Matriz D de Wigner

La matriz D de Wigner es una matriz unitaria en una representación irreducible de los grupos SU(2) y SO(3) . Fue introducida en 1927 por Eugene Wigner y desempeña un papel fundamental en la teoría mecánica cuántica del momento angular. El conjugado complejo de la matriz D es una función propia del hamiltoniano de rotores rígidos esféricos y simétricos . La letra D significa Darstellung , que significa "representación" en alemán.

Sean J _x , J _y , J _z generadores del álgebra de Lie de SU(2) y SO(3). En mecánica cuántica , estos tres operadores son los componentes de un operador vectorial conocido como momento angular . Algunos ejemplos son el momento angular de un electrón en un átomo, el espín electrónico y el momento angular de un rotor rígido .

En todos los casos, los tres operadores satisfacen las siguientes relaciones de conmutación ,

${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},J_{z }]=iJ_{x},}$

donde i es el número puramente imaginario y la constante de Planck ħ se ha fijado en uno. El operador de Casimir

${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$

conmuta con todos los generadores del álgebra de Lie. Por lo tanto, puede diagonalizarse junto con J _z .

Esto define la base esférica utilizada aquí. Es decir, hay un conjunto completo de kets (es decir, una base ortonormal de vectores propios conjuntos etiquetados por números cuánticos que definen los valores propios) con

${\displaystyle J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,}$

donde j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... para SU(2), y j = 0, 1, 2, ... para SO(3). En ambos casos, m = − j , − j + 1, ..., j .

Un operador de rotación tridimensional se puede escribir como

${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i \gamma J_{z}},}$

donde α , β , γ son ángulos de Euler (caracterizados por las palabras clave: convención zyz, marco diestro, regla del tornillo diestro, interpretación activa).

La matriz D de Wigner es una matriz cuadrada unitaria de dimensión 2 j + 1 en esta base esférica con elementos

${\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\ rango =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\gamma },}$

dónde

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle =D_{m'm}^{j} (0,\beta,0)}$

es un elemento de la matriz d (pequeña) ortogonal de Wigner .

Es decir, sobre esta base,

${\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,0,0)=e^{-im'\alpha }\delta _{m'm}}$

es diagonal, como el factor de matriz γ , pero a diferencia del factor β anterior .

Wigner dio la siguiente expresión: ^[1]

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=[(j+m')!(jm')!(j+m)!(jm)!]^{\frac {1}{2}}\sum _{s=s_{\mathrm {mín} }}^{s_{\mathrm {máx} }}[{\frac {(-1)^{m'-m+s}(\cos {\frac {\beta }{2}})^{2j+mm'-2s}(\sin {\frac {\beta }{2}})^{m'-m+2s}}{(j+ms)!s!(m'-m+s)!(jm'-s)!}}].}$

La suma sobre s es sobre valores tales que los factoriales no son negativos, es decir , . ${\displaystyle s_{\mathrm {mín}}=\mathrm {máx} (0,mm')}$${\displaystyle s_{\mathrm {máx}}=\mathrm {mín} (j+m,jm')}$

Nota: Los elementos de la matriz d definidos aquí son reales. En la convención zxz de los ángulos de Euler , que se utiliza con frecuencia , el factor de esta fórmula se reemplaza por , lo que hace que la mitad de las funciones sean puramente imaginarias. La realidad de los elementos de la matriz d es una de las razones por las que la convención zyz, utilizada en este artículo, suele preferirse en aplicaciones de mecánica cuántica. ${\displaystyle (-1)^{m'-m+s}}$${\displaystyle (-1)^{s}i^{mm'},}$

Los elementos de la matriz d están relacionados con polinomios de Jacobi con no negativos y ^[2] Sea ${\displaystyle P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta )}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b.}$

${\displaystyle k=\min(j+m,jm,j+m',jm').}$

Si

${\displaystyle k={\begin{cases}j+m:&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\jm:&a=mm';\quad \lambda =0\\j+m':&a=mm';\quad \lambda =0\\jm':&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\\end{cases}}}$

Entonces, con la relación es ${\displaystyle b=2j-2k-a,}$

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=(-1)^{\lambda }{\binom {2j-k}{k+a}}^{\frac {1}{2}}{\binom {k+b}{b}}^{-{\frac {1}{2}}}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{a}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{b}P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta ),}$

dónde${\displaystyle a,b\geq 0.}$

También es útil considerar las relaciones , donde y , que conducen a: ${\displaystyle a=|m'-m|,b=|m'+m|,\lambda ={\frac {mm'-|mm'|}{2}},k=jM}$${\displaystyle M=\max(|m|,|m'|)}$${\displaystyle N=\min(|m|,|m'|)}$

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=(-1)^{\frac {mm'-|mm'|}{2}}[{\frac {(j+M)!(jM)!}{(j+N)!(jN)!}}]^{\frac {1}{2}}(\sin {\frac {\beta }{2}})^{|mm'|}(\cos {\frac {\beta }{2}})^{|m+m'|}P_{jM}^{(|mm'|,|m+m'|)}(\cos \beta ).}$

El conjugado complejo de la matriz D satisface una serie de propiedades diferenciales que pueden formularse de forma concisa introduciendo los siguientes operadores con${\displaystyle (x,y,z)=(1,2,3),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {J}}}_{1}&=i\left(\cos \alpha \cot \beta {\frac {\partial }{\partial \alpha }}+\sin \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\cos \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{2}&=i\left(\sin \alpha \cot \beta {\partial \over \partial \alpha }-\cos \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\sin \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{3}&=-i{\partial \over \partial \alpha }\end{aligned}}}$

que tienen un significado mecánico cuántico: son operadores de momento angular de rotor rígido fijo en el espacio .

Más,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {P}}}_{1}&=i\left({\cos \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\sin \gamma {\partial \over \partial \beta }-\cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{2}&=i\left(-{\sin \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\cos \gamma {\partial \over \partial \beta }+\cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{3}&=-i{\partial \over \partial \gamma },\\\end{aligned}}}$

que tienen un significado mecánico cuántico: son operadores de momento angular de rotor rígido fijo al cuerpo .

Los operadores satisfacen las relaciones de conmutación.

${\displaystyle \left[{\mathcal {J}}_{1},{\mathcal {J}}_{2}\right]=i{\mathcal {J}}_{3},\qquad {\hbox{and}}\qquad \left[{\mathcal {P}}_{1},{\mathcal {P}}_{2}\right]=-i{\mathcal {P}}_{3},}$

y las relaciones correspondientes con los índices permutados cíclicamente. Satisfacen relaciones de conmutación anómalas (tienen un signo menos en el lado derecho). ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$

Los dos conjuntos se conmutan mutuamente,

${\displaystyle \left[{\mathcal {P}}_{i},{\mathcal {J}}_{j}\right]=0,\quad i,j=1,2,3,}$

y los operadores totales al cuadrado son iguales,

${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}\equiv {\mathcal {J}}_{1}^{2}+{\mathcal {J}}_{2}^{2}+{\mathcal {J}}_{3}^{2}={\mathcal {P}}^{2}\equiv {\mathcal {P}}_{1}^{2}+{\mathcal {P}}_{2}^{2}+{\mathcal {P}}_{3}^{2}.}$

Su forma explícita es,

${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}={\mathcal {P}}^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}\beta }}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \gamma ^{2}}}-2\cos \beta {\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \gamma }}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}-\cot \beta {\frac {\partial }{\partial \beta }}.}$

Los operadores actúan sobre el primer índice (fila) de la matriz D, ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}&=m'D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\\({\mathcal {J}}_{1}\pm i{\mathcal {J}}_{2})D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}&={\sqrt {j(j+1)-m'(m'\pm 1)}}D_{m'\pm 1,m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\end{aligned}}}$

Los operadores actúan sobre el segundo índice (columna) de la matriz D, ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=mD_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*},}$

y, debido a la relación de conmutación anómala, los operadores de elevación/descenso se definen con signos invertidos,

${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{1}\mp i{\mathcal {P}}_{2})D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}D_{m',m\pm 1}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}$

Finalmente,

${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\mathcal {P}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=j(j+1)D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}$

En otras palabras, las filas y columnas de la matriz D de Wigner (conjugada compleja) abarcan representaciones irreducibles de las álgebras de Lie isomorfas generadas por y . ${\displaystyle \{{\mathcal {J}}_{i}\}}$${\displaystyle \{-{\mathcal {P}}_{i}\}}$

Una propiedad importante de la matriz D de Wigner se desprende de la conmutación de con el operador de inversión temporal T , ${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$

${\displaystyle \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =\langle jm'|T^{\dagger }{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )T|jm\rangle =(-1)^{m'-m}\langle j,-m'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|j,-m\rangle ^{*},}$

o

${\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=(-1)^{m'-m}D_{-m',-m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}$

Aquí, usamos que es antiunitario (de ahí la conjugación compleja después de pasar de ket a bra), y . ${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{\dagger }}$${\displaystyle T|jm\rangle =(-1)^{j-m}|j,-m\rangle }$${\displaystyle (-1)^{2j-m'-m}=(-1)^{m'-m}}$

Una simetría adicional implica

${\displaystyle (-1)^{m'-m}D_{mm'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=D_{m'm}^{j}(\gamma ,\beta ,\alpha )~.}$

Los elementos de la matriz D de Wigner forman un conjunto de funciones ortogonales de los ángulos de Euler y : ${\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }d\beta \sin \beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,\,D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{\ast }D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {8\pi ^{2}}{2j+1}}\delta _{m'm}\delta _{k'k}\delta _{j'j}.}$

Este es un caso especial de las relaciones de ortogonalidad de Schur .

De manera crucial, mediante el teorema de Peter-Weyl , forman además un conjunto completo .

El hecho de que sean elementos matriciales de una transformación unitaria de una base esférica a otra está representado por las relaciones: ^[3]${\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle |lm\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|lm\rangle }$

${\displaystyle \sum _{k}D_{m'k}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\delta _{m,m'},}$

${\displaystyle \sum _{k}D_{km'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{km}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\delta _{m,m'}.}$

Los caracteres de grupo para SU(2) sólo dependen del ángulo de rotación β , siendo funciones de clase , por lo que, entonces, independientemente de los ejes de rotación,

${\displaystyle \chi ^{j}(\beta )\equiv \sum _{m}D_{mm}^{j}(\beta )=\sum _{m}d_{mm}^{j}(\beta )={\frac {\sin \left({\frac {(2j+1)\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)}},}$

y en consecuencia satisfacen relaciones de ortogonalidad más simples, a través de la medida de Haar del grupo, ^[4]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\beta \sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)\chi ^{j}(\beta )\chi ^{j'}(\beta )=\delta _{j'j}.}$

La relación de completitud (elaborada en la misma referencia, (3.95)) es

${\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\beta )\chi ^{j}(\beta ')=\delta (\beta -\beta '),}$

de donde, para${\displaystyle \beta '=0,}$

${\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\beta )(2j+1)=\delta (\beta ).}$

El conjunto de matrices de productos de Kronecker

${\displaystyle \mathbf {D} ^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\otimes \mathbf {D} ^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$

forma una representación matricial reducible de los grupos SO(3) y SU(2). La reducción a componentes irreducibles se realiza mediante la siguiente ecuación: ^[3]

${\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{J=|j-j'|}^{j+j'}\langle jmj'm'|J\left(m+m'\right)\rangle \langle jkj'k'|J\left(k+k'\right)\rangle D_{\left(m+m'\right)\left(k+k'\right)}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$

El símbolo es un coeficiente de Clebsch-Gordan . ${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle }$

Para valores enteros de , los elementos de la matriz D con segundo índice igual a cero son proporcionales a los armónicos esféricos y polinomios de Legendre asociados , normalizados a la unidad y con la convención de fase de Condon y Shortley: ${\displaystyle l}$

${\displaystyle D_{m0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )={\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell }^{m*}(\beta ,\alpha )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta })\,e^{-im\alpha }.}$

Esto implica la siguiente relación para la matriz d:

${\displaystyle d_{m0}^{\ell }(\beta )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta }).}$

Una rotación de armónicos esféricos es entonces efectivamente una composición de dos rotaciones, ${\displaystyle \langle \theta ,\phi |\ell m'\rangle }$

${\displaystyle \sum _{m'=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m'}(\theta ,\phi )~D_{m'~m}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma ).}$

Cuando ambos índices se establecen en cero, los elementos de la matriz D de Wigner se dan mediante polinomios de Legendre ordinarios :

${\displaystyle D_{0,0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )=d_{0,0}^{\ell }(\beta )=P_{\ell }(\cos \beta ).}$

En la convención actual de ángulos de Euler, es un ángulo longitudinal y es un ángulo colatitudinal (ángulos polares esféricos en la definición física de tales ángulos). Esta es una de las razones por las que la convención z - y - z se utiliza con frecuencia en física molecular. De la propiedad de inversión temporal de la matriz D de Wigner se deduce inmediatamente ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \left(Y_{\ell }^{m}\right)^{*}=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}.}$

Existe una relación más general con los armónicos esféricos ponderados por espín :

${\displaystyle D_{ms}^{\ell }(\alpha ,\beta ,-\gamma )=(-1)^{s}{\sqrt {\frac {4\pi }{2{\ell }+1}}}{}_{s}Y_{\ell }^{m}(\beta ,\alpha )e^{is\gamma }.}$^[5]

El cuadrado absoluto de un elemento de la matriz D,

${\displaystyle F_{mm'}(\beta )=|D_{mm'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )|^{2},}$

da la probabilidad de que un sistema con espín preparado en un estado con proyección de espín a lo largo de alguna dirección tenga una proyección de espín a lo largo de una segunda dirección en un ángulo con respecto a la primera dirección. El conjunto de cantidades forma en sí mismo una matriz simétrica real, que depende únicamente del ángulo de Euler , como se indica. ${\displaystyle j}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m'}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle F_{mm'}}$${\displaystyle \beta }$

Sorprendentemente, el problema del valor propio de la matriz se puede resolver por completo: ^{[6] [7]}${\displaystyle F}$

${\displaystyle \sum _{m'=-j}^{j}F_{mm'}(\beta )f_{\ell }^{j}(m')=P_{\ell }(\cos \beta )f_{\ell }^{j}(m)\qquad (\ell =0,1,\ldots ,2j).}$

Aquí, el vector propio, , es un polinomio de Chebyshev discreto escalado y desplazado , y el valor propio correspondiente, , es el polinomio de Legendre. ${\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)}$${\displaystyle P_{\ell }(\cos \beta )}$

En el límite cuando tenemos ${\displaystyle \ell \gg m,m^{\prime }}$

${\displaystyle D_{mm'}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )\approx e^{-im\alpha -im'\gamma }J_{m-m'}(\ell \beta )}$

donde es la función de Bessel y es finito. ${\displaystyle J_{m-m'}(\ell \beta )}$${\displaystyle \ell \beta }$

Utilizando la convención de signos de Wigner et al., los elementos de la matriz d para j = 1/2, 1, 3/2 y 2 se dan a continuación. ${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\theta )}$

Para j = 1/2

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=-\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$

Para j = 1

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1,1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\\[6pt]d_{1,0}^{1}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin \theta \\[6pt]d_{1,-1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\\[6pt]d_{0,0}^{1}&=\cos \theta \end{aligned}}}$

Para j = 3/2

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(1+\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}(1-\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(3\cos \theta -1)\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(3\cos \theta +1)\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$

Para j = 2 ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{2,2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{2,1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,0}^{2}&={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta \\[6pt]d_{2,-1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,-2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{1,1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)\\[6pt]d_{1,0}^{2}&=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta \\[6pt]d_{1,-1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)\\[6pt]d_{0,0}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)\end{aligned}}}$

Los elementos de la matriz d de Wigner con índices inferiores intercambiados se encuentran con la relación:

${\displaystyle d_{m',m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,m'}^{j}=d_{-m,-m'}^{j}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{m',m}^{j}(\pi )&=(-1)^{j-m}\delta _{m',-m}\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi -\beta )&=(-1)^{j+m'}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi +\beta )&=(-1)^{j-m}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(2\pi +\beta )&=(-1)^{2j}d_{m',m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(-\beta )&=d_{m,m'}^{j}(\beta )=(-1)^{m'-m}d_{m',m}^{j}(\beta )\end{aligned}}}$

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Operador tensorial
• Simetrías en la mecánica cuántica

• Amsler, C.; et al. (Particle Data Group) (2008). "Tabla PDG de coeficientes de Clebsch-Gordan, armónicos esféricos y funciones d" (PDF) . Physics Letters B667 .