterior de F k .

Un representante topológico de φ es una tripleta ( τ , Γ , f ) donde:

  • Γ es un grafo conexo finito con primer número de Betti k (de modo que el grupo fundamental de Γ es libre de rango k ).
  • τ  : R k → Γ es una equivalencia homotópica (lo que, en este caso, significa que τ es una aplicación continua que induce un isomorfismo a nivel de grupos fundamentales).   
  • f  : Γ → Γ es una aplicación combinatoria que también es una equivalencia homotópica.   
  • Si σ  : Γ → R k es un inverso homotópico de τ , entonces la composición   
σ f τ  : R k → R k   
induce un automorfismo de F k  = π 1 ( R k ) cuya clase de automorfismo externo es igual a φ . 

El mapa τ en la definición anterior se llama marcación y generalmente se omite cuando se discuten representantes topológicos. Por lo tanto, por abuso de notación, a menudo se dice que en la situación anterior f  : Γ → Γ es un representante topológico de φ .   

representante de la vía férrea

Sea φ  ∈  Out( F k ) un automorfismo exterior de F k . Un mapa de vías de tren que es un representante topológico de φ se llama representante de vías de tren de φ .

Sea f  : Γ → Γ una aplicación combinatoria. Un giro es un par no ordenado e , h de aristas orientadas de Γ (no necesariamente distintas) que tienen un vértice inicial común. Un giro e , h es degenerado si e = h y no degenerado en caso contrario.     

Un giro e , h es ilegal si para algún n  ≥  1 los caminos f n ( e ) y f n ( h ) tienen un segmento inicial común no trivial (es decir, comienzan con la misma arista). Un giro es legal si no es ilegal .

Se dice que un camino de aristas e 1 ,..., e m contiene giros e i − 1 , e i +1 para i  =  1,..., m − 1.

Un mapa combinatorio f  : Γ → Γ es un mapa de vía de tren si y solo si para cada arista e de Γ el camino f ( e ) no contiene giros ilegales.   

Mapa de derivados

Sea f  : Γ → Γ una aplicación combinatoria y sea E el conjunto de aristas orientadas de Γ . Entonces f determina su aplicación derivada Df : E → E, donde para cada arista e, Df ( e ) es la arista inicial del camino f ( e ). La aplicación Df se extiende naturalmente a la aplicación Df : T → T , donde T es el conjunto de todos los giros en Γ . Para un giro t dado por un par de aristas e , h , su imagen Df ( t ) es el giro Df ( e ), Df ( h ). Un giro t es válido si y solo si para todo n ≥ 1 el giro ( Df ) n ( t ) no es degenerado. Dado que el conjunto T de giros es finito, este hecho permite determinar algorítmicamente si un giro dado es válido o no y, por lo tanto, decidir algorítmicamente, dado f , si f es o no una aplicación de vía de tren.             

Ejemplos

Sea φ el automorfismo de F ( a , b ) dado por φ ( a )  = b , φ ( b ) = ab . Sea Γ la cuña de dos aristas de bucle E a y E b correspondientes a los elementos de base libres a y b , acuñadas en el vértice v . Sea f : Γ → Γ la aplicación que fija v y envía la arista E a a E b y que envía la arista E b al camino de aristas E a E b . Entonces f es una vía de tren representativa de φ .       

Resultado principal para automorfismos irreducibles

Automorfismos irreducibles

Se dice que un automorfismo externo φ de F k es reducible si existe una descomposición de producto libre.

Fk=H1∗…Hmetro∗U{\displaystyle F_{k}=H_{1}\ast \dots H_{m}\ast U}

donde todos los H i son no triviales, donde m  ≥  1 y donde φ permuta las clases de conjugación de H 1 ,..., H m en F k . Se dice que un automorfismo externo φ de F k es irreducible si no es reducible.

Se sabe [ 1 ] que φ  ∈  Out( F k ) es irreducible si y solo si para cada representante topológico f  : Γ → Γ de φ , donde Γ es finito, conexo y sin vértices de grado uno, cualquier subgrafo propio f- invariante de Γ es un bosque.   

Teorema de Bestvina - Handel para automorfismos irreducibles

El siguiente resultado fue obtenido por Bestvina y Handel en su artículo de 1992 [ 1 ] donde se introdujeron originalmente los mapas de vías férreas:

Sea φ  ∈  Out( F k ) irreducible. Entonces existe una vía de tren representativa de φ .

Bosquejo de la prueba

Para un representante topológico f : Γ → Γ de un automorfismo φ de F k la matriz de transición M ( f ) es una matriz r x r (donde r es el número de aristas topológicas de Γ ) donde la entrada m ij es el número de veces que el camino f ( e j ) pasa por la arista e i (en cualquier dirección). Si φ es irreducible, la matriz de transición M ( f ) es irreducible en el sentido del teorema de Perron-Frobenius y tiene un único autovalor de Perron - Frobenius λ ( f )  ≥  1 que es igual al radio espectral de M ( f ).

A continuación, se definen varios movimientos diferentes sobre representantes topológicos de φ que, en todos los casos, disminuyen o preservan el valor propio de Perron - Frobenius de la matriz de transición. Estos movimientos incluyen: subdividir una arista; homotopía de valencia uno (eliminar un vértice de grado uno); homotopía de valencia dos (eliminar un vértice de grado dos); colapsar un bosque invariante; y plegar. De todos estos movimientos, la homotopía de valencia uno siempre redujo el valor propio de Perron - Frobenius.

Partiendo de algún representante topológico f de un automorfismo irreducible φ, se construye algorítmicamente una secuencia de representantes topológicos.

f  = f 1 , f 2 , f 3 ,... 

de φ donde f n se obtiene de f n − 1 mediante varios movimientos, elegidos específicamente. En esta secuencia, si f n no es un mapa de vía de tren, entonces los movimientos que producen f n +1 a partir de f n necesariamente implican una secuencia de pliegues seguida de una homotopía de valencia uno, de modo que el autovalor de Perron - Frobenius de f n +1 es estrictamente menor que el de f n . El proceso está organizado de tal manera que los autovalores de Perron - Frobenius de los mapas f n toman valores en un subconjunto discreto deR{\displaystyle \mathbb {R} }. Esto garantiza que el proceso termina en un número finito de pasos y que el último término f N de la secuencia es una vía de tren representativa de φ .

Aplicaciones al crecimiento

Una consecuencia (que requiere argumentos adicionales) del teorema anterior es la siguiente: [ 1 ]

  • Si φ  ∈  Out( F k ) es irreducible, entonces el valor propio de Perron - Frobenius λ ( f ) no depende de la elección de un representante de vía f de φ, sino que está determinado unívocamente por φ mismo y se denota por λ ( φ ). El número λ ( φ ) se llama tasa de crecimiento de φ .
  • Si φ  ∈  Out( F k ) es irreducible y de orden infinito, entonces λ ( φ )  >  1. Además, en este caso, para cada base libre X de F k y para la mayoría de los valores no triviales de w  ∈ F k existe C ≥ 1 tal que para todo n ≥ 1     
1doλnorte(ϕ)≤||ϕnorte(w)||incógnita≤doλnorte(ϕ),{\displaystyle {\frac {1}{C}}\lambda ^{n}(\phi )\leq ||\phi ^{n}(w)||_{X}\leq C\lambda ^{n}(\phi ),}
donde || u || X es la longitud reducida cíclicamente de un elemento u de F k con respecto a X. Las únicas excepciones ocurren cuando F k corresponde al grupo fundamental de una superficie compacta con frontera S , y φ corresponde a un homeomorfismo pseudo-Anosov de S , y w corresponde a un camino que va alrededor de una componente de la frontera de S.

A diferencia de lo que ocurre con los elementos de los grupos de clases de mapeo , para un φ  ∈  Out( F k ) irreducible, a menudo sucede [ 12 ] que

λ ( φ ) ≠ λ ( φ − 1 ).  

Aplicaciones y generalizaciones

  • La primera aplicación importante de las vías del tren se dio en el artículo original de 1992 de Bestvina y Handel [ 1 ] donde se introdujeron las vías del tren. El artículo dio una demostración de la conjetura de Scott que dice que para cada automorfismo α de un grupo libre finitamente generado F n el subgrupo fijo de α es libre de rango a lo sumo n .
  • En un artículo posterior [ 2 ] Bestvina y Handel aplicaron las técnicas de la vía del tren para obtener una prueba efectiva de la clasificación de Thurston de homeomorfismos de superficies compactas (con o sin frontera) que dice que todo homeomorfismo de este tipo es, salvo isotopía , reducible, de orden finito o pseudo-anosov .
  • Las vías del tren son la herramienta principal en el algoritmo de Los para decidir si dos elementos irreducibles de Out( F n ) son conjugados o no en Out( F n ). [ 13 ]
  • Un teorema de Brinkmann [ 6 ] que prueba que para un automorfismo α de F n el grupo toroide de mapeo de α es hiperbólico en palabras si y solo si α no tiene clases de conjugación periódicas.
  • Un teorema de Levitt y Lustig que muestra que un automorfismo totalmente irreducible de un F n tiene dinámica "norte-sur" cuando actúa sobre la compactificación de tipo Thurston del espacio exterior de Culler - Vogtmann . [ 4 ]
  • Un teorema de Bridson y Groves [ 7 ] que para cada automorfismo α de F n el grupo toroide de mapeo de α satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática .
  • La demostración de Bestvina, Feighn y Handel de que el grupo Out( F n ) satisface la alternativa de Tits . [ 9 ] [ 10 ]
  • Un algoritmo que, dado un automorfismo α de F n , decide si el subgrupo fijo de α es trivial o no y encuentra un conjunto generador finito para ese subgrupo fijo. [ 14 ]
  • La prueba de la resolubilidad algorítmica del problema de conjugación para grupos libres por cíclicos por Bogopolski, Martino, Maslakova y Ventura. [ 8 ]
  • La maquinaria de las vías del tren para endomorfismos inyectivos de grupos libres , generalizando el caso de los automorfismos, fue desarrollada en un libro de Dicks y Ventura de 1996. [ 11 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 Mladen Bestvina y Michael Handel, Vías de tren y automorfismos de grupos libres. Annals of Mathematics (2), vol. 135 (1992), n.º 1, págs. 1-51 , JSTOR 2946562 
  2. 1 2 Mladen Bestvina y Michael Handel. Vías de tren para homeomorfismos de superficie. , Topology , vol. 34 (1995), no. 1, pp. 109 – 140, doi : 10.1016/0040-9383(94)E0009-9 .
  3. ↑ M. Bestvina, M. Feighn, M. Handel, Laminaciones, árboles y automorfismos irreducibles de grupos libres. Análisis geométrico y funcional , vol. 7 (1997), n.º 2, 215-244
  4. 1 2 Gilbert Levitt y Martin Lustig, Los automorfismos irreducibles de F n tienen dinámica norte-sur en el espacio exterior compactificado. Revista del Instituto de Matemáticas de Jussieu, vol. 2 (2003), n.º 1, 59 – 72
  5. ↑ Gilbert Levitt y Martin Lustig, Los automorfismos de grupos libres tienen dinámicas asintóticamente periódicas. Crelle's Journal , vol. 619 (2008), pp. 1-36 , doi : 10.1515 /CRELLE.2008.038
  6. 1 2 P. Brinkmann, Automorfismos hiperbólicos de grupos libres. Análisis geométrico y funcional , vol. 10 (2000), n.º 5, págs. 1071-1089 , doi : 10.1007 /PL00001647
  7. 1 2 Martin R. Bridson y Daniel Groves. La desigualdad isoperimétrica cuadrática para toros de mapeo de automorfismos de grupos libres. Memorias de la Sociedad Matemática Americana, de próxima publicación.
  8. 1 2 O. Bogopolski, A. Martino, O. Maslakova, E. Ventura,de la conjugación es resoluble en grupos libres por cíclicos. Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 38 (2006), n.º 5, págs. 787-794
  9. 1 2 Mladen Bestvina, Mark Feighn y Michael Handel. La alternativa Tits para Out(F n ). I. Dinámica de automorfismos de crecimiento exponencial. Annals of Mathematics (2), vol. 151 (2000), n.º 2, págs. 517-623
  10. 1 2 Mladen Bestvina, Mark Feighn y Michael Handel. La alternativa de Tits para Out(F n ). II. Un teorema de tipo Kolchin. Annals of Mathematics (2), vol. 161 (2005), n.º 1, págs. 1-59
  11. 1 2 Warren Dicks y Enric Ventura. El grupo fijado por una familia de endomorfismos inyectivos de un grupo libre. Contemporary Mathematics, 195. American Mathematical Society , Providence, RI, 1996. ISBN 0-8218-0564-9
  12. ↑ Michael Handel y Lee Mosher, Los factores de expansión de un automorfismo exterior y su inverso. Transactions of the American Mathematical Society , vol. 359 (2007), n.º 7, 3185-3208
  13. ↑ Jérôme E. Los, Sobre el problema de la conjugación para automorfismos de grupos libres. Topology , vol. 35 (1996), n.º 3, pp. 779 – 806, doi : 10.1016/0040-9383(95)00035-6
  14. ↑ OS Maslakova. El grupo de puntos fijos de un automorfismo de grupo libre . (En ruso). Algebra Logika, vol. 42 (2003), n.º 4, págs. 422-472 ; traducción en Algebra and Logic, vol. 42 (2003), n.º 4, págs. 237-265 .
  • Apuntes del minicurso de Peter Brinkmann sobre vías férreas