Thompson groups

In mathematics, the Thompson groups (also called Thompson's groups, vagabond groups or chameleon groups) are three groups, commonly denoted ${\displaystyle F\subseteq T\subseteq V}$, that were introduced by Richard Thompson in some unpublished handwritten notes in 1965 as a possible counterexample to the von Neumann conjecture. Of the three, F is the most widely studied, and is sometimes referred to as the Thompson group or Thompson's group.

The Thompson groups, and F in particular, have a collection of unusual properties that have made them counterexamples to many general conjectures in group theory. All three Thompson groups are infinite but finitely presented. The groups T and V are (rare) examples of infinite but finitely-presented simple groups. The group F is not simple but its derived subgroup [F,F] is and the quotient of F by its derived subgroup is the free abelian group of rank 2. F is totally ordered, has exponential growth, and does not contain a subgroup isomorphic to the free group of rank 2.

It is conjectured that F is not amenable and hence a further counterexample to the long-standing but recently disproved von Neumann conjecture for finitely-presented groups: it is known that F is not elementary amenable.

Higman (1974) introduced an infinite family of finitely presented simple groups, including Thompson's group V as a special case.

A finite presentation of F is given by the following expression:

${\displaystyle \langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\mathrm {id} \rangle }$

where [x,y] is the usual group theory commutator, xyx⁻¹y⁻¹.

Although F has a finite presentation with 2 generators and 2 relations, it is most easily and intuitively described by the infinite presentation:

${\displaystyle \langle x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ \mid \ x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+1}\ \mathrm {para} \ k<n\rangle .}$

The two presentations are related by x₀=A, x_n = A¹⁻ⁿBAⁿ⁻¹ for n>0.

El grupo F también tiene realizaciones en términos de operaciones sobre árboles binarios enraizados ordenados , y como un subgrupo de los homeomorfismos lineales por partes del intervalo unitario que preservan la orientación y cuyos puntos no diferenciables son racionales diádicos y cuyas pendientes son todas potencias de 2.

El grupo F también puede considerarse actuando sobre el círculo unitario al identificar los dos extremos del intervalo unitario, y el grupo T es entonces el grupo de automorfismos del círculo unitario obtenido al añadir el homeomorfismo x → x +1/2 mod 1 a F. En árboles binarios, esto corresponde a intercambiar los dos árboles por debajo de la raíz. El grupo V se obtiene de T añadiendo la aplicación discontinua que fija los puntos del intervalo semiabierto [0,1/2) e intercambia [1/2,3/4) y [3/4,1) de la forma obvia. En árboles binarios, esto corresponde a intercambiar los dos árboles por debajo del descendiente derecho de la raíz (si existe).

El grupo de Thompson F es el grupo de automorfismos que preservan el orden del álgebra libre de Jónsson-Tarski sobre un generador.

La conjetura de Thompson de que F no es amenable fue popularizada posteriormente por R. Geoghegan (véase también el artículo de Cannon-Floyd-Parry citado en las referencias a continuación). Su estado actual es abierto: E. Shavgulidze ^{[ 1 ]} publicó un artículo en 2009 en el que afirmaba demostrar que F es amenable, pero se encontró un error, como se explica en la revisión de MR .

Se sabe que F no es elementalmente amenable , véase el Teorema 4.10 en Cannon–Floyd–Parry.

Si F no es amenable, entonces sería otro contraejemplo a la ahora refutada conjetura de von Neumann para grupos finitamente presentados, que afirma que un grupo finitamente presentado es amenable si y solo si no contiene una copia del grupo libre de rango 2.

El grupo F fue redescubierto al menos dos veces por topólogos durante la década de 1970. En un artículo que se publicó mucho más tarde, pero que circulaba como preimpresión en ese momento, P. Freyd y A. Heller ^{[ 2 ]} demostraron que el mapa de desplazamiento en F induce una homotopía idempotente no divisible en el espacio de Eilenberg-MacLane K(F,1) y que esto es universal en un sentido interesante. Esto se explica en detalle en el libro de Geoghegan (véanse las referencias más adelante). De forma independiente, J. Dydak y P. Minc ^{[ 3 ]} crearon un modelo menos conocido de F en relación con un problema de la teoría de formas.

En 1979, R. Geoghegan hizo cuatro conjeturas sobre F : (1) F tiene tipo FP _∞ ; (2) Todos los grupos de homotopía de F en el infinito son triviales; (3) F no tiene subgrupos libres no abelianos; (4) F no es amenable. (1) fue demostrada por KS Brown y R. Geoghegan en forma fuerte: hay un K(F,1) con dos celdas en cada dimensión positiva. ^{[ 4 ]} (2) también fue demostrada por Brown y Geoghegan ^{[ 5 ]} en el sentido de que se demostró que la cohomología H*(F,ZF) es trivial; dado que un teorema anterior de M. Mihalik ^{[ 6 ]} implica que F es simplemente conexo en el infinito, y el resultado enunciado implica que toda homología en el infinito se anula, la afirmación sobre los grupos de homotopía se deduce. (3) fue demostrada por M. Brin y C. Squier. ^{[ 7 ]} El estado de (4) se analiza más arriba.

Se desconoce si F satisface la conjetura de Farrell-Jones . Incluso se desconoce si el grupo de Whitehead de F (véase torsión de Whitehead ) o el grupo de clases proyectivas de F (véase obstrucción de finitud de Wall ) son triviales, aunque se demuestra fácilmente que F satisface la fuerte conjetura de Bass.

D. Farley ^{[ 8 ]} ha demostrado que F actúa como transformaciones de cubierta en un complejo cúbico CAT(0) localmente finito (necesariamente de dimensión infinita). Una consecuencia es que F satisface la conjetura de Baum-Connes .

• Grupo Higman
• Criptografía no conmutativa

• Cañón, JW ; Floyd, WJ ; Parry, WR (1996), "Notas introductorias sobre los grupos de Richard Thompson" (PDF) , L'Enseignement Mathématique , IIe Série, 42 (3): 215– 256, ISSN 0013-8584 , MR 1426438  
• Cannon, JW; Floyd, WJ (septiembre de 2011). "¿QUÉ ES... el grupo de Thompson?" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 58 (8): 1112– 1113. ISSN 0002-9920 . Consultado el 27 de diciembre de 2011 . 
• Geoghegan, Ross (2008), Métodos topológicos en teoría de grupos , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  243, Springer Verlag , arXiv : math/0601683 , doi : 10.1142/S0129167X07004072 , ISBN 978-0-387-74611-1, MR 2325352 
• Higman, Graham (1974), Grupos simples infinitos finitamente presentados , Notas sobre matemáticas puras, vol.  8, Departamento de Matemáticas Puras, Departamento de Matemáticas, IAS, Universidad Nacional Australiana, Canberra, ISBN 978-0-7081-0300-5, MR 0376874