Mapeo del toro

En matemáticas , el toro de aplicación en topología de un homeomorfismo f de un espacio topológico X a sí mismo es una construcción geométrica particular con f . Tome el producto cartesiano de X con un intervalo cerrado I y pegue los componentes de contorno mediante el homeomorfismo estático:

${\displaystyle M_{f}={\frac {(I\times X)}{(1,x)\sim (0,f(x))}}}$

El resultado es un haz de fibras cuya base es un círculo y cuya fibra es el espacio original X.

Si X es una variedad , M _f será una variedad de dimensión uno mayor, y se dice que "fibra sobre el círculo" .

Como ejemplo simple, sea el círculo y sea la inversión , entonces el toro de aplicación es la botella de Klein. ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle e^{ix}\mapsto e^{-ix}}$

Los toros de mapeo de homeomorfismos de superficie juegan un papel clave en la teoría de 3-variedades y han sido intensamente estudiados. Si S es una superficie cerrada de género g  ≥ 2 y si f es un autohomeomorfismo de S , el toro de mapeo M _f es una 3-variedad cerrada que se fibrila sobre el círculo con fibra S . Un resultado profundo de Thurston establece que en este caso la 3-variedad M _f es hiperbólica si y solo si f es un homeomorfismo pseudo-Anosov de S . ^[1]