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Ecuación diferencial estocástica

Una ecuación diferencial estocástica ( EDE ) es una ecuación diferencial en la que uno o más términos son un proceso estocástico , [ 1 ] lo que resulta en una solución que tambi...

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Una ecuación diferencial estocástica ( EDE ) es una ecuación diferencial en la que uno o más términos son un proceso estocástico , [ 1 ] lo que resulta en una solución que también es un proceso estocástico. Las EDE tienen muchas aplicaciones en las matemáticas puras y se utilizan para modelar diversos comportamientos de modelos estocásticos, como los precios de las acciones de empresas cotizadas, [ 2 ] modelos de crecimiento aleatorio [ 3 ] o sistemas físicos que están sujetos a fluctuaciones térmicas .

Las EDE tienen una diferencial aleatoria que, en el caso más básico, es ruido blanco aleatorio calculado como la derivada distribucional de un movimiento browniano o, más generalmente, de una semimartingala . Sin embargo, son posibles otros tipos de comportamiento aleatorio, como procesos de salto , por ejemplo, procesos de Lévy [ 4 ] o semimartingalas con saltos.

En general, las ecuaciones diferenciales estocásticas no son ni ecuaciones diferenciales ni ecuaciones diferenciales aleatorias . Las ecuaciones diferenciales aleatorias son conjugadas a las ecuaciones diferenciales estocásticas. Las ecuaciones diferenciales estocásticas también pueden extenderse a variedades diferenciales . [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

Fondo

Las ecuaciones diferenciales estocásticas se originaron en la teoría del movimiento browniano , en el trabajo de Albert Einstein y Marian Smoluchowski en 1905, aunque Louis Bachelier fue el primero en modelar el movimiento browniano en 1900, proporcionando un ejemplo muy temprano de una ecuación diferencial estocástica, ahora conocida como modelo de Bachelier . Algunos de estos primeros ejemplos fueron ecuaciones diferenciales estocásticas lineales, también llamadas ecuaciones de Langevin en honor al físico francés Langevin , que describen el movimiento de un oscilador armónico sometido a una fuerza aleatoria. La teoría matemática de las ecuaciones diferenciales estocásticas se desarrolló en la década de 1940 gracias al trabajo pionero del matemático japonés Kiyosi Itô , quien introdujo el concepto de integral estocástica e inició el estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas no lineales. Posteriormente, el físico ruso Stratonovich propuso otro enfoque , que condujo a un cálculo similar al cálculo ordinario.

Terminología

La forma más común de EDE en la literatura es una ecuación diferencial ordinaria con el lado derecho perturbado por un término que depende de una variable de ruido blanco . En la mayoría de los casos, las EDE se entienden como el límite de tiempo continuo de las ecuaciones de diferencias estocásticas correspondientes . Esta comprensión de las EDE es ambigua y debe complementarse con una definición matemática adecuada de la integral correspondiente. [ 1 ] [ 3 ] Dicha definición matemática fue propuesta por primera vez por Kiyosi Itô en la década de 1940, dando lugar a lo que hoy se conoce como el cálculo de Itô . Posteriormente, el físico ruso Stratonovich propuso otra construcción , dando lugar a lo que se conoce como la integral de Stratonovich . La integral de Itô y la integral de Stratonovich son objetos relacionados, pero diferentes, y la elección entre ellas depende de la aplicación considerada. El cálculo de Itô se basa en el concepto de no anticipación o causalidad, que es natural en aplicaciones donde la variable es el tiempo. Por otro lado, el cálculo de Stratonovich tiene reglas que se asemejan al cálculo ordinario y posee propiedades geométricas intrínsecas que lo hacen más natural al tratar problemas geométricos como el movimiento aleatorio en variedades , aunque es posible y en algunos casos preferible modelar el movimiento aleatorio en variedades a través de EDE de Itô, [ 6 ] por ejemplo cuando se intenta aproximar de forma óptima las EDE en subvariedades. [ 9 ]

Una perspectiva alternativa sobre las EDE es el flujo estocástico de difeomorfismos. Esta comprensión es inequívoca y corresponde a la versión de Stratonovich del límite de tiempo continuo de las ecuaciones de diferencias estocásticas. Asociada a las EDE se encuentra la ecuación de Smoluchowski o la ecuación de Fokker-Planck , una ecuación que describe la evolución temporal de las funciones de distribución de probabilidad . La generalización de la evolución de Fokker-Planck a la evolución temporal de formas diferenciales viene dada por el concepto de operador de evolución estocástica .

En física, existe cierta ambigüedad en el uso del término "EDE de Langevin" . Si bien las EDE de Langevin pueden tener una forma más general , este término suele referirse a una clase restringida de EDE con campos vectoriales de flujo de gradiente. Esta clase de EDE es particularmente popular porque es un punto de partida del procedimiento de cuantización estocástica de Parisi-Sourlas, [ 10 ] que conduce a un modelo supersimétrico N=2 estrechamente relacionado con la mecánica cuántica supersimétrica . Desde el punto de vista físico, sin embargo, esta clase de EDE no es muy interesante porque nunca exhibe una ruptura espontánea de la supersimetría topológica, es decir, las EDE de Langevin (sobreamortiguadas) nunca son caóticas .

Cálculo estocástico

Se descubrió que el movimiento browniano o proceso de Wiener es excepcionalmente complejo matemáticamente. El proceso de Wiener es casi con seguridad no diferenciable en ningún punto; [ 1 ] [ 3 ] por lo tanto, requiere sus propias reglas de cálculo. Hay dos versiones dominantes del cálculo estocástico, el cálculo estocástico de Itô y el cálculo estocástico de Stratonovich . Cada uno de los dos tiene ventajas y desventajas, y los principiantes a menudo se confunden sobre si uno es más apropiado que el otro en una situación dada. Existen pautas (por ejemplo, Øksendal, 2003) [ 3 ] y convenientemente, se puede convertir fácilmente una EDE de Itô a una EDE de Stratonovich equivalente y viceversa. [ 1 ] [ 3 ] Aun así, se debe tener cuidado al elegir qué cálculo usar cuando se escribe inicialmente la EDE.

Soluciones numéricas

Los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas [ 11 ] incluyen el método de Euler-Maruyama , el método de Milstein , el método de Runge-Kutta (EDE) , el método de Rosenbrock, [ 12 ] y métodos basados ​​en diferentes representaciones de integrales estocásticas iteradas. [ 13 ] [ 14 ]

Uso en física

En física, las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE) tienen una amplia aplicabilidad, desde la dinámica molecular hasta la neurodinámica y la dinámica de objetos astrofísicos. Más específicamente, las EDE describen todos los sistemas dinámicos en los que los efectos cuánticos son irrelevantes o pueden considerarse como perturbaciones. Las EDE pueden verse como una generalización de la teoría de sistemas dinámicos a modelos con ruido. Esta generalización es importante porque los sistemas reales no pueden aislarse completamente de su entorno y, por lo tanto, siempre experimentan influencias estocásticas externas.

Existen técnicas estándar para transformar ecuaciones de orden superior en varias ecuaciones acopladas de primer orden mediante la introducción de nuevas incógnitas. Por lo tanto, la siguiente es la clase más general de EDE:

dincógnita(t)dt=F(incógnita(t))+∑α=1nortegramoα(incógnita(t))ξα(t),{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,}

dóndeincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}es la posición en el sistema en su espacio de fases (o estados) ,incógnita{\displaystyle X}, suponiendo que es una variedad diferenciable, elF∈Tincógnita{\displaystyle F\in TX}es un campo vectorial de flujo que representa una ley determinista de evolución, ygramoα∈Tincógnita{\displaystyle g_{\alpha }\in TX}es un conjunto de campos vectoriales que definen el acoplamiento del sistema al ruido blanco gaussiano,ξα{\displaystyle \xi ^{\alpha }}. Siincógnita{\displaystyle X}es un espacio lineal ygramo{\displaystyle g}Si son constantes, se dice que el sistema está sujeto a ruido aditivo; de lo contrario, se dice que está sujeto a ruido multiplicativo. Para el ruido aditivo, las formas de Itô y Stratonovich de la EDE generan la misma solución, y no importa qué definición se utilice para resolver la EDE. Para las EDE con ruido multiplicativo, las formas de Itô y Stratonovich de la EDE son diferentes, y se debe tener cuidado al establecer la correspondencia entre ellas. [ 15 ]

Para una configuración fija de ruido, la EDE tiene una solución única diferenciable con respecto a la condición inicial. [ 16 ] La no trivialidad del caso estocástico se manifiesta cuando se intenta promediar varios objetos de interés sobre configuraciones de ruido. En este sentido, una EDE no es una entidad definida de forma única cuando el ruido es multiplicativo y cuando la EDE se entiende como un límite de tiempo continuo de una ecuación de diferencias estocástica . En este caso, la EDE debe complementarse con lo que se conoce como "interpretaciones de la EDE", como las interpretaciones de Itô o Stratonovich. Sin embargo, cuando la EDE se considera como un flujo estocástico de difeomorfismos en tiempo continuo, es un objeto matemático definido de forma única que corresponde al enfoque de Stratonovich para un límite de tiempo continuo de una ecuación de diferencias estocástica.

En física, el método principal de solución consiste en hallar la función de distribución de probabilidad en función del tiempo mediante la ecuación de Fokker-Planck (EFP). La ecuación de Fokker-Planck es una ecuación diferencial parcial determinista que describe la evolución temporal de la función de distribución de probabilidad, de forma similar a como la ecuación de Schrödinger describe la evolución temporal de la función de onda cuántica o la ecuación de difusión describe la evolución temporal de la concentración química. Alternativamente, se pueden obtener soluciones numéricas mediante simulación de Monte Carlo . Otras técnicas incluyen la integración de trayectorias , que se basa en la analogía entre la física estadística y la mecánica cuántica (por ejemplo, la ecuación de Fokker-Planck se puede transformar en la ecuación de Schrödinger reescalando algunas variables), o bien, la formulación de ecuaciones diferenciales ordinarias para los momentos estadísticos de la función de distribución de probabilidad.

Uso en probabilidad y finanzas matemáticas

La notación utilizada en la teoría de la probabilidad (y en muchas aplicaciones de la teoría de la probabilidad, por ejemplo en el procesamiento de señales con el problema del filtrado y en las finanzas matemáticas ) es ligeramente diferente. También es la notación utilizada en publicaciones sobre métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas. Esta notación resalta la naturaleza exótica de la función aleatoria del tiempo.ξα{\displaystyle \xi ^{\alpha }}en la formulación física más explícita. En términos matemáticos estrictos, ξα{\displaystyle \xi ^{\alpha }}No puede elegirse como una función ordinaria, sino solo como una función generalizada . La formulación matemática aborda esta complicación con menos ambigüedad que la formulación física.

Una ecuación típica tiene la forma

dincógnitat=μ(incógnitat,t)dt+σ(incógnitat,t)dBt,{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},}

dóndeB{\displaystyle B}denota un proceso de Wiener (movimiento browniano estándar). Esta ecuación debe interpretarse como una forma informal de expresar la ecuación integral correspondiente.

incógnitat+s−incógnitat=∫tt+sμ(incógnitatú,tú)dtú+∫tt+sσ(incógnitatú,tú)dBtú.{\displaystyle X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.}

La ecuación anterior caracteriza el comportamiento del proceso estocástico de tiempo continuo X t como la suma de una integral de Lebesgue ordinaria y una integral de Itô . Una interpretación heurística (pero muy útil) de la ecuación diferencial estocástica es que, en un pequeño intervalo de tiempo de longitud δ, el proceso estocástico X t cambia su valor en una cantidad que se distribuye normalmente con una esperanza μ ( X t , t ) δ y una varianza σ ( X t , t ) 2 δ , y es independiente del comportamiento pasado del proceso. Esto se debe a que los incrementos de un proceso de Wiener son independientes y se distribuyen normalmente. La función μ se denomina coeficiente de deriva, mientras que σ se denomina coeficiente de difusión. El proceso estocástico X t se denomina proceso de difusión y satisface la propiedad de Markov . [ 1 ]    

La interpretación formal de una EDE se da en términos de lo que constituye una solución a la EDE. Hay dos definiciones principales de una solución a una EDE, una solución fuerte y una solución débil [ 1 ]. Ambas requieren la existencia de un proceso X t que resuelva la versión de la ecuación integral de la EDE. La diferencia entre las dos radica en el espacio de probabilidad subyacente (Ω,F,PAG{\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}Una solución débil consiste en un espacio de probabilidad y un proceso que satisface la ecuación integral, mientras que una solución fuerte es un proceso que satisface la ecuación y está definida en un espacio de probabilidad dado. El teorema de Yamada-Watanabe establece una conexión entre ambas.

Un ejemplo importante es la ecuación del movimiento browniano geométrico.

dincógnitat=μincógnitatdt+σincógnitatdBt.{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}

que es la ecuación para la dinámica del precio de una acción de una empresa cotizada en el modelo de valoración de opciones de Black-Scholes [ 2 ] de matemáticas financieras.

Generalizando el movimiento browniano geométrico, también es posible definir EDE que admiten soluciones fuertes y cuya distribución es una combinación convexa de densidades provenientes de diferentes movimientos brownianos geométricos o modelos de Black-Scholes, obteniendo una única EDE cuyas soluciones se distribuyen como una dinámica de mezcla de distribuciones lognormales de diferentes modelos de Black-Scholes. [ 2 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] Esto conduce a modelos que pueden abordar la sonrisa de volatilidad en matemáticas financieras.

La EDE más simple se denomina movimiento browniano aritmético [ 3 ].

dincógnitat=μdt+σdBt{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}}

Fue utilizado por Louis Bachelier como el primer modelo para los precios de las acciones en 1900, conocido hoy como modelo de Bachelier .

También existen ecuaciones diferenciales estocásticas más generales donde los coeficientes μ y σ dependen no solo del valor actual del proceso X t , sino también de valores anteriores del proceso y, posiblemente, de valores actuales o anteriores de otros procesos. En ese caso, el proceso de solución, X , no es un proceso de Markov, y se denomina proceso de Itô y no proceso de difusión. Cuando los coeficientes dependen únicamente de los valores actuales y pasados ​​de X , la ecuación que lo define se denomina ecuación diferencial estocástica con retardo.

Una generalización de las ecuaciones diferenciales estocásticas con la integral de Fisk-Stratonovich a semimartingalas con saltos son las EDE de tipo Marcus . La integral de Marcus es una extensión del cálculo estocástico de McShane. [ 20 ]

Una aplicación en finanzas estocásticas se deriva del uso de la ecuación para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck.

dRt=μRtdt+σtdBt.{\displaystyle \mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}

que es la ecuación para la dinámica del retorno del precio de una acción de una empresa cotizada bajo la hipótesis de que los retornos presentan una distribución log-normal . Bajo esta hipótesis, las metodologías desarrolladas por Marcello Minenna determinan un intervalo de predicción capaz de identificar retornos anormales que podrían ocultar fenómenos de abuso de mercado . [ 21 ] [ 22 ]

SDE en colectores

De forma más general, se puede extender la teoría del cálculo estocástico a variedades diferenciales y para ello se utiliza la integral de Fisk-Stratonovich. Consideremos una variedadMETRO{\displaystyle M}, algún espacio vectorial de dimensión finitami{\displaystyle E}, un espacio de probabilidad filtrado(Ω,F,(Ft)t∈R+,PAG){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}},P)}con(Ft)t∈R+{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}satisfaciendo las condiciones habituales y dejandoMETRO^=METRO∪{∞}{\displaystyle {\widehat {M}}=M\cup \{\infty \}}sea ​​la compactificación de un punto yincógnita0{\displaystyle x_{0}}serF0{\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}-medible. Una ecuación diferencial estocástica enMETRO{\displaystyle M}escrito

dincógnita=A(incógnita)∘dZ{\displaystyle \mathrm {d} X=A(X)\circ dZ}

es un par(A,Z){\displaystyle (A,Z)}, de tal manera que

  • Z{\displaystyle Z}es un continuomi{\displaystyle E}-semimartingala valorada,
  • A:METRO×mi→TMETRO,(incógnita,mi)↦A(incógnita)mi{\displaystyle A:M\times E\to TM,(x,e)\mapsto A(x)e}es un homomorfismo de haces vectoriales sobreMETRO{\displaystyle M}.

Para cadaincógnita∈METRO{\displaystyle x\in M}el mapaA(incógnita):mi→TincógnitaMETRO{\displaystyle A(x):E\to T_{x}M}es lineal yA(⋅)mi∈Γ(TMETRO){\displaystyle A(\cdot )e\in \Gamma (TM)}para cadami∈mi{\displaystyle e\in E}.

Una solución al SDE enMETRO{\displaystyle M}con condición inicialincógnita0=incógnita0{\displaystyle X_{0}=x_{0}}es un continuo{Ft}{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}-adaptadoMETRO{\displaystyle M}proceso valorado(incógnitat)t<ζ{\displaystyle (X_{t})_{t<\zeta }}hasta la vidaζ{\displaystyle \zeta }, st para cada función de pruebaF∈dodo∞(METRO){\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}el procesoF(incógnita){\displaystyle f(X)}es una semimartingala de valor real y para cada tiempo de paradaτ{\displaystyle \tau }con0≤τ<ζ{\displaystyle 0\leq \tau <\zeta }la ecuación

F(incógnitaτ)=F(incógnita0)+∫0τ(dF)incógnitaA(incógnita)∘dZ{\displaystyle f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z}

sostienePAG{\displaystyle P}-casi con seguridad, donde(dF)incógnita:TincógnitaMETRO→TF(incógnita)METRO{\displaystyle (df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M}es el diferencial enincógnita{\displaystyle X}. Es una solución máxima si el tiempo de vida es máximo, es decir,

{ζ<∞}⊂{límitet↗ζincógnitat=∞ en METRO^}{\displaystyle \{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ en }}{\widehat {M}}\right\}}

PAG{\displaystyle P}-casi con seguridad. Se deduce del hecho de queF(incógnita){\displaystyle f(X)}para cada función de pruebaF∈dodo∞(METRO){\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}es una semimartingala, queincógnita{\displaystyle X}es una semimartingala enMETRO{\displaystyle M}. Dada una solución máxima podemos extender el tiempo deincógnita{\displaystyle X}en completoR+{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}y después de una continuación deF{\displaystyle f}enMETRO^{\displaystyle {\widehat {M}}}obtenemos

F(incógnitat)=F(incógnita0)+∫0t(dF)incógnitaA(incógnita)∘dZ,t≥0{\displaystyle f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z,\quad t\geq 0}

hasta procesos indistinguibles. [ 23 ] Aunque las EDE de Stratonovich son la opción natural para las EDE en variedades, dado que satisfacen la regla de la cadena y que sus coeficientes de deriva y difusión se comportan como campos vectoriales bajo cambios de coordenadas, hay casos en los que el cálculo de Ito en variedades es preferible. Una teoría del cálculo de Ito en variedades fue desarrollada por primera vez por Laurent Schwartz a través del concepto de morfismo de Schwartz, [ 6 ] véase también la interpretación relacionada de 2-jet de las EDE de Ito en variedades basada en el fibrado de jets. [ 8 ] Esta interpretación es útil cuando se intenta aproximar de forma óptima la solución de una EDE dada en un espacio grande con las soluciones de una EDE dada en una subvariedad de ese espacio, [ 9 ] ya que una proyección basada en Stratonovich no resulta ser óptima. Esto se ha aplicado al problema de filtrado , lo que lleva a filtros de proyección óptimos. [ 9 ]

Como caminos difíciles

Por lo general, la solución de una EDE requiere un marco probabilístico, ya que la integral implícita en la solución es una integral estocástica. Si fuera posible abordar la ecuación diferencial paso a paso, no sería necesario definir una integral estocástica y se podría desarrollar una teoría independientemente de la teoría de la probabilidad. Esto apunta a considerar la EDE

dincógnitat(ω)=μ(incógnitat(ω),t)dt+σ(incógnitat(ω),t)dBt(ω){\displaystyle \mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )}

como una única ecuación diferencial determinista para cadaω∈Ω{\displaystyle \omega \in \Omega }, dóndeΩ{\displaystyle \Omega }es el espacio muestral en el espacio de probabilidad dado (Ω,F,PAG{\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}). Sin embargo, no es posible una interpretación directa de la EDE en función de las trayectorias, ya que las trayectorias del movimiento browniano tienen una variación ilimitada y no son diferenciables en ningún punto con probabilidad uno, por lo que no hay una forma ingenua de dar significado a términos comodBt(ω){\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}, excluyendo también una definición ingenua de la integral estocástica por trayectorias como una integral contra cada una de ellas.dBt(ω){\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}Sin embargo, motivados por el resultado de Wong-Zakai [ 24 ] para límites de soluciones de EDE con ruido regular y utilizando la teoría de trayectorias rugosas , al tiempo que se agrega una definición elegida de integrales iteradas del movimiento browniano, es posible definir una integral rugosa determinista para cada unaω∈Ω{\displaystyle \omega \in \Omega }que coincide, por ejemplo, con la integral de Ito con probabilidad uno para una elección particular de la integral browniana iterada. [ 24 ] Otras definiciones de la integral iterada conducen a equivalentes deterministas por trayectorias de diferentes integrales estocásticas, como la integral de Stratonovich. Esto se ha utilizado, por ejemplo, en matemáticas financieras para valorar opciones sin probabilidad. [ 25 ]

Existencia y singularidad de las soluciones

Al igual que con las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales deterministas, es importante saber si una EDE dada tiene solución y si esta es única. A continuación se presenta un teorema típico de existencia y unicidad para EDE de Itô que toman valores en el espacio euclidiano n - dimensional R n y están impulsadas por un movimiento browniano m -dimensional B ; la demostración se puede encontrar en Øksendal (2003, §5.2). [ 3 ]

Sea T > 0, y sea  

μ:Rnorte×[0,T]→Rnorte;{\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}
σ:Rnorte×[0,T]→Rnorte×metro;{\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}

sean funciones medibles para las cuales existen constantes C y D tales que

|μ(incógnita,t)|+|σ(incógnita,t)|≤do(1+|incógnita|);{\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}
|μ(incógnita,t)−μ(y,t)|+|σ(incógnita,t)−σ(y,t)|≤D|incógnita−y|;{\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;}

para todo t  ∈  [0, T ] y todo x e y ∈ R n , donde   

|σ|2=∑i,j=1norte|σij|2.{\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}

Sea Z una variable aleatoria independiente del σ -álgebra generada por B s , s  ≥  0, y con segundo momento finito :

mi[|Z|2]<+∞.{\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}

Luego, la ecuación diferencial estocástica/problema de valor inicial.

dincógnitat=μ(incógnitat,t)dt+σ(incógnitat,t)dBt para t∈[0,T];{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];}
incógnita0=Z;{\displaystyle X_{0}=Z;}

tiene una solución t -continua P- casi seguramente única ( t , ω ) ↦ X t ( ω ) tal que X está adaptada a la filtración F t Z generada por Z y B s , s ≤ t , y     

mi[∫0T|incógnitat|2dt]<+∞.{\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}

Caso general: condición de Lipschitz local y soluciones máximas

La ecuación diferencial estocástica anterior es solo un caso especial de una forma más general.

dYt=α(t,Yt)dincógnitat{\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha (t,Y_{t})\mathrm {d} X_{t}}

dónde

  • incógnita{\displaystyle X}es una semimartingala continua enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}y Y{\displaystyle Y}es una semimartingala continua enRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
  • α:R+×U→Lin⁡(Rnorte;Rd){\displaystyle \alpha :\mathbb {R} _{+}\times U\to \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})} es una aplicación de algún conjunto abierto no vacíoU⊂Rd{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}, dóndeLin⁡(Rnorte;Rd){\displaystyle \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}es el espacio de todos los mapas lineales desdeRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}aRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}.

De forma más general, también se pueden analizar ecuaciones diferenciales estocásticas en variedades .

Que la solución de esta ecuación explote o no depende de la elección deα{\displaystyle \alpha }. Suponerα{\displaystyle \alpha }satisface alguna condición local de Lipschitz, es decir, parat≥0{\displaystyle t\geq 0}y algunos conjuntos compactosK⊂U{\displaystyle K\subset U}y alguna constanteL(t,K){\displaystyle L(t,K)}la condición

|α(s,y)−α(s,incógnita)|≤L(t,K)|y−incógnita|,incógnita,y∈K,0≤s≤t,{\displaystyle |\alpha (s,y)-\alpha (s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,}

dónde|⋅|{\displaystyle |\cdot |}es la norma euclidiana. Esta condición garantiza la existencia y unicidad de una llamada solución máxima .

Suponerα{\displaystyle \alpha }es continua y satisface la condición de Lipschitz local anterior y seaF:Ω→U{\displaystyle F:\Omega \to U}sea ​​alguna condición inicial, lo que significa que es una función medible con respecto al álgebra σ inicial.ζ:Ω→R¯+{\displaystyle \zeta :\Omega \to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}} sea un tiempo de parada predecible conζ>0{\displaystyle \zeta >0}casi con seguridad. UnU{\displaystyle U}semimartingala valorada(Yt)t<ζ{\displaystyle (Y_{t})_{t<\zeta }}se denomina solución máxima de

dYt=α(t,Yt)dincógnitat,Y0=F{\displaystyle dY_{t}=\alpha (t,Y_{t})dX_{t},\quad Y_{0}=F}

con de por vidaζ{\displaystyle \zeta }si

  • para uno (y por lo tanto todos) anunciandoζnorte↗ζ{\displaystyle \zeta _{n}\nearrow \zeta }el proceso detenidoYζnorte{\displaystyle Y^{\zeta _{n}}}es una solución a la ecuación diferencial estocástica detenida
dY=α(t,Y)dincógnitaζnorte{\displaystyle \mathrm {d} Y=\alpha (t,Y)\mathrm {d} X^{\zeta _{n}}}
  • en el set{ζ<∞}{\displaystyle \{\zeta <\infty \}}Tenemos casi con seguridad queYt→∂U{\displaystyle Y_{t}\to \partial U}cont→ζ{\displaystyle t\to \zeta }. [ 26 ]

ζ{\displaystyle \zeta }También es un llamado tiempo de explosión .

Algunos ejemplos que se pueden resolver explícitamente

Las EDE explícitamente resolubles incluyen: [ 11 ]

Ecuación diferencial estocástica lineal: caso general

dincógnitat=(a(t)incógnitat+do(t))dt+(b(t)incógnitat+d(t))dWt{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))\mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))\mathrm {d} W_{t}}
incógnitat=Φt,t0(incógnitat0+∫t0tΦs,t0−1(do(s)−b(s)d(s))ds+∫t0tΦs,t0−1d(s)dWs){\displaystyle X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)d(s))\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}d(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}

dónde

Φt,t0=exp⁡(∫t0t(a(s)−b2(s)2)ds+∫t0tb(s)dWs){\displaystyle \Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}b(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}

EDE reducibles: Caso 1

dincógnitat=12F(incógnitat)F′(incógnitat)dt+F(incógnitat)dWt{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}

para una función diferenciable dadaF{\displaystyle f}es equivalente a la EDE de Stratonovich

dincógnitat=F(incógnitat)∘Wt{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}}

que tiene una solución general

incógnitat=h−1(Wt+h(incógnita0)){\displaystyle X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))}

dónde

h(incógnita)=∫incógnitadsF(s){\displaystyle h(x)=\int ^{x}{\frac {\mathrm {d} s}{f(s)}}}

EDE reducibles: Caso 2

dincógnitat=(αF(incógnitat)+12F(incógnitat)F′(incógnitat))dt+F(incógnitat)dWt{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}

para una función diferenciable dadaF{\displaystyle f}es equivalente a la EDE de Stratonovich

dincógnitat=αF(incógnitat)dt+F(incógnitat)∘Wt{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\alpha f(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\circ W_{t}}

que es reducible a

dYt=αdt+dWt{\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha \mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}}

dóndeYt=h(incógnitat){\displaystyle Y_{t}=h(X_{t})}dóndeh{\displaystyle h}se define como antes. Su solución general es

incógnitat=h−1(αt+Wt+h(incógnita0)){\displaystyle X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))}

EDE y supersimetría

En la teoría supersimétrica de las EDE, la dinámica estocástica se define mediante un operador de evolución estocástica que actúa sobre las formas diferenciales en el espacio de fases / estados del modelo. En esta formulación de la dinámica estocástica, todas las EDE poseen supersimetría topológica , que representa la preservación de la continuidad del espacio de fases mediante un flujo temporal continuo. La ruptura espontánea de esta supersimetría es la esencia matemática del fenómeno dinámico omnipresente conocido en diversas disciplinas como caos .

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

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  • Gardiner, CW (2004). Manual de métodos estocásticos: para física, química y ciencias naturales . Springer. pág.  415.
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