cuantificación existencial

En lógica simbólica , "∃" (una letra " E " girada en una fuente sans-serif , Unicode U+2203) se utiliza para indicar cuantificación existencial. Por ejemplo, la notación${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} :n\times n=25}$representa la afirmación (verdadera)

Existe algo${\displaystyle n}$en el conjunto de los números naturales tales que${\displaystyle n\times n=25}$.

Se cree que el primer uso del símbolo fue por Giuseppe Peano en Formulario mathematico (1896). Posteriormente, Bertrand Russell popularizó su uso como cuantificador existencial. A través de su investigación en teoría de conjuntos, Peano también introdujo los símbolos${\displaystyle \cap }$y${\displaystyle \cup }$para denotar respectivamente la intersección y la unión de conjuntos. ^{[ 5 ]}

Una función proposicional cuantificada es una proposición; por lo tanto, al igual que las proposiciones, las funciones cuantificadas pueden ser negadas.${\displaystyle \lnot \ }$El símbolo se utiliza para denotar negación.

Por ejemplo, si P ( x ) es el predicado " x es mayor que 0 y menor que 1", entonces, para un dominio de discurso X de todos los números naturales, la cuantificación existencial "Existe un número natural x que es mayor que 0 y menor que 1" puede expresarse simbólicamente como:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

Se puede demostrar que esto es falso. En verdad, hay que decir: "No es cierto que exista un número natural x mayor que 0 y menor que 1", o, simbólicamente:

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$.

Si no hay ningún elemento del dominio del discurso para el cual la afirmación sea verdadera, entonces debe ser falsa para todos esos elementos. Es decir, la negación de

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

es lógicamente equivalente a "Para cualquier número natural x , x no es mayor que 0 ni menor que 1", o:

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

En general, entonces, la negación de la cuantificación existencial de una función proposicional es una cuantificación universal de la negación de esa función proposicional; simbólicamente,

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

(Esta es una generalización de las leyes de De Morgan a la lógica de predicados).

Un error común es afirmar "no todas las personas están casadas" (es decir, "no existe ninguna persona que esté casada"), cuando se quiere decir "no todas las personas están casadas" (es decir, "existe una persona que no está casada"):

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

La negación también se puede expresar mediante una declaración de "para no", en contraposición a "para algunos":

${\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

A diferencia del cuantificador universal, el cuantificador existencial se distribuye sobre disyunciones lógicas:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

Una regla de inferencia es una regla que justifica un paso lógico desde la hipótesis hasta la conclusión. Existen varias reglas de inferencia que utilizan el cuantificador existencial.

La introducción existencial (∃I) concluye que, si se sabe que la función proposicional es verdadera para un elemento particular del dominio del discurso, entonces debe ser cierto que existe un elemento para el cual la función proposicional es verdadera. Simbólicamente,

${\displaystyle P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

La instanciación existencial , cuando se lleva a cabo mediante una deducción al estilo Fitch, procede entrando en una nueva subderivación mientras se sustituye una variable cuantificada existencialmente por un sujeto —que no aparece en ninguna subderivación activa—. Si se puede llegar a una conclusión dentro de esta subderivación en la que no aparece el sujeto sustituido, entonces se puede salir de esa subderivación con esa conclusión. El razonamiento detrás de la eliminación existencial (∃E) es el siguiente: Si se da que existe un elemento para el cual la función proposicional es verdadera, y si se puede llegar a una conclusión dándole a ese elemento un nombre arbitrario, esa conclusión es necesariamente verdadera , siempre que no contenga el nombre. Simbólicamente, para un c arbitrario y para una proposición Q en la que c no aparece:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}$

${\displaystyle P(c)\to \ Q}$debe ser verdadero para todos los valores de c sobre el mismo dominio X ; de lo contrario, la lógica no se sigue: si c no es arbitrario, y en cambio es un elemento específico del dominio del discurso, entonces afirmar P ( c ) podría injustificadamente dar más información sobre ese objeto.

La fórmula${\displaystyle \exists {x}{\in }\varnothing \,P(x)}$siempre es falso, independientemente de P ( x ). Esto se debe a que${\displaystyle \varnothing }$denota el conjunto vacío , y en él no existe ningún x de ninguna descripción, y mucho menos un x que cumpla un predicado dado P ( x ). Véase también Verdad vacía para más información.