Función sublineal

En álgebra lineal , una función sublineal (o funcional , como se usa más comúnmente en análisis funcional ), también llamada cuasi-seminorma , en un espacio vectorial es una función con valores reales que posee algunas de las propiedades de una seminorma . A diferencia de las seminormas, una función sublineal no tiene por qué tener valores no negativos ni ser absolutamente homogénea . Las seminormas son abstracciones de la noción más conocida de normas , donde una seminorma posee todas las propiedades definitorias de una norma, excepto que no requiere que los vectores distintos de cero se asignen a valores distintos de cero.

En análisis funcional, a veces se utiliza el nombre de funcional de Banach , lo que refleja que se usan con mayor frecuencia al aplicar una formulación general del teorema de Hahn-Banach . La noción de función sublineal fue introducida por Stefan Banach cuando demostró el teorema de Hahn-Banach . ^{[ 1 ]}

En informática , también existe otro concepto , descrito a continuación, que se conoce como "función sublineal".

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial sobre un campo${\displaystyle \mathbb {K} ,}$dónde${\displaystyle \mathbb {K} }$son los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$o números complejos${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Una función${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$ se llama unsublineal si tiene estas dos propiedades: ^{[ 1 ]}

1. Homogeneidad positiva , ^{[ 2 ]} es decir${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$, para todos${\displaystyle r\geq 0}$y ${\displaystyle x\in X}$.
2. Subaditividad , ^{[ 2 ]} es decir${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$para${\displaystyle x,y\in X.}$

Una función${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$se llamapositivo ^{[ 3 ]} ono negativo si${\displaystyle p(x)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle x\in X,}$aunque algunos autores ^{[ 4 ]} definenpositivo en lugar de significar que${\displaystyle p(x)\neq 0}$cuando sea${\displaystyle x\neq 0;}$Estas definiciones no son equivalentes. Es unafunción simétrica si${\displaystyle p(-x)=p(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$ Toda función simétrica subaditiva es necesariamente no negativa. ^{[ prueba 1 ]} Una función sublineal en un espacio vectorial real es simétrica si y solo si es una seminorma . Una función sublineal en un espacio vectorial real o complejo es una seminorma si y solo si es una función balanceada o, equivalentemente, si y solo si${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$para cada escalar de longitud unitaria${\displaystyle u}$y${\displaystyle x\in X.}$

El conjunto de todas las funciones sublineales en${\displaystyle X,}$denotado por${\displaystyle X^{\#},}$puede ordenarse parcialmente declarando${\displaystyle p\leq q}$si y solo si${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$ Una función sublineal se llama mínima si es un elemento mínimo de${\displaystyle X^{\#}}$bajo este orden. Una función sublineal es mínima si y solo si es un funcional lineal real . ^{[ 1 ]}

Cada norma , seminorma y funcional lineal real es una función sublineal. La función identidad en${\displaystyle \mathbb {R} }$es un ejemplo de una función sublineal (de hecho, es incluso un funcional lineal) que no es ni positiva ni una seminorma; lo mismo ocurre con la negación de esta aplicación.${\displaystyle x\mapsto -x.}$^{[ 5 ]} De manera más general, para cualquier real${\displaystyle a\leq b,}$el mapa

${\displaystyle S_{a,b}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\begin{cases}ax,&{\text{si }}x\leq 0,\\bx,&{\text{si }}x\geq 0\end{cases}}}$

es una función sublineal en${\displaystyle \mathbb {R} }$y además, toda función sublineal${\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$es de esta forma; específicamente, si${\displaystyle a=-p(-1)}$y${\displaystyle b=p(1)}$entonces${\displaystyle a\leq b}$y${\displaystyle p=S_{a,b}.}$

Si${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son funciones sublineales en un espacio vectorial real${\displaystyle X}$Entonces, el mapa también lo es.${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$En términos más generales, si${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es cualquier colección no vacía de funcionales sublineales en un espacio vectorial real${\displaystyle X}$y si para todos${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle q(x)=\sup\{p(x)\,;\,p\in {\mathcal {P}}\},}$entonces${\displaystyle q}$es un funcional sublineal en${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]}

Una función${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$que es subaditivo , convexo y satisface${\displaystyle p(0)\leq 0}$también es positivamente homogéneo (esta última condición)${\displaystyle p(0)\leq 0}$es necesario como ejemplo de${\displaystyle p(x)={\sqrt {x^{2}+1}}}$en${\displaystyle X=\mathbb {R} }$muestra). Si${\displaystyle p}$es positivamente homogénea, es convexa si y solo si es subaditiva. Por lo tanto, suponiendo${\displaystyle p(0)\leq 0}$, cualesquiera dos propiedades entre subaditividad, convexidad y homogeneidad positiva implican la tercera.

Toda función sublineal es una función convexa : Para${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ subadditivity}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ nonnegative homogeneity}}\\\end{alignedat}}}$$

Si${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$es una función sublineal en un espacio vectorial${\displaystyle X}$entonces ^{[ prueba 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),}$$ por cada${\displaystyle x\in X,}$lo que implica que al menos uno de${\displaystyle p(x)}$y${\displaystyle p(-x)}$debe ser no negativo; es decir, para cada${\displaystyle x\in X,}$^{[ 3 ]}$${\displaystyle 0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.}$$ Además, cuando${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$Si es una función sublineal en un espacio vectorial real, entonces el mapa${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$es una semirroma. ^{[ 3 ]}

Subaditividad de${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$garantiza que para todos los vectores${\displaystyle x,y\in X,}$^{[ 1 ] [ prueba 3 ]}$${\displaystyle p(x)-p(y)~\leq ~p(x-y),}$$$${\displaystyle -p(x)~\leq ~p(-x),}$$ entonces si${\displaystyle p}$Si también es simétrico , entonces la desigualdad triangular inversa se cumplirá para todos los vectores.${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle |p(x)-p(y)|~\leq ~p(x-y).}$$

Definición${\displaystyle \ker p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~p^{-1}(0),}$entonces la subaditividad también garantiza que para todos${\displaystyle x\in X,}$el valor de${\displaystyle p}$en el set${\displaystyle x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}}$es constante e igual a${\displaystyle p(x).}$^{[ prueba 4 ]} En particular, si${\displaystyle \ker p=p^{-1}(0)}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle -\ker p=\ker p}$y la tarea${\displaystyle x+\ker p\mapsto p(x),}$que se denotará por${\displaystyle {\hat {p}},}$es una función sublineal de valor real bien definida en el espacio cociente${\displaystyle X\,/\,\ker p}$que satisface${\displaystyle {\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.}$Si${\displaystyle p}$entonces es una semirroma${\displaystyle {\hat {p}}}$es simplemente la norma canónica habitual en el espacio cociente${\displaystyle X\,/\,\ker p.}$

Agregar${\displaystyle bc}$a ambos lados de la hipótesis${\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}$(dónde${\displaystyle p(x+aK)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p(x+ak):k\in K\}}$) y combinando eso con la conclusión se obtiene $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~\inf _{}p(x+aK)+bc~\leq ~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{}p(x+a\mathbf {z} +bK)}$$ lo que genera muchas más desigualdades, incluyendo, por ejemplo, $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~p(x+a\mathbf {z} +b\mathbf {z} )}$$ en la que una expresión en un lado de una desigualdad estricta${\displaystyle \,<\,}$se puede obtener del otro reemplazando el símbolo${\displaystyle c}$con${\displaystyle \mathbf {z} }$(o viceversa) y moviendo el paréntesis de cierre a la derecha (o a la izquierda) de un sumando adyacente (todos los demás símbolos permanecen fijos e inalterados).

El concepto puede extenderse a operadores homogéneos y subaditivos. Para que las condiciones tengan sentido, basta con que el codominio sea, por ejemplo, un espacio vectorial ordenado .

En ciencias de la computación , una función${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }$se denomina sublineal si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$o${\displaystyle f(n)\in o(n)}$en notación asintótica (nótese el pequeño${\displaystyle o}$). Formalmente,${\displaystyle f(n)\in o(n)}$si y solo si, para cualquier dado${\displaystyle c>0,}$existe un${\displaystyle N}$de tal manera que${\displaystyle f(n)<cn}$para${\displaystyle n\geq N.}$^{[ 8 ]} Es decir,${\displaystyle f}$crece más lentamente que cualquier función lineal. No deben confundirse los dos significados: mientras que un funcional de Banach es convexo , casi lo contrario es cierto para las funciones de crecimiento sublineal: toda función${\displaystyle f(n)\in o(n)}$puede estar acotada superiormente por una función cóncava de crecimiento sublineal. ^{[ 9 ]}

• Norma asimétrica : generalización del concepto de norma. 
• Espacio auxiliar normalizado
• Teorema de Hahn-Banach – Teorema sobre la extensión de funcionales lineales acotados Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 
• Funcional lineal : aplicación lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección. 
• Funcional Minkowski – Función hecha de un conjunto 
• Norma (matemáticas) – Longitud en un espacio vectorial 
• Seminorma – Función matemática 
• Superaditividad – Propiedad de una función 

Pruebas

• Kubrusly, Carlos S. (2011). Elementos de la teoría de operadores (Segunda  edición). Boston: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2OCLC 710154895​​ 
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 .​