Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Ley de Snell

Refracción de la luz en la interfaz entre dos medios con índices de refracción diferentes , con 2 > ''n'' 1 "}},"i":0}}]}"> n 2 > n 1 . Dado que la velocidad es menor en el segu...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
Refracción de la luz en la interfaz entre dos medios con índices de refracción diferentes , con n 2 > n 1 . Dado que la velocidad es menor en el segundo medio ( v 2 < v 1 ), el ángulo de refracción θ 2 es menor que el ángulo de incidencia θ 1 ; es decir, el rayo en el medio de mayor índice está más cerca de la normal.

La ley de Snell (también conocida como ley de Snell-Descartes o ley de refracción ) es una fórmula que describe la relación entre los ángulos de incidencia y refracción de la luz u otras ondas que atraviesan la interfaz entre dos medios isótropos diferentes , como el agua, el vidrio o el aire. En óptica, se utiliza en el trazado de rayos para calcular los ángulos de transmisión o refracción, y en óptica experimental para determinar el índice de refracción de un material. Esta ley también se cumple en los metamateriales , que permiten que la luz se desvíe hacia atrás con un ángulo de refracción negativo y un índice de refracción negativo .

La ley establece que, para un par de medios dado, la razón de los senos del ángulo de incidencia(θ1){\displaystyle \left(\theta _{1}\right)}y ángulo de refracción(θ2){\displaystyle \left(\theta _{2}\right)}es igual al índice de refracción del segundo medio con respecto al primero (norte2,1{\displaystyle n_{2,1}}) que es igual a la relación de los índices de refracción(norte2norte1){\displaystyle \left({\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}\right)}de los dos medios, o equivalentemente, a la relación de las velocidades de fase(v1v2){\displaystyle \left({\tfrac {v_{1}}{v_{2}}}\right)}en los dos medios. [ 1 ]

pecado⁡θ1pecado⁡θ2=norte2,1=norte2norte1=v1v2{\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=n_{2,1}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}}

Esta ley se deriva del principio de Fermat del tiempo mínimo , que a su vez se deriva de la propagación de la luz como ondas.

Historia

Reproducción de una página del manuscrito de Ibn Sahl que muestra su descubrimiento de la ley de refracción.

Ptolomeo , en Alejandría , Egipto, [ 2 ] había encontrado una relación respecto a los ángulos de refracción, pero era inexacta para ángulos que no eran pequeños. Ptolomeo confiaba en haber encontrado una ley empírica precisa, en parte como resultado de alterar ligeramente sus datos para que se ajustaran a la teoría (véase: sesgo de confirmación ). [ 3 ]

Una visión de 1837 de la historia de "la Ley de los Pecados" [ 4 ]

La ley finalmente recibió el nombre de Snell , aunque fue descubierta por primera vez por el científico persa Ibn Sahl en la corte de Bagdad en 984. [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] En el manuscrito Sobre espejos y lentes ardientes , Sahl utilizó la ley para derivar formas de lentes que enfocan la luz sin aberración geométrica . [ 8 ]

Ibn al-Haytham , en su Libro de Óptica (1021), estuvo cerca de redescubrir la ley de refracción, pero no dio ese paso. [ 9 ]

La ley fue redescubierta por Thomas Harriot en 1602, [ 10 ] quien, sin embargo, no publicó sus resultados aunque había mantenido correspondencia con Kepler sobre este mismo tema. En 1621, el astrónomo holandés Willebrord Snellius (1580–1626) —Snell— derivó una forma matemáticamente equivalente, que permaneció inédita durante su vida. René Descartes derivó independientemente la ley utilizando argumentos heurísticos de conservación del momento en términos de senos en su ensayo de 1637 La Dioptrique , y la utilizó para resolver una serie de problemas ópticos. Rechazando la solución de Descartes, Pierre de Fermat llegó a la misma solución basándose únicamente en su principio del tiempo mínimo . Descartes asumió que la velocidad de la luz era infinita, pero en su derivación de la ley de Snell también asumió que cuanto más denso es el medio, mayor es la velocidad de la luz. Fermat apoyó las suposiciones opuestas, es decir, que la velocidad de la luz es finita, y su deducción dependía de que la velocidad de la luz fuera menor en un medio más denso. [ 11 ] [ 12 ] La deducción de Fermat también utilizó su invención de la adecuación , un procedimiento matemático equivalente al cálculo diferencial, para encontrar máximos, mínimos y tangentes. [ 13 ] [ 14 ]

En su influyente libro de matemáticas Geometría , Descartes resuelve un problema en el que habían trabajado Apolonio de Perga y Papo de Alejandría . Dadas n rectas L y un punto P(L) en cada una, hallar el lugar geométrico de los puntos Q tales que las longitudes de los segmentos de recta QP(L) satisfagan ciertas condiciones. Por ejemplo, cuando n = 4, dadas las rectas a, b, c y d y un punto A en a, B en b, etc., hallar el lugar geométrico de los puntos Q tales que el producto QA*QB sea igual al producto QC*QD. Cuando las rectas no son todas paralelas, Papo demostró que los lugares geométricos son cónicos, pero cuando Descartes consideró valores mayores de n, obtuvo curvas cúbicas y de mayor grado. Para demostrar el interés de las curvas cúbicas, mostró que surgían naturalmente en óptica a partir de la ley de Snell. [ 15 ]

Según Dijksterhuis, [ 16 ] "En De natura lucis et proprietate (1662), Isaac Vossius afirmó que Descartes había visto el artículo de Snell y había inventado su propia prueba. Ahora sabemos que esta acusación es infundada, pero se ha repetido muchas veces desde entonces". Tanto Fermat como Huygens repitieron esta acusación de que Descartes había copiado a Snell. En francés , la Ley de Snell a veces se denomina "la loi de Descartes" o, más frecuentemente, " loi de Snell-Descartes ".

La construcción de Christiaan Huygens

En su obra Traité de la Lumière de 1678 , Christiaan Huygens demostró cómo la ley de los senos de Snell podía explicarse o derivarse de la naturaleza ondulatoria de la luz, utilizando lo que hoy conocemos como el principio de Huygens-Fresnel .

Con el desarrollo de la teoría óptica y electromagnética moderna, la ley de Snell fue redefinida. En 1962, Nicolaas Bloembergen demostró que en el límite de un medio no lineal, la ley de Snell podía escribirse de forma general. [ 17 ] En 2008 y 2011, también se demostró que las metasuperficies plasmónicas podían cambiar las direcciones de reflexión y refracción de un haz de luz. [ 18 ] [ 19 ]

Explicación

La ley de Snell se utiliza para determinar la dirección de los rayos de luz a través de medios refractivos con índices de refracción variables. [ 20 ] Los índices de refracción de los medios, etiquetadosnorte1{\displaystyle n_{1}},norte2{\displaystyle n_{2}}y así sucesivamente, se utilizan para representar el factor por el cual la velocidad de un rayo de luz disminuye al viajar a través de un medio refractivo, como el vidrio o el agua, en comparación con su velocidad en el vacío.

Cuando la luz atraviesa la frontera entre dos medios, dependiendo de los índices de refracción relativos de estos, se refractará con un ángulo menor o mayor. Estos ángulos se miden con respecto a la línea normal , que se representa como perpendicular a la frontera. En el caso de la luz que viaja del aire al agua, se refractará hacia la línea normal, ya que su velocidad disminuye en el agua; la luz que viaja del agua al aire se refractará alejándose de la línea normal.

La refracción entre dos superficies también se denomina reversible porque, si todas las condiciones fueran idénticas, los ángulos serían los mismos para la luz que se propaga en direcciones opuestas.

La ley de Snell generalmente solo es válida para medios isótropos o especulares (como el vidrio ). En medios anisótropos , como algunos cristales , la birrefringencia puede dividir el rayo refractado en dos rayos: el rayo ordinario o rayo o, que sigue la ley de Snell, y el rayo extraordinario o rayo e , que puede no ser coplanar con el rayo incidente.

Cuando la luz u otra onda involucrada es monocromática, es decir, de una sola frecuencia, la ley de Snell también puede expresarse en términos de una relación de longitudes de onda en los dos medios,λ1{\displaystyle \lambda _{1}}yλ2{\displaystyle \lambda _{2}}:

pecado⁡θ1pecado⁡θ2=v1v2=λ1λ2{\displaystyle {\frac {\sin \theta _ {1}}{\sin \theta _ {2}}}={\frac {v_ {1}}{v_ {2}}}={\frac {\lambda _ {1}}{\lambda _ {2}}}}

Derivaciones y fórmulas

Frentes de onda provenientes de una fuente puntual en el contexto de la ley de Snell. La región debajo de la línea gris tiene un índice de refracción mayor y, proporcionalmente, una velocidad de la luz menor que la región por encima de ella.

La ley de Snell se puede derivar de varias maneras.

Derivación del principio de Fermat

La ley de Snell se deriva del principio de Fermat , que establece que la luz recorre el camino que tarda menos tiempo. Al derivar la longitud del camino óptico , se halla el punto estacionario , que determina la trayectoria de la luz. (Existen situaciones en las que la luz no cumple el principio de Fermat al no seguir el camino de menor tiempo, como en la reflexión en un espejo (esférico)). En una analogía clásica, la zona de menor índice de refracción se reemplaza por una playa, la zona de mayor índice de refracción por el mar, y la forma más rápida para que un rescatador en la playa llegue a una persona que se está ahogando en el mar es correr por un camino que siga la ley de Snell.

La luz procedente del medio 1, punto Q, entra en el medio 2, se produce la refracción y, finalmente, la luz llega al punto P.

Como se muestra en la figura de la derecha, supongamos que el índice de refracción del medio 1 y del medio 2 esnorte1{\displaystyle n_{1}}ynorte2{\displaystyle n_{2}}respectivamente. La luz entra al medio 2 desde el medio 1 a través del punto O.

θ1{\displaystyle \theta _{1}}es el ángulo de incidencia,θ2{\displaystyle \theta _{2}}es el ángulo de refracción con respecto a la normal.

Las velocidades de fase de la luz en el medio 1 y el medio 2 sonv1=do/norte1{\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}yv2=do/norte2{\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}respectivamente, dondedo{\displaystyle c}es la velocidad de la luz en el vacío.

Sea T el tiempo necesario para que la luz viaje desde el punto Q pasando por el punto O hasta el punto P. T=incógnita2+a2v1+b2+(ℓ−incógnita)2v2=incógnita2+a2v1+b2+ℓ2−2ℓincógnita+incógnita2v2{\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(\ell -x)^{2}}}{v_{2}}}\\&={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}}}{v_{2}}}\end{aligned}}} donde a , b , ℓ y x son como se indican en la figura de la derecha, siendo x el parámetro variable.

Para minimizarlo, se puede diferenciar: dTdincógnita=incógnitav1incógnita2+a2+−(ℓ−incógnita)v2(ℓ−incógnita)2+b2{\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(\ell -x)}{v_{2}{\sqrt {(\ell -x)^{2}+b^{2}}}}}} y ajústelo a 0 para encontrar los puntos estacionarios.

Tenga en cuenta que incógnitaincógnita2+a2=pecado⁡θ1{\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}

yℓ−incógnita(ℓ−incógnita)2+b2=pecado⁡θ2{\displaystyle {\frac {\ell -x}{\sqrt {(\ell -x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}

Por lo tanto,

dTdincógnita=pecado⁡θ1v1−pecado⁡θ2v2=0{\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}pecado⁡θ1v1=pecado⁡θ2v2norte1pecado⁡θ1do=norte2pecado⁡θ2donorte1pecado⁡θ1=norte2pecado⁡θ2{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}&={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}\\{\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}&={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}\\n_{1}\sin \theta _{1}&=n_{2}\sin \theta _{2}\end{aligned}}}

Derivación del principio de Huygens

Alternativamente, la ley de Snell se puede derivar utilizando la interferencia de todas las trayectorias posibles de la onda de luz desde la fuente hasta el observador; esto da como resultado una interferencia destructiva.

Derivación a partir de las ecuaciones de Maxwell

Otra forma de derivar la Ley de Snell implica una aplicación de las condiciones de contorno generales de las ecuaciones de Maxwell para la radiación electromagnética y la inducción .

Derivación a partir de la conservación de la energía y el momento.

Otra forma de derivar la ley de Snell se basa en consideraciones de simetría de traslación. [ 21 ] Por ejemplo, una superficie homogénea perpendicular a la dirección z no puede cambiar el momento transversal. Dado que el vector de propagaciónk{\displaystyle \mathbf {k} }es proporcional al momento del fotón, la dirección de propagación transversal(kincógnita,ky,0){\displaystyle (k_{x},k_{y},0)}debe permanecer igual en ambas regiones. Supongamos sin pérdida de generalidad un plano de incidencia en elz,incógnita{\displaystyle z,x}aviónkincógnitaRegión1=kincógnitaRegión2{\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}}Utilizando la conocida dependencia del número de onda con respecto al índice de refracción del medio, deducimos inmediatamente la ley de Snell.

kincógnitaRegión1=kincógnitaRegión2norte1k0pecado⁡θ1=norte2k0pecado⁡θ2norte1pecado⁡θ1=norte2pecado⁡θ2{\displaystyle {\begin{aligned}k_{x{\text{Region}}_{1}}&=k_{x{\text{Region}}_{2}}\\n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}&=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\\n_{1}\sin \theta _{1}&=n_{2}\sin \theta _{2}\end{aligned}}}

dóndek0=2πλ0=ωdo{\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}}es el número de onda en el vacío. Aunque ninguna superficie es verdaderamente homogénea a escala atómica, la simetría traslacional completa es una excelente aproximación siempre que la región sea homogénea a la escala de la longitud de onda de la luz.

Forma vectorial

Dado un vector de luz normalizadoℓ{\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}(apuntando desde la fuente de luz hacia la superficie) y un vector normal del plano normalizadonorte{\displaystyle \mathbf {n} }Se pueden calcular los rayos reflejados y refractados normalizados mediante los cosenos del ángulo de incidencia.θ1{\displaystyle \theta _{1}}y ángulo de refracciónθ2{\displaystyle \theta _{2}}, sin utilizar explícitamente los valores del seno ni ninguna función trigonométrica o ángulos: [ 22 ]

porque⁡θ1=−norte⋅ℓ{\displaystyle \cos \theta _{1}=-\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\ell }}}

Nota:porque⁡θ1{\displaystyle \cos \theta _{1}}debe ser positivo, lo cual será sinorte{\displaystyle \mathbf {n} }es el vector normal que apunta desde la superficie hacia el lado de donde proviene la luz, la región con índicenorte1{\displaystyle n_{1}}. Siporque⁡θ1{\displaystyle \cos \theta _{1}}es negativo, entoncesnorte{\displaystyle \mathbf {n} }apunta al lado sin luz, así que empieza de nuevo connorte{\displaystyle \mathbf {n} }reemplazado por su negativo.

vrmiFlmidot=ℓ+2porque⁡θ1norte{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {reflect} }={\boldsymbol {\ell }}+2\cos \theta _{1}\mathbf {n} } Este vector de dirección reflejado apunta de vuelta hacia el lado de la superficie de donde provino la luz.

Ahora aplicamos la ley de Snell a la razón de los senos para derivar la fórmula del vector de dirección del rayo refractado: pecado⁡θ2=norte1norte2pecado⁡θ1=norte1norte21−(porque⁡θ1)2{\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\sqrt {1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}}}}porque⁡θ2=1−(pecado⁡θ2)2=1−(norte1norte2)2(1−(porque⁡θ1)2){\displaystyle \cos \theta _{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}}vrmiFradot=(norte1norte2)ℓ+(norte1norte2porque⁡θ1−porque⁡θ2)norte{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\boldsymbol {\ell }}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right)\mathbf {n} }

La fórmula puede parecer más simple en términos de valores simples renombrados.r=norte1/norte2{\displaystyle r=n_{1}/n_{2}}ydo=−norte⋅ℓ{\displaystyle c=-\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\ell }}}, evitando cualquier aparición de nombres de funciones trigonométricas o nombres de ángulos: vrmiFradot=rℓ+(rdo−1−r2(1−do2))norte{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=r{\boldsymbol {\ell }}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right)\mathbf {n} }

Ejemplo: ℓ={0,707107,−0,707107}, norte={0,1}, r=norte1norte2=0,9{\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}=\{0.707107,-0.707107\},~\mathbf {n} =\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9}do=porque⁡θ1=0,707107, 1−r2(1−do2)=porque⁡θ2=0,771362{\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362}vrmiFlmidot={0,707107,0,707107}, vrmiFradot={0,636396,−0,771362}{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~\mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.771362\}}

Los valores del coseno se pueden guardar y utilizar en las ecuaciones de Fresnel para calcular la intensidad de los rayos resultantes.

La reflexión interna total se indica mediante un radicando negativo en la ecuación paraporque⁡θ2{\displaystyle \cos \theta _{2}}, lo cual solo puede ocurrir para rayos que atraviesan un medio menos denso (norte2<norte1{\displaystyle n_{2}<n_{1}}En óptica aplicada, estos cálculos vectoriales se utilizan secuencialmente para modelar pilas ópticas multicapa complejas, como recubrimientos antirreflectantes o paneles de visualización. En estos sistemas, el desplazamiento lateral del haz y las condiciones de reflexión interna total deben verificarse en cada interfaz dieléctrica para garantizar una alineación precisa. [ 23 ]

Reflexión interna total y ángulo crítico

Demostración de que no hay refracción en ángulos mayores que el ángulo crítico.

Cuando la luz viaja de un medio con un índice de refracción mayor a otro con un índice de refracción menor, la ley de Snell parece requerir, en algunos casos (siempre que el ángulo de incidencia sea suficientemente grande), que el seno del ángulo de refracción sea mayor que uno. Esto, por supuesto, es imposible, y en tales casos la luz se refleja completamente en la interfaz, un fenómeno conocido como reflexión interna total . El mayor ángulo de incidencia posible que aún produce un rayo refractado se denomina ángulo crítico ; en este caso, el rayo refractado viaja a lo largo de la interfaz entre los dos medios.

Refracción de la luz en la interfaz entre dos medios.

Por ejemplo, consideremos un rayo de luz que se mueve del agua al aire con un ángulo de incidencia de 50°. Los índices de refracción del agua y del aire son aproximadamente 1,333 y 1, respectivamente, por lo que la ley de Snell nos da la relación

pecado⁡θ2=norte1norte2pecado⁡θ1=1.3331⋅pecado⁡(50∘)=1.333⋅0,766=1.021,{\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {1.333}{1}}\cdot \sin \left(50^{\circ }\right)=1.333\cdot 0.766=1.021,}

lo cual es imposible de satisfacer. El ángulo crítico θ crit es el valor de θ 1 para el cual θ 2 es igual a 90°:

θcrítico=arcoseno⁡(norte2norte1pecado⁡θ2)=arcoseno⁡norte2norte1=48.6∘.{\displaystyle \theta _{\text{crit}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \theta _{2}\right)=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=48.6^{\circ }.}

Dispersión

En muchos medios de propagación de ondas, la velocidad de las ondas varía con la frecuencia o la longitud de onda; esto se cumple en la propagación de la luz en la mayoría de las sustancias transparentes, excepto en el vacío. Estos medios se denominan dispersivos. Como resultado, los ángulos determinados por la ley de Snell también dependen de la frecuencia o la longitud de onda, de modo que un rayo de longitudes de onda mixtas, como la luz blanca, se dispersará. Esta dispersión de la luz en el vidrio o el agua explica el origen de los arcoíris y otros fenómenos ópticos , en los que las diferentes longitudes de onda se manifiestan como distintos colores.

En los instrumentos ópticos, la dispersión produce aberración cromática ; una borrosidad que depende del color y que, en ocasiones, limita la resolución. Esto era especialmente cierto en los telescopios refractores , antes de la invención de las lentes objetivo acromáticas .

Medios con pérdidas, absorbentes o conductores

En un medio conductor, la permitividad y el índice de refracción son complejos. Por consiguiente, también lo son el ángulo de refracción y el vector de onda. Esto implica que, mientras que las superficies de fase real constante son planos cuyas normales forman un ángulo igual al ángulo de refracción con la normal de la interfaz, las superficies de amplitud constante, en cambio, son planos paralelos a la propia interfaz. Dado que estos dos planos no suelen coincidir, se dice que la onda es inhomogénea. [ 24 ] La onda refractada se atenúa exponencialmente, con un exponente proporcional a la componente imaginaria del índice de refracción. [ 25 ] [ 26 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Born y Wolf (1959). Principios de óptica . Nueva York, NY: Pergamon Press INC. pág.  37.
  2. ↑ David Michael Harland (2007). " Cassini en Saturno: resultados de Huygens ". p. 1. ISBN 0-387-26129-X
  3. ↑ "Ptolomeo (ca. 100-ca. 170)" . El mundo de la biografía científica de Eric Weinstein .
  4. ↑ William Whewell, Historia de la ciencia inductiva desde sus orígenes hasta la actualidad , Londres: John H. Parker, 1837.
  5. ↑ Papadopoulos, Athanase (2017). "Roshdi Rashed, historiador de las matemáticas griegas y árabes" . HAL Open Science . pág. 12. hal-01653436. 
  6. ↑ Mourad Zghal; Hamid-Eddine Bouali; Zohra Ben Lakhdar; Habib Hamam. "Los primeros pasos para aprender óptica: las obras de Ibn Sahl, Al-Haytham y Young sobre refracción como ejemplos típicos" (PDF) . R. Rashed atribuyó a Ibn Sahl el descubrimiento de la ley de refracción [23], generalmente llamada ley de Snell y también ley de Snell y Descartes.
  7. ↑ Smith, A. Mark (2015). De la vista a la luz: El paso de la óptica antigua a la moderna . University of Chicago Press. pág. 178. ISBN  978-0-226-17476-1.
  8. ↑ Rashed, Roshdi (1990). "Un pionero en anaclastos: Ibn Sahl sobre espejos y lentes ardientes". Isis . 81 (3): 464– 491. doi : 10.1086/355456 . S2CID 144361526 . 
  9. ↑ AI Sabra (1981), Teorías de la luz de Descartes a Newton , Cambridge University Press . ( cf. Pavlos Mihas, El uso de la historia en el desarrollo de ideas sobre refracción, lentes y arco iris , p. 5, Universidad Demócrito, Tracia , Grecia ).
  10. ↑ Kwan, A.; Dudley, J.; Lantz, E. (2002). "¿Quién descubrió realmente la ley de Snell?". Physics World . 15 (4): 64. doi : 10.1088/2058-7058/15/4/44 .
  11. ↑ Florian Cajori , Historia de la física en sus ramas elementales: incluyendo la evolución de los laboratorios físicos (1922)
  12. ↑ Ferdinand Rosenberger, Geschichte der Physik (1882) Parte. II, pág.114
  13. ↑ Carl Benjamin Boyer , El arco iris: Del mito a las matemáticas (1959)
  14. ↑ Florian Cajori , "¿Quién fue el primer inventor del cálculo?" The American Mathematical Monthly (1919) Vol. 26
  15. ↑ La geometría de René Descartes (Libros de matemáticas de Dover) por René Descartes, David Eugene Smith y Marcia L. Latham (1 de junio de 1954).
  16. ^ Dijksterhuis, Fokko Jan (2004). Lentes y ondas: Christiaan Huygens y la ciencia matemática de la óptica en el siglo XVII . Saltador. ISBN 1-4020-2697-8.
  17. ↑ Bloembergen, N.; Pershan, PS (1962). "Ondas de luz en el límite de medios no lineales" (PDF) . Physical Review . 128 (2): 606. Bibcode : 1962PhRv..128..606B . doi : 10.1103/PhysRev.128.606 . hdl : 1874/7432 . Archivado (PDF) del original el 09-10-2022.
  18. ↑ Xu, T.; et al. (2008). "Deflector plasmónico" . Opt. Express . 16 (7): 4753–9 . Bibcode : 2008OExpr..16.4753X . doi : 10.1364/oe.16.004753 . PMID 18542573 .  
  19. ↑ Yu, Nanfang; Genevet, Patrice; Kats, Mikhail A.; Aieta, Francesco; Tetienne, Jean-Philippe; Capasso, Federico; Gaburro, Zeno (octubre de 2011). "Propagación de la luz con discontinuidades de fase: leyes generalizadas de reflexión y refracción" . Science . 334 ( 6054): 333–7 . Bibcode : 2011Sci...334..333Y . doi : 10.1126/science.1210713 . PMID 21885733. S2CID 10156200 .  
  20. ↑ Hecht, Eugene (2002). Óptica . Addison-Wesley. pág. 101. ISBN  0-8053-8566-5.
  21. ↑ Joannopoulos, John D; Johnson, SG; Winn, JN; Meade, RD (2008). Cristales fotónicos: moldeando el flujo de la luz (2.ª ed.). Princeton, NJ: Princeton University Press. pág. 31. ISBN   978-0-691-12456-8.
  22. ↑ Glassner, Andrew S. (1989). Introducción al trazado de rayos . Morgan Kaufmann. ISBN 0-12-286160-4.
  23. ↑ "Ley de Snell en el análisis de pilas ópticas multicapa" . Firgelli Automations . Firgelli . Consultado el 14 de marzo de 2026. Un análisis técnico de la aplicación de la Ley de Snell para derivar el desplazamiento lateral y los ángulos críticos en sistemas ópticos multicapa complejos.
  24. ↑ Born y Wolf, sección 13.2, "Refracción y reflexión en una superficie metálica"
  25. ↑ Hecht, Óptica , sección 4.8, Propiedades ópticas de los metales.
  26. ↑ SJ Orfanidis, Ondas electromagnéticas y antenas , sección 7.9, Incidencia oblicua en un medio con pérdidas,Archivado el 30 de julio de 2020 en Wayback Machine .