Equivalencia de sistemas

En las ciencias de sistemas, la equivalencia de sistemas se refiere al comportamiento de un parámetro o componente de un sistema de manera similar al de un parámetro o componente de otro sistema. La similitud implica que, matemáticamente, los parámetros y componentes serán indistinguibles entre sí. La equivalencia puede ser muy útil para comprender el funcionamiento de sistemas complejos .

Ejemplos de sistemas equivalentes son los sistemas traslacionales , eléctricos , torsionales , fluidos y calóricos de primer y segundo orden (en la variable independiente ) .

Los sistemas equivalentes pueden utilizarse para transformar sistemas mecánicos, térmicos y de fluidos complejos y costosos en un sistema eléctrico más sencillo y económico. Posteriormente, se puede analizar el sistema eléctrico para validar que su dinámica funcione según lo previsto. Este es un método preliminar y económico que permite a los ingenieros comprobar que su sistema complejo se comporta como esperan.

Estas pruebas son necesarias al diseñar sistemas complejos con muchos componentes. Las empresas no quieren invertir millones de dólares en un sistema que no funcione como esperaban. Mediante la técnica del sistema equivalente, los ingenieros pueden verificar y demostrar a la empresa que el sistema funcionará correctamente. Esto reduce el riesgo que asume la empresa con el proyecto.

A continuación se muestra una tabla de variables equivalentes para los diferentes tipos de sistemas:

Variable de flujo: se mueve a través del sistema

Variable de esfuerzo: pone el sistema en acción.

Cumplimiento: almacena energía como potencial

Inductancia: almacena energía en forma de energía cinética.

Resistencia: disipa o utiliza energía.

Las equivalencias que se muestran en el gráfico no son la única forma de formar analogías matemáticas. De hecho, existen muchas maneras de hacerlo. Un requisito común para el análisis es que la analogía modele correctamente el almacenamiento y el flujo de energía a través de los dominios energéticos. Para ello, las equivalencias deben ser compatibles. Un par de variables cuyo producto es potencia (o energía ) en un dominio debe ser equivalente a un par de variables en el otro dominio cuyo producto también es potencia (o energía). Estas se denominan variables conjugadas de potencia. Las variables térmicas que se muestran en el gráfico no son conjugadas de potencia y, por lo tanto, no cumplen este criterio. Consulte las analogías mecánico-eléctricas para obtener información más detallada al respecto. Incluso especificar variables conjugadas de potencia no da como resultado una analogía única, y existen al menos tres analogías de este tipo en uso. Se necesita al menos un criterio más para especificar de forma única la analogía, como el requisito de que la impedancia sea equivalente en todos los dominios, como se hace en la analogía de impedancia .

Sistemas mecánicos

Fuerza${\displaystyle F=-kx=c{\frac {dx}{dt}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

Sistemas eléctricos

Voltaje${\displaystyle V={\frac {Q}{C}}=R{\frac {dQ}{dt}}=L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}}$

Todas las variables fundamentales de estos sistemas tienen la misma forma funcional.

El método de equivalencia de sistemas puede utilizarse para describir sistemas de dos tipos: sistemas vibracionales (que se describen, aproximadamente, mediante oscilaciones armónicas) y sistemas traslacionales (que tratan sobre flujos). Estos no son mutuamente excluyentes; un sistema puede presentar características de ambos. También existen similitudes; ambos sistemas suelen analizarse mediante los métodos de Euler, Lagrange y Hamilton, de modo que en ambos casos la energía es cuadrática en los grados de libertad relevantes, siempre que estos sean lineales.

Los sistemas vibracionales suelen describirse mediante ecuaciones de onda (diferenciales parciales) o ecuaciones de oscilador (diferenciales ordinarias). Además, estos sistemas siguen la analogía del condensador o el resorte, en el sentido de que el grado de libertad dominante en la energía es la posición generalizada. En términos más físicos, estos sistemas se caracterizan principalmente por su energía potencial. Esto suele ser válido para sólidos o sistemas ondulatorios (linealizados) cercanos al equilibrio.

Por otro lado, los sistemas de flujo pueden describirse más fácilmente mediante la analogía hidráulica o la ecuación de difusión. Por ejemplo, se dice que la ley de Ohm se inspiró en la ley de Fourier (así como en el trabajo de C.-L. Navier). ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Otras leyes incluyen las leyes de difusión de Fick y los problemas de transporte generalizados. La idea más importante es el flujo, o tasa de transferencia de alguna magnitud física importante considerada (como flujos eléctricos o magnéticos). En este tipo de sistemas, la energía está dominada por la derivada de la posición generalizada (velocidad generalizada). En términos físicos, estos sistemas tienden a estar dominados por la energía cinética. Las teorías de campo, en particular el electromagnetismo, se basan en gran medida en la analogía hidráulica.

• Analogía del condensador
• analogía hidráulica
• Modelos analógicos
• Para osciladores armónicos , consulte la ecuación del oscilador universal y los sistemas equivalentes.
• Sistema lineal invariante en el tiempo
• Resonancia
• Factor Q
• Impedancia
• inductancia térmica

• Panos J. Antsaklis, Anthony N. Michel (2006), Sistemas lineales , 670 págs.
• MF Kaashoek y JH Van Schuppen (1990), Realización y modelado en teoría de sistemas .
• Katsuhiko Ogata (2003), Dinámica de sistemas , Prentice Hall; 4.ª edición (30 de julio de 2003), 784 págs.

• Una simulación que utiliza un análogo hidráulico como modelo mental para la dinámica de un sistema de primer orden.
• Analogías de sistemas , Engs 22 — Curso de sistemas, Dartmouth College .