Polinomios de Legendre asociados

En matemáticas , los polinomios de Legendre asociados son las soluciones canónicas de la ecuación general de Legendre.

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

o equivalentemente

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}[\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)\right]+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

donde los índices ℓ y m (que son números enteros) se denominan grado y orden del polinomio de Legendre asociado respectivamente. Esta ecuación tiene soluciones distintas de cero que no son singulares en [−1, 1] solo si ℓ y m son números enteros con 0 ≤ m ≤ ℓ , o con valores negativos trivialmente equivalentes. Cuando además m es par, la función es un polinomio . Cuando m es cero y ℓ entero, estas funciones son idénticas a los polinomios de Legendre . En general, cuando ℓ y m son números enteros, las soluciones regulares a veces se denominan "polinomios de Legendre asociados", aunque no sean polinomios cuando m es impar. La clase completamente general de funciones con valores reales o complejos arbitrarios de ℓ y m son funciones de Legendre . En ese caso, los parámetros suelen etiquetarse con letras griegas.

La ecuación diferencial ordinaria de Legendre se encuentra con frecuencia en física y otros campos técnicos. En particular, se presenta al resolver la ecuación de Laplace (y ecuaciones diferenciales parciales relacionadas ) en coordenadas esféricas . Los polinomios de Legendre asociados desempeñan un papel vital en la definición de armónicos esféricos .

Estas funciones se denotan como , donde el superíndice indica el orden y no una potencia de P . Su definición más directa es en términos de derivadas de polinomios de Legendre ordinarios ( m ≥ 0) ${\displaystyle P_{\ell}^{m}(x)}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right),}$$

El factor (−1) ^m en esta fórmula se conoce como fase de Condon–Shortley . Algunos autores lo omiten. Que las funciones descritas por esta ecuación satisfacen la ecuación diferencial general de Legendre con los valores indicados de los parámetros ℓ y m se deduce derivando m por la ecuación de Legendre para P _ℓ : ^[1] $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$$

Además, dado que según la fórmula de Rodrigues , la P$${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}$$^metro
_​se puede expresar en la forma $${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2}) ^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}$$

Esta ecuación permite extender el rango de m a: − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Las definiciones de P _ℓ ^{± m} , resultantes de esta expresión por sustitución de ± m , son proporcionales. De hecho, igualamos los coeficientes de potencias iguales en el lado izquierdo y derecho de entonces se deduce que la constante de proporcionalidad es tal que $${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x ^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$$$${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$$$${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ ell }^{m}(x).}$$

Las siguientes notaciones alternativas también se utilizan en la literatura: ^[2] $${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

El polinomio de Legendre asociado también se puede escribir como: ^{[ cita requerida ]} con monomios simples y la forma generalizada del coeficiente binomial . $${\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}\cdot 2^{l}\cdot (1-x^{2})^{m/2}\cdot \sum _{k=m}^{l}{\frac {k!}{(km)!}}\cdot x^{km}\cdot {\binom {l}{k}}{\binom {\frac {l+k-1}{2}}{l}}}$$

Los polinomios de Legendre asociados no son ortogonales entre sí en general. Por ejemplo, no es ortogonal a . Sin embargo, algunos subconjuntos sí lo son. Suponiendo que 0 ≤  m  ≤  ℓ , satisfacen la condición de ortogonalidad para m fijo : $Estilo de visualización P_{1}^{1}}$$Estilo de visualización P_{2}^{2}}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _ {k,\ell }}$$

Donde δ _{k , ℓ} es el delta de Kronecker .

Además, satisfacen la condición de ortogonalidad para ℓ fijo :

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\text{si }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{si }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{si }}m=n=0\end{cases}}}$$

La ecuación diferencial es claramente invariante bajo un cambio de signo de m .

Se demostró anteriormente que las funciones para m negativo son proporcionales a las de m positivo : $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^ {metro}}$$

(Esto se desprende de la definición de la fórmula de Rodrigues. Esta definición también hace que las diversas fórmulas de recurrencia funcionen para m positivo o negativo ). $${\displaystyle {\text{Si}}\quad |m|>\ell \,\quad {\text{entonces}}\quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$$

La ecuación diferencial también es invariante bajo un cambio de ℓ a − ℓ − 1 , y las funciones para ℓ negativo están definidas por

$${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,\dots ).}$$

A partir de su definición, se puede verificar que las funciones de Legendre asociadas son pares o impares según

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell -m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

Las primeras funciones de Legendre asociadas, incluidas aquellas para valores negativos de m , son:

$$Estilo de visualización P_{0}^{0}(x)=1}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\P_{1}^{0}(x)&=x\\P_{1}^{1}(x)&=-(1-x^{2})^{1/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\P_{2}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\P_{2}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\P_{2}^{1}(x)&=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\P_{2}^{2}(x)&=3(1-x^{2})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\P_{3}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\P_{3}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\P_{3}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\P_{3}^{1}(x)&={\tfrac {3}{2}}(1-5x^{2})(1-x^{2})^{1/2}\\P_{3}^{2}(x)&=15x(1-x^{2})\\P_{3}^{3}(x)&=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}^{-4}(x)&={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\P_{4}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\P_{4}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\P_{4}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\P_{4}^{0}(x)&={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\P_{4}^{1}(x)&=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\P_{4}^{2}(x)&={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\P_{4}^{3}(x)&=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\P_{4}^{4}(x)&=105(1-x^{2})^{2}\end{aligned}}}$$

Estas funciones tienen una serie de propiedades de recurrencia:

$${\displaystyle (\ell -m-1)(\ell -m)P_{\ell }^{m}(x)=-P_{\ell }^{m+2}(x)+P_{\ell -2}^{m+2}(x)+(\ell +m)(\ell +m-1)P_{\ell -2}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)-P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

Identidades útiles (valores iniciales para la primera recursión):

$${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$$ $${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}}$$ $${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$$

con !! el doble factorial .

La integral sobre el producto de tres polinomios de Legendre asociados (con órdenes coincidentes como se muestra a continuación) es un ingrediente necesario cuando se desarrollan productos de polinomios de Legendre en una serie lineal en los polinomios de Legendre. Por ejemplo, esto resulta necesario cuando se realizan cálculos atómicos de la variedad Hartree-Fock donde se necesitan elementos matriciales del operador de Coulomb . Para esto tenemos la fórmula de Gaunt ^[3] Esta fórmula se debe utilizar bajo los siguientes supuestos: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l}^{u}(x)P_{m}^{v}(x)P_{n}^{w}(x)dx={}&{}(-1)^{s-m-w}{\frac {(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}}\\&{}\times \ \sum _{t=p}^{q}(-1)^{t}{\frac {(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}}\end{aligned}}}$$

1. Los grados son números enteros no negativos.${\displaystyle l,m,n\geq 0}$
2. Los tres órdenes son números enteros no negativos.${\displaystyle u,v,w\geq 0}$
3. ${\displaystyle u}$es el más grande de los tres órdenes
4. Los pedidos se resumen${\displaystyle u=v+w}$
5. Los grados obedecen${\displaystyle m\geq n}$

Otras cantidades que aparecen en la fórmula se definen como $${\displaystyle 2s=l+m+n}$$ $${\displaystyle p=\max(0,\,n-m-u)}$$ $${\displaystyle q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$$

La integral es cero a menos que

1. La suma de los grados es par, por lo que es un entero.${\displaystyle s}$
2. Se cumple la condición triangular${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$

Dong y Lemus (2002) ^[4] generalizaron la derivación de esta fórmula a integrales sobre un producto de un número arbitrario de polinomios de Legendre asociados.

Estas funciones en realidad pueden definirse para parámetros y argumentos complejos generales:

$${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}})}$$

¿Dónde está la función gamma y es la función hipergeométrica?${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle _{2}F_{1}}$

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}$$

Se denominan funciones de Legendre cuando se definen de esta manera más general. Satisfacen la misma ecuación diferencial que antes:

$${\displaystyle (1-z^{2})\,y''-2zy'+\left(\lambda [\lambda +1]-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right)\,y=0.\,}$$

Dado que ésta es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene una segunda solución, , definida como: ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

$${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$$

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)}$y ambos obedecen las diversas fórmulas de recurrencia dadas anteriormente. ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

Estas funciones son más útiles cuando el argumento se reparametriza en términos de ángulos, siendo : ${\displaystyle x=\cos \theta }$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)}$$

Usando la relación , la lista dada arriba produce los primeros polinomios, parametrizados de esta manera, como: ${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$$

Las relaciones de ortogonalidad dadas anteriormente se convierten en esta formulación: para m fijo , son ortogonales, parametrizadas por θ sobre , con peso : ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle [0,\pi ]}$${\displaystyle \sin \theta }$

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

Además, para ℓ fijo :

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

En términos de θ, son soluciones de ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

Más precisamente, dado un entero m 0, la ecuación anterior tiene soluciones no singulares solo cuando para ℓ un entero ≥  m , y esas soluciones son proporcionales a . ${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

En muchas ocasiones, en física , se producen polinomios de Legendre asociados en términos de ángulos en los que interviene la simetría esférica . El ángulo de colatitud en coordenadas esféricas es el ángulo utilizado anteriormente. El ángulo de longitud, , aparece en un factor multiplicador. Juntos, forman un conjunto de funciones llamadas armónicos esféricos . Estas funciones expresan la simetría de la biesfera bajo la acción del grupo de Lie SO(3). ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

Lo que hace que estas funciones sean útiles es que son fundamentales para la solución de la ecuación en la superficie de una esfera. En las coordenadas esféricas θ (colatitud) y φ (longitud), el laplaciano es ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.}$$

Cuando la ecuación diferencial parcial

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$$

se resuelve por el método de separación de variables , se obtiene una parte dependiente de φ o para el entero m≥0, y una ecuación para la parte dependiente de θ ${\displaystyle \sin(m\phi )}$${\displaystyle \cos(m\phi )}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

para lo cual las soluciones son con y . ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle \ell {\geq }m}$${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

Por lo tanto, la ecuación

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$$

tiene soluciones separadas no singulares solo cuando , y esas soluciones son proporcionales a ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell }$$

y

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .}$$

Para cada opción de ℓ , existen 2ℓ + 1 funciones para los distintos valores de m y opciones de seno y coseno. Todas son ortogonales tanto en ℓ como en m cuando se integran sobre la superficie de la esfera.

Las soluciones generalmente se escriben en términos de exponenciales complejos :

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$$ Las funciones son los armónicos esféricos y la cantidad en la raíz cuadrada es un factor normalizador. Recordando la relación entre las funciones de Legendre asociadas de m positivo y negativo , se demuestra fácilmente que los armónicos esféricos satisfacen la identidad ^[5]${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi ).}$$

Las funciones armónicas esféricas forman un conjunto completo de funciones ortonormales en el sentido de las series de Fourier . Los expertos en geodesia, geomagnetismo y análisis espectral utilizan una fase y un factor de normalización diferentes a los que se dan aquí (véase armónicos esféricos ).

Cuando se resuelve una ecuación diferencial parcial esféricamente simétrica tridimensional mediante el método de separación de variables en coordenadas esféricas, la parte que queda después de eliminar la parte radial suele tener la forma

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\theta ,\phi )+\lambda \psi (\theta ,\phi )=0,}$$

y por lo tanto las soluciones son armónicos esféricos.

Los polinomios de Legendre están estrechamente relacionados con las series hipergeométricas . En forma de armónicos esféricos, expresan la simetría de la biesfera bajo la acción del grupo de Lie SO(3). Hay muchos otros grupos de Lie además de SO(3), y existen generalizaciones análogas de los polinomios de Legendre para expresar las simetrías de los grupos de Lie semisimples y los espacios simétricos de Riemann . En términos generales, se puede definir un laplaciano en espacios simétricos; las funciones propias del laplaciano se pueden considerar como generalizaciones de los armónicos esféricos a otros entornos.

• Momento angular
• Cuadratura gaussiana
• Polinomios de Legendre
• Armónicos esféricos
• Transformación de Whipple de las funciones de Legendre
• Polinomios de Laguerre
• Polinomios de Hermite

• Arfken, GB; Weber, HJ (2001), Métodos matemáticos para físicos , Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0; Sección 12.5. (Utiliza una convención de signos diferente).
• Belousov, SL (1962), Tablas de polinomios de Legendre asociados normalizados , Tablas matemáticas, vol. 18, Pergamon Press.
• Condon, EU; Shortley, GH (1970), La teoría de los espectros atómicos , Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, OCLC  5388084; Capítulo 3.
• Courant, Richard ; Hilbert, David (1953), Métodos de física matemática, Volumen 1 , Nueva York: Interscience Publischer, Inc.
• Dunster, TM (2010), "Legendre y funciones relacionadas", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Edmonds, AR (1957), Momento angular en mecánica cuántica , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07912-7; Capítulo 2.
• Hildebrand, FB (1976), Cálculo avanzado para aplicaciones , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-011189-0.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Schach, SR (1973) Nuevas identidades para funciones asociadas de Legendre de orden integral y grado , Revista de análisis matemático de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 1976, vol. 7, n.º 1: págs. 59-69

• Polinomios de Legendre asociados en MathWorld
• Polinomios de Legendre en MathWorld
• Legendre y funciones relacionadas en DLMF