operador tensorial

El operador de rotación alrededor del vector unitario n (que define el eje de rotación) a través del ángulo θ es

$${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

donde J = ( J _x , J _y , J _z ) son los generadores de rotación (también las matrices de momento angular):

$${\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&i&0\\-i&0&i\\0&-i&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

y dejar${\displaystyle {\widehat {R}}={\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})}$sea ​​una matriz de rotación . Según la fórmula de rotación de Rodrigues , el operador de rotación entonces equivale a: $${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=1\!\!1-{\frac {i\sin \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} -{\frac {1-\cos \theta }{\hbar ^{2}}}({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}.}$$

Un operador${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$es invariante bajo una transformación unitaria U si $${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U;}$$ en este caso para la rotación${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$, $${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U(R)}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U(R)=\exp \left({\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right){\widehat {\Omega }}\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right).}$$

La base ortonormal establecida para el momento angular total es${\displaystyle |j,m\rangle }$donde j es el número cuántico de momento angular total y m es el número cuántico de momento angular magnético, que toma los valores −j , −j + 1, ..., j − 1, j . Un estado general dentro del subespacio j

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}|j,m\rangle }$$

rota a un nuevo estado mediante:

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =U(R)|\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}U(R)|j,m\rangle }$$

Utilizando la condición de completitud :

$${\displaystyle I=\sum _{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|}$$

tenemos

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =IU(R)|\psi \rangle =\sum _{mm'}c_{jm}|j,m'\rangle \langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

Presentación de los elementos de la matriz D de Wigner :

$${\displaystyle {D(R)}_{m'm}^{(j)}=\langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

da como resultado la multiplicación de matrices:

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =\sum _{mm'}c_{jm}D_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle \quad \Rightarrow \quad |{\bar {\psi }}\rangle =D^{(j)}|\psi \rangle }$$

Para una base ket:

$${\displaystyle |{\overline {j,m}}\rangle =\sum _{m'}{D(R)}_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle }$$

Para el caso del momento angular orbital, los autoestados${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$del operador de momento angular orbital L y las soluciones de la ecuación de Laplace en una esfera 3d son armónicos esféricos :

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle ={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}$$

donde P _ℓ ^m es un polinomio de Legendre asociado , ℓ es el número cuántico de momento angular orbital y m es el número cuántico magnético orbital que toma los valores − ℓ , − ℓ + 1, ... ℓ − 1, ℓ El formalismo de los armónicos esféricos tiene amplias aplicaciones en matemáticas aplicadas y está estrechamente relacionado con el formalismo de los tensores esféricos, como se muestra a continuación.

Los armónicos esféricos son funciones de los ángulos polar y azimutal, ϕ y θ respectivamente, que pueden agruparse convenientemente en un vector unitario n ( θ , ϕ ) que apunta en la dirección de esos ángulos; en la base cartesiana es:

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}(\theta ,\phi )=\cos \phi \sin \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \phi \sin \theta \mathbf {e} _{y}+\cos \theta \mathbf {e} _{z}}$$

Así pues, también se puede escribir un armónico esférico.${\displaystyle Y_{\ell }^{m}=\langle \mathbf {n} |\ell m\rangle }$Estados armónicos esféricos${\displaystyle |m,\ell \rangle }$rotar según la matriz de rotación inversa${\displaystyle U(R^{-1})}$, mientras${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$rota según la matriz de rotación inicial${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$.

$${\displaystyle |{\overline {\ell ,m}}\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m'\rangle \,,\quad |{\overline {\hat {\mathbf {n} }}}\rangle =U(R)|{\hat {\mathbf {n} }}\rangle }$$

Un operador escalar es invariante bajo rotaciones: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {S}}U(R)={\widehat {S}}}$$

Esto equivale a decir que un operador escalar conmuta con los generadores de rotación:

$${\displaystyle \left[{\widehat {S}},{\widehat {\mathbf {J} }}\right]=0}$$

Ejemplos de operadores escalares incluyen:

• el operador energético :$${\displaystyle {\widehat {E}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$$
• energía potencial V (solo en el caso de un potencial central)$${\displaystyle {\widehat {V}}(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=V(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)}$$
• energía cinética T :$${\displaystyle {\widehat {T}}\psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla ^{2}\psi )(\mathbf {r} ,t)}$$
• el acoplamiento espín-órbita :$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}={\widehat {L}}_{x}{\widehat {S}}_{x}+{\widehat {L}}_{y}{\widehat {S}}_{y}+{\widehat {L}}_{z}{\widehat {S}}_{z}\,.}$$

Los operadores vectoriales (así como los operadores pseudovectoriales ) son un conjunto de 3 operadores que pueden rotarse según: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{i}U(R)=\sum _{j}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}}$$Cualquier magnitud vectorial observable de un sistema mecánico cuántico debe ser invariante respecto a la elección del sistema de referencia. La transformación del vector de valor esperado, aplicable a cualquier función de onda, garantiza la igualdad anterior. En notación de Dirac:$${\displaystyle \langle {\bar {\psi }}|{\widehat {V}}_{a}|{\bar {\psi }}\rangle =\langle \psi |{U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)|\psi \rangle =\sum _{b}R_{ab}\langle \psi |{\widehat {V}}_{b}|\psi \rangle }$$donde el lado derecho se debe a la transformación de rotación que actúa sobre el vector formado por los valores esperados. Dado que | Ψ ⟩ es cualquier estado cuántico, se obtiene el mismo resultado:$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)=\sum _{b}R_{ab}{\widehat {V}}_{b}}$$Nótese que aquí el término "vector" se utiliza de dos maneras diferentes: los kets como | ψ ⟩ son elementos de espacios de Hilbert abstractos , mientras que el operador vectorial se define como una cantidad cuyos componentes se transforman de cierta manera bajo rotaciones.

A partir de la relación anterior para rotaciones infinitesimales y el lema de Baker Hausdorff , igualando coeficientes de orden${\displaystyle \delta \theta }$, se puede derivar la relación de conmutación con el generador de rotación: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\left[{\widehat {V}}_{a},{\widehat {J}}_{b}\right]=\sum _{c}i\hbar \varepsilon _{abc}{\widehat {V}}_{c}}}$$donde ε _ijk es el símbolo de Levi-Civita , que todos los operadores vectoriales deben satisfacer por construcción. La regla de conmutación anterior también puede usarse como una definición alternativa para operadores vectoriales, lo cual se puede demostrar usando el lema de Baker Hausdorff . Como el símbolo ε _ijk es un pseudotensor , los operadores pseudovectoriales son invariantes salvo por un signo: +1 para rotaciones propias y −1 para rotaciones impropias .

Dado que se puede demostrar que los operadores forman un operador vectorial mediante su relación de conmutación con los componentes del momento angular (que son generadores de rotación), algunos ejemplos son:

• el operador de posición :$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {r} }}\psi =\mathbf {r} \psi }$$
• el operador de momento :$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}\psi =-i\hbar \nabla \psi }$$

y los operadores pseudovectoriales incluyen

• el operador de momento angular orbital :$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\psi =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla \psi }$$
• así como el operador de espín S y, por lo tanto, el momento angular total$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}\,.}$$

Un operador vectorial en la base esférica es V = ( V ₊₁ , V ₀ , V ₋₁ ) donde las componentes son: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle V_{+1}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}+iV_{y})\,\quad V_{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}-iV_{y})\,,\quad V_{0}=V_{z}\,,}$$ usando${\textstyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}\,,}$Los distintos conmutadores con generadores de rotación y operadores de escalera son:$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},V_{+1}\right]&=+\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{z},V_{0}\right]&=0V_{0}\\[1ex]\left[J_{z},V_{-1}\right]&=-\hbar V_{-1}\\[2ex]\left[J_{+},V_{+1}\right]&=0\\[1ex]\left[J_{+},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{+},V_{-1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[2ex]\left[J_{-},V_{+1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[1ex]\left[J_{-},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{-1}\\[1ex]\left[J_{-},V_{-1}\right]&=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

que son de forma similar de$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}|1,+1\rangle &=+\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{z}|1,0\rangle &=0|1,0\rangle \\[1ex]J_{z}|1,-1\rangle &=-\hbar |1,-1\rangle \\[2ex]J_{+}|1,+1\rangle &=0\\[1ex]J_{+}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{+}|1,-1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[2ex]J_{-}|1,+1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[1ex]J_{-}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,-1\rangle \\[1ex]J_{-}|1,-1\rangle &=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

En la base esférica, los generadores de rotación son:$${\displaystyle J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}J_{\pm }\,,\quad J_{0}=J_{z}}$$

A partir de la transformación de operadores y el lema de Baker Hausdorff :

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)={\widehat {V}}_{q}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},{\widehat {V}}_{q}\right]+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},.]\right)^{k}}{k!}}{\widehat {V}}_{q}=\exp \left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot Ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {V}}_{q}}$

en comparación con

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =|j,k\rangle -i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}|j,k\rangle +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}\right)^{k}}{k!}}|j,k\rangle =\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle }$

Se puede argumentar que el conmutador con operador reemplaza la acción del operador sobre el estado para transformaciones de operadores en comparación con la de estados:

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{j',k'}|j',k'\rangle \langle j',k'|\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{k'}D_{k'k}^{(j)}(R)|j,k'\rangle }$

La transformación de rotación en la base esférica (originalmente escrita en la base cartesiana) es entonces, debido a la similitud de conmutación y operador mostrada anteriormente:$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)=\sum _{q'}{{D_{q'q}^{(1)}}(R^{-1})}{\widehat {V}}_{q'}}$$

El concepto de operador vectorial se puede generalizar fácilmente a operadores tensoriales , como se muestra a continuación.

En general, un operador tensorial es aquel que transforma según un tensor:$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }^{abc\cdots }U(R)=R_{p,\alpha }R_{q,\beta }R_{r,\gamma }\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }^{\alpha \beta \gamma \cdots }R_{i,a}^{-1}R_{j,b}^{-1}R_{k,c}^{-1}\cdots }$$donde la base se transforma por${\displaystyle R^{-1}}$o los componentes del vector se transforman por${\displaystyle R}$.

En la discusión posterior sobre operadores tensoriales, la notación de índices relativa al comportamiento covariante/contravariante se ignora por completo. En cambio, los componentes contravariantes se infieren del contexto. Por lo tanto, para un tensor n veces contravariante: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }U(R)=R_{pi}R_{qj}R_{rk}\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }}$$

El subespacio abarcado por${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$se puede dividir en dos subespacios; tres componentes antisimétricas independientes${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$y seis componentes simétricas independientes${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$, definido como${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$y${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})}$. Usando el${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$transformación bajo la fórmula de rotación, se puede demostrar que ambos${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$y${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$se transforman en una combinación lineal de miembros de sus propios conjuntos. Aunque${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$es irreductible, no se puede decir lo mismo de${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$.

El conjunto de seis componentes simétricas independientes se puede dividir en cinco componentes simétricas independientes sin traza, y la traza invariante puede ser su propio subespacio.

Por lo tanto, los subespacios invariantes de${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$se forman respectivamente por:

1. Una traza invariante del tensor,${\displaystyle {\hat {t}}=\sum _{k=1}^{3}{\hat {T}}_{kk}}$
2. Tres componentes antisimétricas linealmente independientes de:${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$
3. Cinco componentes simétricas linealmente independientes sin traza de${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})-{\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}}$

Si${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$, los subespacios invariantes de${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$Las formas formadas están representadas por: ^{[ 4 ]}

1. Un operador escalar invariante${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$
2. Tres componentes linealmente independientes de${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})}$
3. Cinco componentes linealmente independientes de${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}}$

De los ejemplos anteriores, los nueve componentes${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$se dividen en subespacios formados por uno, tres y cinco componentes. Estos números suman el número de componentes del tensor original de manera similar a como la dimensión de los subespacios vectoriales se suma a la dimensión del espacio que es una suma directa de estos subespacios. De manera similar, cada elemento de${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$puede expresarse en términos de una combinación lineal de componentes de sus subespacios invariantes:

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}+{\hat {A}}_{ij}+{\hat {S}}_{ij}}$

o

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})\right)+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}\right)=\mathbf {T} ^{(0)}+\mathbf {T} ^{(1)}+\mathbf {T} ^{(2)}}$

dónde:$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(0)}={\frac {{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}}{3}}\delta _{ij}}$$$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}-{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right]={\widehat {V}}_{[i}{\widehat {W}}_{j]}}$$$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(2)}={\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}+{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right)-{\tfrac {1}{3}}{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}\delta _{ij}={\widehat {V}}_{(i}{\widehat {W}}_{j)}-T_{ij}^{(0)}}$$

En general, los tensores cartesianos de rango mayor que 1 son reducibles. En mecánica cuántica, este ejemplo particular se asemeja a la suma de dos partículas de espín uno, donde ambas son tridimensionales, por lo que el espacio total es de 9 dimensiones, que puede formarse mediante sistemas de espín 0, espín 1 y espín 2, cada uno con un espacio de 1, 3 y 5 dimensiones respectivamente. ^{[ 4 ]} Estos tres términos son irreducibles, lo que significa que no pueden descomponerse más y seguir siendo tensores que satisfagan las leyes de transformación que los definen y bajo las cuales deben ser invariantes. Cada una de las representaciones irreducibles T ⁽⁰⁾ , T ⁽¹⁾ , T ⁽²⁾ ... se transforma como estados propios del momento angular según el número de componentes independientes.

Es posible que un tensor dado tenga uno o más de estos componentes nulos. Por ejemplo, el tensor del momento cuadrupolar ya es simétrico y sin traza, y por lo tanto, inicialmente solo tiene 5 componentes independientes. ^{[ 3 ]}

Los operadores tensoriales esféricos se definen generalmente como operadores con la siguiente regla de transformación, bajo la rotación del sistema de coordenadas:

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

Las relaciones de conmutación se pueden encontrar expandiendo LHS y RHS como: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}\left(1-{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)=\sum _{m'}\langle j,m'|\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)|j,m\rangle {\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

Simplificando y aplicando límites para seleccionar solo los términos de primer orden, obtenemos:

${\displaystyle {[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}]=\sum _{m'}{\widehat {T}}_{m'}^{(j)}\langle j,m'|{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}|j,m\rangle }$

Para opciones de${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {x}}\pm i{\hat {y}}}$o${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}}$, obtenemos:$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{\pm },{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}{\widehat {T}}_{m\pm 1}^{(j)}\\[1ex]\left[J_{z},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar m{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\end{aligned}}}$$Nótese la similitud de lo anterior con:$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\pm }|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}|j,m\pm 1\rangle \\[1ex]J_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}}$$Desde${\displaystyle J_{x}}$y${\displaystyle J_{y}}$son combinaciones lineales de${\displaystyle J_{\pm }}$, comparten la misma similitud debido a la linealidad.

Si solo se cumplen las relaciones de conmutación, utilizando la siguiente relación,${\displaystyle |j,m\rangle \rightarrow U(R)|j,m\rangle =\exp \left(-{i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,m\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R)|j,m'\rangle }$

encontramos debido a la similitud de acciones de${\displaystyle J}$en la función de onda${\displaystyle |j,m\rangle }$y las relaciones de conmutación en${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}}$, eso:

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\exp \left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

donde la forma exponencial viene dada por el lema de Baker-Hausdorff . Por lo tanto, las relaciones de conmutación anteriores y la propiedad de transformación son definiciones equivalentes de operadores tensoriales esféricos. También se puede demostrar que${\displaystyle \{ad_{{\hat {J}}_{i}}\}}$se transforman como un vector debido a su relación de conmutación.

En la siguiente sección, se discutirá la construcción de tensores esféricos. Por ejemplo, dado que se muestra un ejemplo de operadores vectoriales esféricos, se puede utilizar para construir operadores tensoriales esféricos de orden superior. En general, los operadores tensoriales esféricos se pueden construir desde dos perspectivas. ^{[ 5 ]} Una forma es especificar cómo se transforman los tensores esféricos bajo una rotación física: una definición de teoría de grupos . Un estado propio de momento angular rotado se puede descomponer en una combinación lineal de los estados propios iniciales: los coeficientes en la combinación lineal consisten en entradas de la matriz de rotación de Wigner. O bien, continuando con el ejemplo anterior del tensor diádico de segundo orden T = a ⊗ b , al convertir cada uno de a y b en la base esférica y sustituir en T se obtienen los operadores tensoriales esféricos de segundo orden.

Los operadores de momento angular orbital tienen los operadores de escalera :

$${\displaystyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$$

que aumentan o disminuyen el número cuántico magnético orbital m _ℓ en una unidad. Esto tiene casi exactamente la misma forma que la base esférica, salvo por factores multiplicativos constantes.

Los tensores esféricos también pueden formarse a partir de combinaciones algebraicas de los operadores de espín S _x , S _y , S _z , como matrices, para un sistema de espín con número cuántico total j = ℓ + s (y ℓ = 0). Los operadores de espín tienen los operadores de escalera:

$${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}$$

que aumentan o disminuyen el número cuántico magnético de espín m _s en una unidad.

La amplitud de transición es proporcional a los elementos de matriz del operador dipolar entre los estados inicial y final. Utilizamos un modelo electrostático sin espín para el átomo y consideramos la transición del nivel de energía inicial E _nℓ al nivel final E _n′ℓ′ . Estos niveles son degenerados, ya que la energía no depende del número cuántico magnético m o m′. Las funciones de onda tienen la forma,

$${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R_{n\ell }(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

El operador dipolar es proporcional al operador de posición del electrón, por lo que debemos evaluar elementos de matriz de la forma,

$${\displaystyle \langle n'\ell 'm'|\mathbf {r} |n\ell m\rangle }$$

donde el estado inicial está a la derecha y el final a la izquierda. El operador de posición r tiene tres componentes, y los niveles inicial y final consisten en 2ℓ + 1 y 2ℓ′ + 1 estados degenerados, respectivamente. Por lo tanto, si deseamos evaluar la intensidad de una línea espectral tal como se observaría, realmente tenemos que evaluar 3(2ℓ′+ 1)(2ℓ+ 1) elementos de matriz, por ejemplo, 3×3×5 = 45 en una transición 3d → 2p. Esto es en realidad una exageración, como veremos, porque muchos de los elementos de matriz se anulan, pero aún quedan muchos elementos de matriz no nulos por calcular.

Se puede lograr una gran simplificación expresando los componentes de r, no con respecto a la base cartesiana, sino con respecto a la base esférica. Primero definimos,

$${\displaystyle r_{q}={\hat {\mathbf {e} }}_{q}\cdot \mathbf {r} }$$

A continuación, al inspeccionar una tabla de los Y _ℓm ′s, encontramos que para ℓ = 1 tenemos,

$${\displaystyle {\begin{aligned}rY_{11}(\theta ,\phi )&=&&-r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left(-{\frac {x+iy}{\sqrt {2}}}\right)\\rY_{10}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos(\theta )&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}z\\rY_{1-1}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{-i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left({\frac {x-iy}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$$