Reflexión interna total

En física , la reflexión interna total ( RIT ) es el fenómeno en el que las ondas que llegan a la interfaz (límite) de un medio a otro (por ejemplo, del agua al aire) no se refractan en el segundo medio ("externo"), sino que se reflejan completamente de vuelta al primer medio ("interno"). Ocurre cuando el segundo medio tiene una velocidad de onda mayor (es decir, un índice de refracción menor ) que el primero, y las ondas inciden con un ángulo suficientemente oblicuo en la interfaz. Por ejemplo, la superficie de contacto agua-aire en una pecera típica, vista oblicuamente desde abajo, refleja la escena subacuática como un espejo sin pérdida de brillo (Fig. 1). Un escenario opuesto a la RIT, denominado reflexión externa total , ocurre en los regímenes de ultravioleta extremo y rayos X.

La reflexión interna total (TIR) ​​se produce no solo con ondas electromagnéticas como la luz y las microondas , sino también con otros tipos de ondas, como el sonido y las ondas de agua . Si las ondas son capaces de formar un haz estrecho (Fig. 2), la reflexión tiende a describirse en términos de " rayos " en lugar de ondas; en un medio cuyas propiedades son independientes de la dirección, como el aire, el agua o el vidrio , los "rayos" son perpendiculares a los frentes de onda asociados . La reflexión interna total se produce cuando se supera el ángulo crítico.

La refracción suele ir acompañada de reflexión parcial . Cuando las ondas se refractan desde un medio de menor velocidad de propagación (mayor índice de refracción ) a un medio de mayor velocidad de propagación (menor índice de refracción) —por ejemplo, del agua al aire— el ángulo de refracción (entre el rayo saliente y la normal a la superficie ) es mayor que el ángulo de incidencia (entre el rayo entrante y la normal). A medida que el ángulo de incidencia se aproxima a un cierto umbral, denominado ángulo crítico , el ángulo de refracción se aproxima a 90°, momento en el que el rayo refractado se vuelve paralelo a la superficie límite. Si el ángulo de incidencia supera el ángulo crítico, las condiciones de refracción dejan de cumplirse, por lo que no hay rayo refractado y la reflexión parcial se convierte en total. Para la luz visible , el ángulo crítico es de aproximadamente 49° para la incidencia del agua al aire y de aproximadamente 42° para la incidencia del vidrio común al aire.

Los detalles del mecanismo de la reflexión interna total (TIR) ​​dan lugar a fenómenos más sutiles. Si bien la reflexión total, por definición, no implica un flujo continuo de potencia a través de la interfaz entre los dos medios, el medio externo transporta una denominada onda evanescente , que viaja a lo largo de la interfaz con una amplitud que disminuye exponencialmente con la distancia a la misma. La reflexión "total" es realmente total si el medio externo es sin pérdidas (perfectamente transparente), continuo y de extensión infinita, pero puede ser notablemente menor que total si la onda evanescente es absorbida por un medio externo con pérdidas (" reflectancia total atenuada "), o desviada por el límite exterior del medio externo o por objetos incrustados en él ("  TIR frustrada"). A diferencia de la reflexión parcial entre medios transparentes, la reflexión interna total va acompañada de un desfase no trivial (no solo cero o 180°) para cada componente de la polarización (perpendicular o paralela al plano de incidencia ), y estos desfases varían con el ángulo de incidencia. La explicación de este efecto, propuesta por Augustin-Jean Fresnel en 1823, se sumó a las pruebas a favor de la teoría ondulatoria de la luz .

Los desfases son utilizados por la invención de Fresnel, el rombo de Fresnel , para modificar la polarización. La eficiencia de la reflexión interna total es aprovechada por las fibras ópticas (utilizadas en cables de telecomunicaciones y en fibroscopios formadores de imágenes ) y por prismas reflectantes , como los prismas de Porro / techo enderezadores de imagen para monoculares y binoculares .

Aunque la reflexión interna total puede ocurrir con cualquier tipo de onda que se pueda decir que tiene incidencia oblicua, incluyendo (por ejemplo) microondas ^{[ 1 ]} y ondas sonoras , ^{[ 2 ]} es más conocida en el caso de las ondas de luz .

La reflexión interna total de la luz se puede demostrar utilizando un bloque semicilíndrico de vidrio común o acrílico . En  la figura 3, una "caja de rayos" proyecta un haz de luz estrecho (un  " rayo ") radialmente hacia el interior. La sección transversal semicircular del vidrio permite que el rayo incidente permanezca perpendicular a la parte curva de la superficie aire/vidrio y, por lo tanto, continúe en línea recta hacia la parte plana de la superficie, aunque su ángulo con respecto a esta varíe.

Donde el rayo encuentra la interfaz plana vidrio-aire, el ángulo entre el rayo y la normal (perpendicular) a la interfaz se llama ángulo de incidencia . ^{[ 3 ]} Si este ángulo es suficientemente pequeño, el rayo se refleja parcialmente pero se transmite mayormente, y la porción transmitida se refracta alejándose de la normal, de modo que el ángulo de refracción (entre el rayo refractado y la normal a la interfaz) es mayor que el ángulo de incidencia. Por el momento, llamemos al ángulo de incidencia θ _i y al ángulo de refracción θ _t (donde t es para la transmisión , reservando r para la reflexión ). A medida que θ _i aumenta y se acerca a un cierto "ángulo crítico", denotado por θ _c (o a veces θ _cr ), el ángulo de refracción se acerca a 90° (es decir, el rayo refractado se acerca a una tangente a la interfaz), y el rayo refractado se vuelve más débil mientras que el rayo reflejado se vuelve más brillante. ^{[ 4 ]} A medida que θ _i aumenta más allá de θ _c , el rayo refractado desaparece y solo queda el rayo reflejado, de modo que toda la energía del rayo incidente se refleja; esto es reflexión interna total (RIT). En  resumen:

• Si θ _i < θ _c ‍ ,el rayo incidente se divide, siendo parcialmente reflejado y parcialmente refractado;
• Si θ _i > θ _c ‍ ,el rayo incidente sufre reflexión interna total (TIR); nada de él se transmite.

El ángulo crítico es el ángulo de incidencia más pequeño que produce reflexión total, o equivalentemente el ángulo más grande para el cual existe un rayo refractado. ^{[ 5 ]} Para ondas de luz incidentes desde un medio "interno" con un único índice de refracción n ₁ , a un medio "externo" con un único índice de refracción n ₂ , el ángulo crítico viene dado por${\displaystyle \theta _{\text{c}}=\arcsin(n_{2}/n_{1})}$y se define si n ₂ ≤ n ₁ . Para otros tipos de ondas, resulta más conveniente pensar en términos de velocidades de propagación que de índices de refracción. La explicación del ángulo crítico en términos de velocidades es más general y, por lo tanto, se abordará primero.

Cuando un frente de onda se refracta de un medio a otro, las porciones incidente (incidente) y refractada (saliente) del frente de onda se encuentran en una línea común en la superficie refractante (interfaz). Sea esta línea, denotada por L , moverse a una velocidad u a través de la superficie, ^{[ 6 ] [ 7 ]} donde u se mide normal a L (Fig. 4). Sea que los frentes de onda incidente y refractado se propagan con velocidades normales.  ${\displaystyle v_{1}}$y${\displaystyle v_{2}}$respectivamente, y dejemos que formen los ángulos diedros θ ₁ y θ ₂ respectivamente con la interfaz. A partir de la geometría,${\displaystyle v_{1}}$es la componente de u en la dirección normal a la onda incidente, de modo que${\displaystyle v_{1}=u\sin \theta _ {1}.}$Similarmente,${\displaystyle v_{2}=u\sin \theta _ {2}.}$Resolviendo cada ecuación para 1/ u e igualando los resultados, obtenemos la ley general de refracción para ondas:

Pero el ángulo diedro entre dos planos es también el ángulo entre sus normales. Así, θ ₁ es el ángulo entre la normal al frente de onda incidente y la normal a la interfaz, mientras que θ ₂ es el ángulo entre la normal al frente de onda refractado y la normal a la interfaz; y la ecuación  ( 1 ) nos dice que los senos de estos ángulos están en la misma proporción que las velocidades respectivas. ^{[ 8 ]}

Este resultado tiene la forma de la " _ley de Snell ", salvo que aún no hemos afirmado que la relación de velocidades sea constante, ni hemos identificado θ₁ y _θ₂ con los ángulos de incidencia y refracción (denominados θᵢ y θᵢ _{anteriormente} ). Sin embargo, si ahora suponemos que las propiedades de los medios son isotrópicas _{(independientes de la} dirección), se derivan dos conclusiones adicionales: primero, las dos velocidades, y por lo tanto su relación, son independientes de sus direcciones; y segundo, las direcciones normales de la onda coinciden con las direcciones de los rayos , de modo que θ₁ _y θ₂ coinciden con los ángulos de incidencia y refracción definidos anteriormente. ^{[ Nota} ₁ ^]

Obviamente, el ángulo de refracción no puede exceder los 90°. En el caso límite, sustituimos θ ₂ = 90° y θ ₁ = θ _c en la ecuación  ( 1 ), y resolvemos para el ángulo crítico:

Para obtener este resultado, mantenemos la suposición de medios isótropos con el fin de identificar θ ₁ y θ ₂ con los ángulos de incidencia y refracción. ^{[ Nota 3 ]}

Para las ondas electromagnéticas , y especialmente para la luz, es habitual expresar los resultados anteriores en términos de índices de refracción . El índice de refracción de un medio con velocidad normal${\displaystyle v_{1}}$se define como${\displaystyle n_{1}=c/v_{1},}$donde c es la velocidad de la luz en el vacío. ^{[ 9 ]} Por lo tanto${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}.}$Similarmente,${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}.}$Realizando estas sustituciones en las ecuaciones  ( 1 ) y ( 2 ), obtenemos

y

La ecuación  ( 3 ) representa la ley de refracción para medios generales, en términos de índices de refracción, considerando que _θ₁ y θ₂ son los ángulos diedros. Sin embargo, si los medios son _{isótropos ,} n₁ y n₂ se vuelven independientes de la dirección, mientras que θ₁ y θ₂ pueden considerarse los ángulos de incidencia y refracción de los rayos, y se obtiene la ecuación ₍ 4 ) . Por lo tanto, para medios isótropos, las ecuaciones ( 3 ₎ y ( 4 _{) describen conjuntamente el comportamiento mostrado} en la figura 5.   

Según la ecuación  ( 4 ), para incidencia desde agua ( _n1 ≈ 1,333 ) al aire ( n2 ≈ 1 ), tenemos θc _≈ 48,6° , mientras _que para incidencia desde vidrio común o acrílico ( _n1 ≈ 1,50 ) al aire ( n2 _≈ 1 ), tenemos θc _≈ 41,8° .

La función arcoseno que produce θ _c está definida solo si n ₂ ≤ n ₁${\displaystyle (v_{2}\geq v_{1}).}$Por lo tanto, para medios isótropos, la reflexión interna total no puede ocurrir si el segundo medio tiene un índice de refracción mayor (menor velocidad normal) que el primero. Por ejemplo, no puede haber reflexión interna total para incidencia de aire a agua; más bien, el ángulo crítico para incidencia de agua a aire es el ángulo de refracción en incidencia rasante de aire a agua (Fig.  6). ^{[ 10 ]}

El medio con el índice de refracción más alto se describe comúnmente como ópticamente más denso , y el que tiene el índice de refracción más bajo como ópticamente más escaso . ^{[ 11 ]} Por lo tanto, se dice que la reflexión interna total es posible para una incidencia de "denso a escaso", pero no para una incidencia de "escaso a denso".

Al estar de pie junto a un acuario con los ojos por debajo del nivel del agua, es probable que se vean peces u objetos sumergidos reflejados en la superficie del agua (Fig. 1). El brillo de la imagen reflejada, tan brillante como la vista directa, puede resultar sorprendente.

Un efecto similar puede observarse abriendo los ojos mientras se nada justo debajo de la superficie del agua. Si el agua está en calma, la superficie fuera del ángulo crítico (medido desde la vertical) aparece como un espejo, reflejando los objetos que se encuentran debajo. La región sobre el agua no se puede ver excepto por encima, donde el campo de visión hemisférico se comprime en un campo cónico conocido como ventana de Snell , cuyo diámetro angular es el doble del ángulo crítico (cf.  Fig. 6). ^{[ 12 ]} El campo de visión sobre el agua es teóricamente de 180° de ancho, pero parece menor porque a medida que miramos más cerca del horizonte, la dimensión vertical se comprime más fuertemente por la refracción; p. ej., por la Ec. ( 3 ), para ángulos de incidencia aire-agua de 90°, 80° y 70°, los ángulos de refracción correspondientes son 48,6° ( θ _cr en la Fig. 6 ), 47,6° y 44,8°, lo que indica que la imagen de un punto 20° por encima del horizonte está a 3,8° del borde de la ventana de Snell ‍ mientras que la imagen de un punto 10° por encima del horizonte está a solo 1° del borde. ^{[ 13 ]}

La figura 7, por ejemplo, es una fotografía tomada cerca del fondo de la parte menos profunda de una piscina. Lo que parece una ancha franja horizontal en la pared derecha consiste en los bordes inferiores de una hilera de azulejos naranjas y sus reflejos; esto marca el nivel del agua, que luego se puede trazar a lo largo de la otra pared. La nadadora ha perturbado la superficie sobre ella, desordenando la mitad inferior de su reflejo y distorsionando el reflejo de la escalera (a la derecha). Pero la mayor parte de la superficie permanece tranquila, dando un reflejo claro del fondo de azulejos de la piscina. El espacio sobre el agua no es visible excepto en la parte superior del encuadre, donde los mangos de la escalera son apenas discernibles por encima del borde de la ventana de Snell, dentro de la cual el reflejo del fondo de la piscina es solo parcial, pero aún perceptible en la fotografía. Incluso se puede discernir el halo de color del borde de la ventana de Snell, debido a la variación del índice de refracción, y por lo tanto del ángulo crítico, con la longitud de onda (véase Dispersión ).

El ángulo crítico influye en los ángulos en los que se cortan las gemas . El corte redondo " brillante ", por ejemplo, está diseñado para refractar la luz incidente en las facetas frontales, reflejarla dos veces por TIR en las facetas posteriores y transmitirla nuevamente a través de las facetas frontales, de modo que la piedra se vea brillante. El diamante (Fig. 8) es especialmente adecuado para este tratamiento, porque su alto índice de refracción (alrededor de 2,42) y, en consecuencia, pequeño ángulo crítico (alrededor de 24,5°) producen el comportamiento deseado en un amplio rango de ángulos de visión. ^{[ 14 ]} Los materiales más baratos que son igualmente adecuados para este tratamiento incluyen la zirconia cúbica (índice ≈ 2,15) y la moissanita (no isotrópica, por lo tanto doblemente  refractiva , con un índice que varía de aproximadamente 2,65 a 2,69, ^{[ Nota 4 ]} dependiendo de la dirección y la polarización); ambos son, por lo tanto, populares como simulantes de diamante .

Matemáticamente, las ondas se describen en términos de campos variables en el tiempo , donde un "campo" es una función de la ubicación en el espacio. Una onda que se propaga requiere un campo de "esfuerzo" y un campo de "flujo", siendo este último un vector (si trabajamos en dos o tres dimensiones). El producto del esfuerzo y el flujo está relacionado con la potencia (véase Equivalencia de sistemas ). Por ejemplo, para ondas sonoras en un fluido no viscoso , podríamos tomar el campo de esfuerzo como la presión (un  escalar) y el campo de flujo como la velocidad del fluido (un  vector). El producto de estos dos es la intensidad (potencia por unidad de área). ^{[ 15 ] [ Nota 5 ]} Para ondas electromagnéticas, tomaremos el campo de esfuerzo como el campo eléctrico E y el campo de flujo como el campo magnetizante H. Ambos son vectores, y su producto vectorial es nuevamente la intensidad (véase Vector de Poynting ). ^{[ 16 ]} 

Cuando una onda en (digamos) el medio  1 se refleja en la interfaz entre el medio  1 y el medio  2, el campo de flujo en el medio  1 es la suma vectorial de los campos de flujo debidos a las ondas incidente y reflejada. ^{[ Nota 6 ]} Si la reflexión es oblicua, los campos incidente y reflejado no están en direcciones opuestas y, por lo tanto, no pueden cancelarse en la interfaz; incluso si la reflexión es total, la componente normal o la componente tangencial del campo combinado (en función de la ubicación y el tiempo) debe ser distinta de cero adyacente a la interfaz. Además, las leyes físicas que rigen los campos generalmente implican que una de las dos componentes es continua a través de la interfaz (es decir, no cambia repentinamente al cruzar la interfaz); por ejemplo, para las ondas electromagnéticas, una de las condiciones de la interfaz es que la componente tangencial de H es continua si no hay corriente superficial. ^{[ 17 ]} Por lo tanto, incluso si la reflexión es total, debe haber cierta penetración del campo de flujo en el medio  2; y esto, en combinación con las leyes que relacionan los campos de esfuerzo y flujo, implica que también habrá cierta penetración del campo de esfuerzo. La misma condición de continuidad implica que la variación ("ondulación") del campo en el medio  2 estará sincronizada con la de las ondas incidentes y reflejadas en el medio  1.

Pero, si la reflexión es total, la penetración espacial de los campos en el medio  2 debe limitarse de alguna manera, o de lo contrario la extensión total y, por lo tanto, la energía total de esos campos seguirían aumentando, consumiendo energía del medio  1. La reflexión total de un tren de ondas continuo permite que se almacene algo de energía en el medio  2, pero no permite una transferencia continua de energía del medio  1 al medio  2.

Así, utilizando principalmente un razonamiento cualitativo, podemos concluir que la reflexión interna total debe ir acompañada de un campo ondulatorio en el medio "externo", que viaja a lo largo de la interfaz en sincronismo con las ondas incidentes y reflejadas, pero con algún tipo de penetración espacial limitada en el medio "externo"; dicho campo puede denominarse onda evanescente .

La figura 9 ilustra la idea básica. Se supone que la onda incidente es plana y sinusoidal . Para simplificar, no se muestra la onda reflejada. La onda evanescente se propaga hacia la derecha al mismo ritmo que las ondas incidente y reflejada, pero su amplitud disminuye con la distancia a la interfaz.

(Dos características de la onda evanescente en la Fig. 9 se explicarán más adelante: primero, que las crestas de la onda evanescente son perpendiculares a la interfaz; y segundo, que la onda evanescente está ligeramente por delante de la onda incidente).

Reflexión interna total frustrada (FTIR)

Si la reflexión interna ha de ser total, no debe haber desviación de la onda evanescente. Supongamos, por ejemplo, que las ondas electromagnéticas incidentes desde el vidrio (con un índice de refracción más alto) al aire (con un índice de refracción más bajo) en un cierto ángulo de incidencia están sujetas a TIR. Y supongamos que tenemos un tercer medio (a menudo idéntico al primero) cuyo índice de refracción es suficientemente alto como para que, si el tercer medio reemplazara al segundo, obtendríamos un tren de ondas transmitidas estándar para el mismo ángulo de incidencia. Entonces, si el tercer medio se acerca a una distancia de unas pocas longitudes de onda de la superficie del primer medio, donde la onda evanescente tiene una amplitud significativa en el segundo medio, entonces la onda evanescente se refracta efectivamente en el tercer medio, dando una transmisión no nula en el tercer medio y, por lo tanto, una reflexión menor que total de vuelta al primer medio. ^{[ 18 ]} A medida que la amplitud de la onda evanescente decae a través del espacio de aire, las ondas transmitidas se atenúan , de modo que hay menos transmisión y, por lo tanto, más reflexión, que la que habría sin espacio; Pero mientras exista cierta transmisión, la reflexión será menor que la total. Este fenómeno se denomina reflexión interna total frustrada (donde "frustrada" niega "total"), abreviada como "TIR frustrada" o "FTIR".

La reflexión interna total frustrada se puede observar mirando la superficie de un vaso de agua sostenido en la mano (Fig. 10). Si  el vaso se sujeta sin apretar, el contacto puede no ser lo suficientemente estrecho ni extenso como para producir un efecto perceptible. Pero si se sujeta con más firmeza, las crestas de las huellas dactilares interactúan fuertemente con las ondas evanescentes, lo que permite ver las crestas a través de la superficie vidrio-aire, que de otro modo sería totalmente reflectante. ^{[ 19 ]}

El mismo efecto puede demostrarse con microondas, utilizando parafina como medio interno (donde existen las ondas incidentes y reflejadas). En este caso, el ancho de separación permitido podría ser (por ejemplo) de 1 cm o varios cm, lo cual es fácilmente observable y ajustable. ^{[ 1 ] [ 20 ]}

El término TIR frustrado también se aplica al caso en que la onda evanescente se dispersa por un objeto suficientemente cercano a la interfaz reflectante. Este efecto, junto con la fuerte dependencia de la cantidad de luz dispersada con respecto a la distancia a la interfaz, se aprovecha en la microscopía de reflexión interna total . ^{[ 21 ]}

El mecanismo de FTIR se llama acoplamiento de onda evanescente y es un buen análogo para visualizar el efecto túnel cuántico . ^{[ 22 ]} Debido a la naturaleza ondulatoria de la materia, un electrón tiene una probabilidad no nula de "atravesar" una barrera por efecto túnel, incluso si la mecánica clásica diría que su energía es insuficiente. ^{[ 18 ] [ 19 ]} De manera similar, debido a la naturaleza ondulatoria de la luz, un fotón tiene una probabilidad no nula de cruzar una brecha, incluso si la óptica geométrica  diría que su aproximación es demasiado oblicua.

Otra razón por la que la reflexión interna puede ser menor que la total, incluso más allá del ángulo crítico, es que el medio externo puede ser "con pérdidas" (menos que perfectamente transparente), en cuyo caso absorberá energía de la onda evanescente, de modo que el mantenimiento de esta onda consumirá energía de la onda incidente. La consiguiente reflexión menor que la total se denomina reflectancia total atenuada (ATR). Este efecto, y especialmente la dependencia de la absorción con la frecuencia, puede utilizarse para estudiar la composición de un medio externo desconocido. ^{[ 23 ]}

Derivación de la onda evanescente

En una onda electromagnética sinusoidal plana uniforme, el campo eléctrico E tiene la forma

donde E _k es el vector de amplitud compleja (constante) , i es la unidad imaginaria , k es el vector de onda (cuya magnitud k es el número de onda angular ), r es el vector de posición , ω es la frecuencia angular , t es el tiempo, y se entiende que la parte real de la expresión es el campo físico. ^{[ Nota 7 ]} El campo magnetizante H tiene la misma forma con el mismo k y ω . El valor de la expresión no cambia si la posición r varía en una dirección normal a k ; por lo tanto, k es normal a los frentes de onda .

Si ℓ es la componente de r en la dirección de k , el campo ( 5 ) se puede escribir${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(k\ell -\omega t)}.}$Si el argumento de${\displaystyle e^{i(\cdots )}}$para ser constante, ℓ debe aumentar a la velocidad${\displaystyle \omega /k,}$conocida como la velocidad de fase . ^{[ 24 ]} Esto a su vez es igual a${\displaystyle c/n,}$donde c es la velocidad de fase en el medio de referencia (considerado como el vacío) y n es el índice de refracción local con respecto al medio de referencia. Despejando k se obtiene${\displaystyle k=n\omega /c,}$es decir

dónde${\displaystyle k_{0}=\omega /c}$es el número de onda en el vacío. ^{[ 25 ] [ Nota 8 ]}

De ( 5 ), el campo eléctrico en el medio "externo" tiene la forma

donde k _t es el vector de onda para la onda transmitida (suponemos medios isotrópicos, pero aún no se supone que la onda transmitida sea evanescente).

En coordenadas cartesianas ( x , y , z ) , sea la región y < 0 con índice de refracción n₁ , y sea la región y > 0 con índice de refracción n₂ _{. Entonces ,} el plano xz es la interfaz, y el eje y es normal a la interfaz (Fig.  11). Sean i y j los vectores unitarios en las direcciones x e y respectivamente. Sea el plano de incidencia (que contiene la normal de _la onda incidente y la normal a la interfaz) el plano xy (el plano de la página), con el ángulo de incidencia θᵢ medido desde j hacia i _{. Sea el} ángulo de refracción, medido en el mismo sentido, θᵢ ("t" para transmitida , reservando "r" para reflejada ).

De ( 6 ), el vector de onda transmitido k _t tiene magnitud n ₂ k _0. Por lo tanto, a partir de la geometría, $${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}=n_{2}k_{0}(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})=k_{0}(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _ {\text{t}}),}$$ donde el último paso utiliza la ley de Snell. Tomando el producto escalar con el vector de posición, obtenemos $${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}\cdot \mathbf {r} =k_{0}(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}}),}$$ de modo que la ecuación  ( 7 ) se convierte en

En el caso de TIR, el ángulo θ _t no existe en el sentido habitual. Pero aún podemos interpretar ( 8 ) para la onda transmitida (evanescente) permitiendo que cos θ _t sea complejo . Esto se vuelve necesario cuando escribimos cos θ _t en términos de sin θ _t , y luego en términos de sin θ _i usando la ley de Snell: $${\displaystyle \cos \theta _{\text{t}}={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta _{\text{t}}}}={\sqrt {1-(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}}}.}$$ Para θ _i mayor que el ángulo crítico, el valor bajo el símbolo de raíz cuadrada es negativo, de modo que ^{[ 26 ]}

Para determinar qué signo es aplicable, sustituimos ( 9 ) en ( 8 ), obteniendo

donde el signo indeterminado es el opuesto al de ( 9 ). Para una onda transmitida evanescente —es decir, una cuya amplitud decae a medida que y aumenta— el signo indeterminado en ( 10 ) debe ser negativo , por lo que el signo indeterminado en ( 9 ) debe ser positivo . ^{[ Nota 9 ]}  

Con el signo correcto, el resultado ( 10 ) se puede abreviar.

dónde

y k ₀ es el número de onda en el vacío, es decir ${\displaystyle \omega /c.}$

Así pues, la onda evanescente es una onda sinusoidal plana que se propaga en la dirección x , con una amplitud que decae exponencialmente en la dirección y (Fig.  9). Es evidente que la energía almacenada en esta onda también se propaga en la dirección x y no cruza la interfaz. Por consiguiente, el vector de Poynting generalmente tiene una componente en la dirección x , pero su componente y tiende a cero en promedio (aunque su componente y instantánea no sea idénticamente cero). ^{[ 27 ] [ 28 ]}

La ecuación  ( 11 ) indica que la amplitud de la onda evanescente disminuye en un factor e a medida que la coordenada y (medida desde la interfaz) aumenta en la distancia${\displaystyle d=1/\kappa ,}$comúnmente llamada " profundidad de penetración " de la onda evanescente. ^{[ 29 ]} Tomando los recíprocos de la primera ecuación de ( 12 ), encontramos que la profundidad de penetración es ^{[ 28 ]}$${\displaystyle d={\frac {\lambda _{0}}{2\pi {\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-n_{2}^{2}}}}},}$$ donde λ ₀ es la longitud de onda en el vacío, es decir${\displaystyle 2\pi /k_{0}.}$^{[ 30 ]} Dividiendo el numerador y el denominador porn₂se obtiene $${\displaystyle d={\frac {\lambda _{2}}{2\pi {\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}},}$$ dónde${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{0}/n_{2}}$es la longitud de onda en el segundo medio (externo). Por lo tanto, podemos graficar d en unidades de λ ₂ como una función del ángulo de incidencia para varios valores de${\displaystyle n_{1}/n_{2}}$(Fig.  12). A medida que θ _i disminuye hacia el ángulo crítico, el denominador tiende a cero, de modo que d aumenta sin límite , como es de esperar, ya que tan pronto como θ _i es menor que el ángulo crítico, se permiten ondas planas uniformes en el medio externo. A medida que θ _i tiende a 90° (incidencia rasante), d tiende a un mínimo.   $${\displaystyle d_{\text{min}}={\frac {\lambda _{2}}{2\pi {\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}-1}}}}.}$$ Para incidencias de agua a aire, o de vidrio común a aire, d _min no difiere mucho de λ ₂ /(2 π ). Pero d es mayor en ángulos de incidencia más pequeños (Fig.  12), y la amplitud aún puede ser significativa a distancias de varias veces d ; por ejemplo, dado que e ^−4.6 es ligeramente mayor que 0.01, la amplitud de la onda evanescente dentro de una distancia de 4.6 ‍ d de la interfaz es al menos el 1% de su valor en la interfaz. Por lo tanto, en términos generales, solemos decir que la amplitud de la onda evanescente es significativa dentro de "unas pocas longitudes de onda" de la interfaz.

Entre 1817 y 1823, Augustin-Jean Fresnel descubrió que la reflexión interna total está acompañada de un cambio de fase no trivial (es decir, un cambio de fase que no se limita a 0° o 180°), ya que el coeficiente de reflexión de Fresnel adquiere una parte imaginaria distinta de cero . ^{[ 31 ]} Ahora explicaremos este efecto para ondas electromagnéticas en el caso de medios lineales , homogéneos , isótropos y no magnéticos. El cambio de fase resulta ser un avance , que crece a medida que el ángulo de incidencia aumenta más allá del ángulo crítico, pero que depende de la polarización de la onda incidente.

En las ecuaciones ( 5 ), ( 7 ), ( 8 ), ( 10 ) y ( 11 ), avanzamos la fase en el ángulo ϕ si reemplazamos ωt por ωt  + ϕ (es decir,  ^si reemplazamos −ωt por −ωt − ϕ   ), con el resultado de que el campo (complejo) se multiplica por e ⁻ iϕ . Por lo tanto, un avance de fase es equivalente a la multiplicación por una constante compleja con un argumento negativo . Esto se vuelve más obvio cuando (por ejemplo) el campo ( 5 ) se factoriza como${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r} }e^{-i\omega t},}$donde el último factor contiene la dependencia temporal. ^{[ Nota 10 ]}

Para representar la polarización de la onda incidente, reflejada o transmitida, el campo eléctrico adyacente a una interfaz se puede descomponer en dos componentes perpendiculares, conocidas como componentes s y p , que son paralelas a la superficie y al plano de incidencia, respectivamente; en otras palabras, las componentes s y p son respectivamente cuadradas y paralelas al plano de incidencia. ^{[ Nota 11 ]}

Para cada componente de polarización, el campo eléctrico incidente, reflejado o transmitido ( E en la ecuación  ( 5 )) tiene una dirección determinada y puede representarse mediante su componente escalar (compleja) en esa dirección. El coeficiente de reflexión o transmisión puede definirse entonces como una razón de componentes complejas en el mismo punto, o en puntos infinitesimalmente separados en lados opuestos de la interfaz. Pero, para fijar los signos de los coeficientes, debemos elegir sentidos positivos para las "direcciones". Para las componentes s , la elección obvia es decir que las direcciones positivas de los campos incidente, reflejado y transmitido son todas iguales (por ejemplo, la dirección z  en la figura 11). Para las componentes p , este artículo adopta la convención de que las direcciones positivas de los campos incidente, reflejado y transmitido están inclinadas hacia el mismo medio (es decir, hacia el mismo lado de la interfaz, por ejemplo, como las flechas rojas en la figura  11). ^{[ Nota 12 ]} Pero debe advertirse al lector que algunos libros utilizan una convención diferente para las componentes p , lo que produce un signo diferente en la fórmula resultante para el coeficiente de reflexión. ^{[ 32 ]}

Para la polarización s , sean los coeficientes de reflexión y transmisión r _s y t _s respectivamente. Para la polarización p , sean los coeficientes correspondientes r _p y t _p . Entonces, para medios lineales , homogéneos , isótropos y no magnéticos , los coeficientes vienen dados por ^{[ 33 ].}

(Para una deducción de lo anterior, véase Ecuaciones de Fresnel §  Teoría ).

Ahora suponemos que la onda transmitida es evanescente. Con el signo correcto (+), al sustituir ( 9 ) en ( 13 ) se obtiene $${\displaystyle r_{s}={\frac {n\cos \theta _{\text{i}}-i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{n\cos \theta _{\text{i}}+i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}},}$$ dónde $${\displaystyle n=n_{1}/n_{2};}$$ es decir, n es el índice del medio "interno" en relación con el "externo", o el índice del medio interno si el externo es el vacío. ^{[ Nota 13 ]} Por lo tanto, la magnitud de r _s es 1, y el argumento de r _s es $${\displaystyle -2\arctan {\frac {\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}{n\cos \theta _{\text{i}}}},}$$ lo que da un avance de fase de ^{[ 34 ]}

Haciendo la misma sustitución en ( 14 ), encontramos que ts _tiene el mismo denominador que _rs con un numerador real positivo (en lugar de un numerador complejo conjugado) y por lo tanto tiene la mitad del argumento de rs , de modo que el avance de fase de la onda evanescente es _la mitad del de la onda reflejada .

Con la misma elección de signo, ^{[ Nota 14 ]} al sustituir ( 9 ) en ( 15 ) se obtiene $${\displaystyle r_{p}={\frac {\cos \theta _{\text{i}}-in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}+in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}},}$$ cuya magnitud es 1 y cuyo argumento es $${\displaystyle -2\arctan {\frac {n{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}}},}$$ lo que da un avance de fase de ^{[ 34 ]}

Haciendo la misma sustitución en ( 16 ), volvemos a encontrar que el avance de fase de la onda evanescente es la mitad del de la onda reflejada.

Las ecuaciones ( 17 ) y ( 18 ) se aplican cuando θc _≤ θi < 90° , donde θi es el ángulo _de incidencia y θc es el ángulo crítico arcsin (1/ n ) . Estas ecuaciones _{muestran que}

• Cada avance de fase es cero en el ángulo crítico (para el cual el numerador es cero);
• Cada avance de fase se aproxima a 180° cuando θ _i → 90° ; y
• δ _p > δ _s en valores intermedios de θ _i (porque el factor n está en el numerador de ( 18 ) y en el denominador de ( 17 )). ^{[ 35 ]}

Para θ _i ≤ θ _c , los coeficientes de reflexión vienen dados por las ecuaciones ( 13 ) y ( 15 ) y son reales , de modo que el desplazamiento de fase es 0° (si el coeficiente es positivo) o 180° (si el coeficiente es negativo).

En ( 13 ), si ponemos${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$(Ley de Snell) y multiplicamos el numerador y el denominador por ⁠ 1 / n ₁ ⁠ sin θ _t , obtenemos ^{[ 36 ] [ 37 ]}

lo cual es positivo para todos los ángulos de incidencia con un rayo transmitido (ya que θ _t > θ _i ), lo que da un desplazamiento de fase δ _s de cero.

Si hacemos lo mismo con ( 15 ), se demuestra fácilmente que el resultado es equivalente a ^{[ 38 ] [ 39 ].}

que es negativo para ángulos pequeños (es decir, casi incidencia normal), pero cambia de signo en el ángulo de Brewster , donde θ _i y θ _t son complementarios. Por lo tanto, el desfase δ _p es de 180° para θ _i pequeño , pero cambia a 0° en el ángulo de Brewster. Combinando la complementariedad con la ley de Snell, se obtiene θ _i = arctan (1/ n ) como ángulo de Brewster para incidencia de densa a escasa. ^{[ Nota 15 ]}

(Las ecuaciones ( 19 ) y ( 20 ) se conocen como la ley del seno de Fresnel y la ley de la tangente de Fresnel . ^{[ 40 ]} Ambas se reducen a 0/0 en incidencia normal, pero dan los resultados correctos en el límite cuando θi _→ 0. Que tengan signos opuestos al aproximarnos a la incidencia normal es una desventaja obvia de la convención de signos utilizada en este artículo; la ventaja correspondiente es que tienen los mismos signos en incidencia rasante).

Eso completa la información necesaria para graficar δ _s y δ _p para todos los ángulos de incidencia. Esto se hace en la Fig.  13, ^{[ 34 ]} con δ _p en rojo y δ _s en azul, para tres índices de refracción. En la escala de ángulo de incidencia (eje horizontal), el ángulo de Brewster es donde δ _p (rojo) cae de 180° a 0°, y el ángulo crítico es donde tanto δ _p como δ _s (rojo y azul) comienzan a aumentar nuevamente. A la izquierda del ángulo crítico está la región de reflexión parcial , donde ambos coeficientes de reflexión son reales (fase 0° o 180°) con magnitudes menores que  1. A la derecha del ángulo crítico está la región de reflexión total , donde ambos coeficientes de reflexión son complejos con magnitudes iguales a  1. En esa región, las curvas negras muestran el avance de fase del componente p  en relación con el componente s  : ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \delta =\delta _{p}-\delta _{s}.}$$ Se puede observar que un índice de refracción de 1,45 no es suficiente para producir una diferencia de fase de 45°, mientras que un índice de refracción de 1,5 sí es suficiente (por un margen estrecho) para producir una diferencia de fase de 45° en dos ángulos de incidencia: aproximadamente 50,2° y 53,3°.

Este desplazamiento relativo de 45° se emplea en la invención de Fresnel, ahora conocida como rombo de Fresnel , en la que los ángulos de incidencia se eligen de tal manera que las dos reflexiones internas provoquen un desfase relativo total de 90° entre las dos polarizaciones de una onda incidente. Este dispositivo realiza la misma función que una lámina de cuarto de onda birrefringente , pero es más acromático (es decir, el desfase del rombo es menos sensible a la longitud de onda ). Cualquiera de los dos dispositivos puede utilizarse, por ejemplo, para transformar la polarización lineal en polarización circular (que Fresnel también descubrió) y viceversa.

En la figura  13, δ se calcula mediante una resta final; pero existen otras formas de expresarlo. El propio Fresnel, en 1823, ^{[ 42 ]} dio una fórmula para cos δ . Born y Wolf (1970, p.  50) derivan una expresión para tan ( δ /2) y hallan su máximo analíticamente.

Para la reflexión interna total (TIR) ​​de un haz de ancho finito, la variación del desfase con el ángulo de incidencia da lugar al efecto Goos-Hänchen , que consiste en un desplazamiento lateral del haz reflejado dentro del plano de incidencia. ^{[ 28 ] [ 43 ]} Este efecto se aplica a la polarización lineal en la dirección s o p . El efecto Imbert-Fedorov es análogo para la polarización circular o elíptica y produce un desplazamiento perpendicular al plano de incidencia. ^{[ 44 ]}

Las fibras ópticas aprovechan la reflexión interna total para transmitir señales a largas distancias con poca atenuación. ^{[ 45 ]} Se utilizan en cables de telecomunicaciones y en fibroscopios formadores de imágenes, como los colonoscopios . ^{[ 46 ]}

En la lente catadióptrica de Fresnel , inventada por Augustin-Jean Fresnel para su uso en faros , los prismas exteriores utilizan la reflexión interna total (TIR) ​​para desviar la luz de la lámpara en un ángulo mayor del que sería posible con prismas puramente refractivos, pero con menor absorción de luz (y menor riesgo de empañamiento) que con espejos convencionales. ^{[ 47 ]}

Otros prismas reflectantes que utilizan TIR incluyen los siguientes (con cierta superposición entre las categorías): ^{[ 48 ]}

• Los prismas de enderezamiento de imagen para binoculares y telescopios terrestres incluyen prismas Porro pareados de 45°-90°-45° (Fig.14), el prisma Porro-Abbe , losprismas ^{Koenig en línea [ 49 ]} y Abbe-Koenig , y el prisma Schmidt-Pechan compacto en línea . (Este último consta de dos componentes, uno de los cuales es un tipo de prisma Bauernfeind , que requiere un recubrimiento reflectante en una de sus dos caras reflectantes, debido a un ángulo de incidencia subcrítico). Estos prismas tienen la función adicional de plegar el camino óptico desde la lente del objetivo hasta el foco primario , reduciendo la longitud total para una distancia focal primaria dada.
• Un prisma diagonal para telescopios astronómicos puede constar de un prisma de Porro (configurado para una sola reflexión, que produce una imagen invertida) o un prisma de techo de Amici (que produce una imagen no invertida).
• Los prismas de techo utilizan reflexión interna total (TIR) ​​en dos caras que se unen en un ángulo agudo de 90°. Esta categoría incluye los tipos Koenig, Abbe-Koenig, Schmidt-Pechan y Amici (ya mencionados), y el pentaprisma de techo utilizado en las cámaras réflex  ; este último requiere un recubrimiento reflectante en una de las caras que no utiliza TIR .
• Un reflector de esquina prismático utiliza tres reflexiones internas totales para invertir la dirección de la luz incidente.
• El prisma de Dove proporciona una visión en línea con inversión especular.

Prismas polarizadores : Si bien el rombo de Fresnel, que convierte entre polarización lineal y elíptica, no es birrefringente (doblemente refractivo), existen otros tipos de prismas que combinan la birrefringencia con la reflexión interna total (RIT) de tal manera que la luz de una polarización particular se refleja totalmente, mientras que la luz de la polarización ortogonal se transmite al menos parcialmente. Algunos ejemplos son el prisma de Nicol , ^{[ 50 ]} el prisma de Glan-Thompson , el prisma de Glan-Foucault (o "prisma de Foucault"), ^{[ 51 ] [ 52 ]} y el prisma de Glan-Taylor . ^{[ 53 ]}

Los refractómetros , que miden los índices de refracción, suelen utilizar el ángulo crítico. ^{[ 54 ] [ 55 ]}

Los sensores de lluvia para los limpiaparabrisas automáticos se han implementado utilizando el principio de que la reflexión interna total guiará un haz infrarrojo desde una fuente hasta un detector si la superficie exterior del parabrisas está seca, pero cualquier gota de agua en la superficie desviará parte de la luz. ^{[ 56 ]}

Los paneles LED con iluminación lateral , utilizados (por ejemplo) para la retroiluminación de monitores LCD , aprovechan la reflexión interna total (TIR) ​​para confinar la luz LED al panel de vidrio acrílico, excepto que parte de la luz se dispersa por grabados en un lado del panel, lo que da como resultado una emitancia luminosa aproximadamente uniforme . ^{[ 57 ]}

La microscopía de reflexión interna total (TIRM) utiliza la onda evanescente para iluminar objetos pequeños cerca de la interfaz reflectante. La dispersión resultante de la onda evanescente (una  forma de TIR frustrada) hace que los objetos aparezcan brillantes cuando se observan desde el lado "externo". ^{[ 21 ]} En el microscopio de fluorescencia de reflexión interna total (TIRFM), en lugar de depender de la dispersión simple, elegimos una longitud de onda evanescente lo suficientemente corta como para causar fluorescencia (Fig. 15). ^{[ 58 ]} La alta sensibilidad de la iluminación a la distancia de la interfaz permite medir desplazamientos y fuerzas extremadamente pequeños. ^{[ 59 ]}

Un cubo divisor de haz utiliza reflexión interna total frustrada para dividir la potencia del haz incidente entre los haces transmitido y reflejado. ^{[ 18 ]} El ancho del espacio de aire (o espacio de bajo índice de refracción) entre los dos prismas puede ajustarse, lo que proporciona mayor transmisión y menor reflexión para un espacio más estrecho, o mayor reflexión y menor transmisión para un espacio más ancho. ^{[ 60 ]}

La modulación óptica se puede lograr mediante TIR frustrado con una brecha rápidamente variable. ^{[ 61 ]} Como el coeficiente de transmisión es altamente sensible al ancho de la brecha (la función es aproximadamente exponencial hasta que la brecha está casi cerrada), esta técnica puede lograr un amplio rango dinámico .

Los dispositivos de huellas dactilares ópticas han utilizado TIR frustrado para registrar imágenes de las huellas dactilares de las personas sin el uso de tinta (véase  la figura 11). ^{[ 62 ]}

El análisis de la marcha se puede realizar utilizando TIR frustrado con una cámara de alta velocidad para capturar y analizar las huellas. ^{[ 63 ]}

Un gonioscopio , utilizado en optometría y oftalmología para el diagnóstico de glaucoma , suprime la reflexión interna total (TIR) ​​para observar el ángulo entre el iris y la córnea . Esta visión suele estar bloqueada por la TIR en la interfaz córnea-aire. El gonioscopio reemplaza el aire con un medio de índice más alto, lo que permite la transmisión en incidencia oblicua, seguida típicamente de la reflexión en un "espejo", que a su vez puede implementarse utilizando la TIR. ^{[ 64 ] [ 65 ]}

Algunas mesas interactivas multitáctiles y pizarras blancas utilizan la tecnología FTIR para detectar el contacto de los dedos con la pantalla. Una cámara infrarroja se coloca detrás de la superficie de la pantalla, iluminada por LED infrarrojos en los bordes. Al tocar la superficie, la tecnología FTIR hace que parte de la luz infrarroja escape del plano de la pantalla, y la cámara la interpreta como áreas brillantes. Posteriormente, un software de visión artificial traduce esta información en una serie de coordenadas y gestos.

• 
  Un pez ballesta indio y su reflejo total en la superficie del agua.
• 
  Reflejo total de un pincel por la superficie agua-aire en un vaso.
• 
  Reflexión interna total de un láser verde en el tallo de una copa de vino.

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• SMUPhysics, "Reflexión interna" (vídeo, 12 s), subido el 20  de mayo de 2010. (Transición de la refracción a través del ángulo crítico a la reflexión interna total en un prisma de 45°-90°-45°).