cálculo funcional de Borel

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , el cálculo funcional de Borel es un cálculo funcional (es decir, una asignación de operadores de álgebras conmutativas a funciones definidas en sus espectros ), que tiene un alcance particularmente amplio. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Así, por ejemplo, si T es un operador, al aplicar la función de elevación al cuadrado s → s ² a T se obtiene el operador T ² . Usando el cálculo funcional para clases más grandes de funciones, podemos, por ejemplo, definir rigurosamente la "raíz cuadrada" del operador laplaciano (negativo) −Δ o la exponencial${\displaystyle e^{it\Delta }.}$

El término «ámbito» aquí se refiere al tipo de función de un operador que está permitida. El cálculo funcional de Borel es más general que el cálculo funcional continuo , y su enfoque es diferente al del cálculo funcional holomorfo .

Más precisamente, el cálculo funcional de Borel permite aplicar una función de Borel arbitraria a un operador autoadjunto , de una manera que generaliza la aplicación de una función polinómica .

Si T es un operador autoadjunto en un espacio de producto interno de dimensión finita H , entonces H tiene una base ortonormal { e ₁ , ..., e _ℓ } que consiste en autovectores de T , es decir $${\displaystyle Te_{k}=\lambda _{k}e_{k},\qquad 1\leq k\leq \ell .}$$

Por lo tanto, para cualquier entero positivo n , $${\displaystyle T^{n}e_{k}=\lambda _ {k}^{n}e_{k}.}$$

Si solo se consideran polinomios en T , se obtiene el cálculo funcional holomorfo . La relación también se cumple para funciones más generales de T. Dada una función de Borel h , se puede definir un operador h ( T ) especificando su comportamiento en la base: $${\displaystyle h(T)e_{k}=h(\lambda _{k})e_{k}.}$$

En general, cualquier operador autoadjunto T es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación; esto significa que, para muchos propósitos, T puede considerarse como un operador que actúa sobre L ² de algún espacio de medida . El dominio de T consta de aquellas funciones cuya expresión anterior está en L ^2. En tal caso, se puede definir de forma análoga. $${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi (x)}$$$${\displaystyle [h(T)\psi ](x)=[h\circ f](x)\psi (x).}$$

Para muchos fines técnicos, la formulación anterior es suficiente. Sin embargo, es conveniente formular el cálculo funcional de manera que no dependa de la representación particular de T como operador de multiplicación. Eso es lo que haremos en la siguiente sección.

Formalmente, el cálculo funcional de Borel acotado de un operador autoadjunto T en un espacio de Hilbert H es una aplicación definida en el espacio de funciones de Borel acotadas de valores complejos f en la recta real, de tal manera que se cumplen las siguientes condiciones.$${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{T}:L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\\f\mapsto f(T)\end{cases}}}$$

• π _T es un homomorfismo que preserva la involución y la unidad del anillo de funciones medibles acotadas de valor complejo en R.
• Si ξ es un elemento de H , entonces es una medida numerablemente aditiva en los conjuntos de Borel E de R. En la fórmula anterior, 1 E _denota la función indicadora de E. Estas medidas ν _ξ se denominan medidas espectrales de T.$${\displaystyle \nu _{\xi }:E\mapsto \langle \pi _{T}(\mathbf {1} _{E})\xi ,\xi \rangle }$$
• Si η denota la aplicación z → z en C , entonces:$${\displaystyle \pi _{T}\left([\eta +i]^{-1}\right)=[T+i]^{-1}.}$$

Esto define el cálculo funcional para funciones acotadas aplicado a operadores autoadjuntos posiblemente no acotados . Utilizando el cálculo funcional acotado, se puede demostrar parte del teorema de Stone sobre grupos unitarios uniparamétricos :

Como aplicación, consideramos la ecuación de Schrödinger , o equivalentemente, la dinámica de un sistema mecánico cuántico. En mecánica cuántica no relativista , el operador hamiltoniano H modela la energía total observable de un sistema mecánico cuántico S. El grupo unitario generado por iH corresponde a la evolución temporal de S.

También podemos utilizar el cálculo funcional de Borel para resolver de forma abstracta algunos problemas lineales de valor inicial, como la ecuación del calor o las ecuaciones de Maxwell.

También podemos definir el cálculo funcional para funciones de Borel h que no necesariamente están acotadas ; el resultado es un operador que, en general, no está acotado. Utilizando el modelo de multiplicación por una función f de un operador autoadjunto dado por el teorema espectral, esto es una multiplicación por la composición de h con f .

El operador S del teorema anterior se denota h ( T ).

En términos más generales, también existe un cálculo funcional de Borel para operadores normales (acotados).

Sea un operador autoadjunto. Si es un subconjunto de Borel de R y es la función indicadora de E , entonces es una proyección autoadjunta sobre H. Entonces, la aplicación es una medida con valores de proyección . La medida de R con respecto a es el operador identidad sobre H. En otras palabras, el operador identidad puede expresarse como la integral espectral.${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {1} _{E}}$${\displaystyle \mathbf {1} _ {E}(T)}$$${\displaystyle \Omega _{T}:E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)}$$${\textstyle \Omega _{T}}$

${\displaystyle I=\Omega _{T}([-\infty ,\infty ])=\int _{-\infty }^{\infty }d\Omega _{T}}$.

La fórmula de Stone ^{[ 4 ]} expresa la medida espectral en términos de la resolvente :${\displaystyle \Omega _{T}}$${\displaystyle R_{T}(\lambda )\equiv \left(T-\lambda I\right)^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}\left[R_{T}(\lambda +i\epsilon ))-R_{T}(\lambda -i\epsilon )\right]\,d\lambda =\Omega _{T}((a,b))+{\frac {1}{2}}\left[\Omega _{T}(\{a\})+\Omega _{T}(\{b\})\right].}$

Dependiendo de la fuente, la resolución de la identidad se define, ya sea como una medida con valores de proyección , ^{[ 5 ]} o como una familia de un parámetro de medidas con valores de proyección con . ^{[ 6 ]}${\displaystyle \Omega _{T}}$${\displaystyle \{\Sigma _{\lambda }\}}$${\displaystyle -\infty <\lambda <\infty }$

En el caso de una medida discreta (en particular, cuando H es de dimensión finita), se puede escribir como en la notación de Dirac, donde cada es un vector propio normalizado de T. El conjunto es una base ortonormal de H.${\textstyle I=\int 1\,d\Omega _{T}}$$${\displaystyle I=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|}$$${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle \{|i\rangle \}}$

En la literatura física, utilizando lo anterior como heurística, se pasa al caso en que la medida espectral ya no es discreta y se escribe la resolución de la identidad como y se habla de una "base continua" o "continuo de estados base". Matemáticamente, a menos que se den justificaciones rigurosas, esta expresión es puramente formal.$${\displaystyle I=\int \!\!di~|i\rangle \langle i|}$$${\displaystyle \{|i\rangle \}}$