triplete espectral

Si${\displaystyle (A,H,D)}$es una tripleta espectral, y${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$es el cierre de${\displaystyle A}$para la norma del operador , entonces Connes introduce una pseudométrica extendida en el espacio de estados${\displaystyle S({\mathfrak {A}})}$de${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, estableciendo, para cualesquiera dos estados ${\displaystyle \varphi ,\psi \en S(A)}$:

${\displaystyle d(\varphi ,\psi )=\sup\{|\varphi (a)-\psi (a)|:a\in A,\|[D,a]\|\leq 1\}.}$

En general, la métrica de Connes puede tomar el valor${\displaystyle \infty }$y puede ser cero entre diferentes estados. Connes observó originalmente, para${\displaystyle X}$una variedad riemanniana de espín conectada y compacta , que la restricción de esta pseudométrica a los estados puros, es decir, los caracteres del álgebra C*${\displaystyle C(X)}$, cuyo espacio es naturalmente homeomorfo (cuando está dotado de la topología débil* ) a${\displaystyle X}$, recupera la métrica de trayectoria para una métrica riemanniana sobre${\displaystyle X}$inducido por la métrica riemanniana, cuando la tripleta espectral es${\displaystyle (C^{\infty }(X),\Gamma ,D)}$, dónde${\displaystyle C^{\infty }(X)}$es el álgebra de funciones suaves sobre la variedad${\displaystyle X}$y D es la clausura del operador de Dirac usual que actúa sobre un subespacio denso del espacio de Hilbert.${\displaystyle \Gamma }$de secciones cuadradas integrables del fibrado espinorial sobre${\displaystyle X}$.

Además, Connes observó que esta distancia está acotada si y solo si existe un estado${\displaystyle \mu \in S({\mathfrak {A}})}$de tal manera que el conjunto: ${\displaystyle \{a\in A:\|[D,a]\|\leq 1,\mu (a)=0\}}$ está delimitado.

Esta construcción recuerda la construcción realizada por Kantorovich de una distancia en el espacio de medidas de probabilidad de Radon sobre un espacio métrico compacto, tal como la introdujo Kantorovich durante su estudio del problema de transporte de Monge . De hecho, en ese caso, si${\displaystyle (X,d)}$es un espacio métrico compacto, y si${\displaystyle \mu ,\nu }$son dos de esas medidas de probabilidad, entonces la distancia de Kantorovich entre${\displaystyle \mu ,\nu }$, como observaron Kantorovich y Rubinstein, puede definirse por

${\displaystyle k(\mu ,\nu )=\sup\{|\int _{X}fd\mu -\int _{X}fd\nu |:f\in C(X),\mathrm {Lip} (f)\leq 1\},}$ dónde${\displaystyle C(X)}$es el álgebra C* de funciones continuas de valor complejo sobre${\displaystyle X}$y para cualquier función${\displaystyle f\in C(X)}$, lo denotamos por${\displaystyle \mathrm {Lip} (f)}$su seminorma de Lipschitz : ${\displaystyle \mathrm {Lip} (f)=\sup\{{\frac {|f(x)-f(y)|}{d(x,y)}}:x,y\in X,x\not =y\}.}$

Esta analogía es más que formal: en el caso descrito anteriormente, donde${\displaystyle X}$es una variedad riemanniana de espín compacta conexa, y${\displaystyle d}$es la métrica de ruta asociada en${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle \|[D,f]\|\leq 1}$si, y solo si,${\displaystyle \mathrm {Lip} (f)\leq 1}$.

Guiados por esta observación, es natural preguntarse qué propiedades comparte la métrica de Connes con la distancia de Kantorovich. En general, la topología inducida por la distancia de Connes puede no ser de Hausdorff, o dar un diámetro finito al espacio de estados de la${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, mientras que la métrica de Kantorovich siempre induce la topología débil* en el espacio de medidas de probabilidad de Radon sobre${\displaystyle X}$--- que es débil* compacto.

Rieffel desarrolló una condición necesaria y suficiente sobre las ternas espectrales (y más generalmente, sobre las seminormas que desempeñan un papel análogo a las seminormas de Lipschitz) para que la distancia de Connes induzca efectivamente la topología débil* en el espacio de estados de${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, a saber: la métrica de Connes inducida por una tripleta espectral${\displaystyle (A,H,D)}$topoliza la topología débil* en el espacio de estados${\displaystyle S({\mathfrak {A}})}$si, y solo si, existe un estado${\displaystyle \mu \in S({\mathfrak {A}})}$de tal manera que el conjunto ${\displaystyle \left\{a\in A:\|[D,a]\|\leq 1,\mu (a)=0\right\}}$ está totalmente limitado .

Estas observaciones constituyen la base del estudio de la geometría métrica no conmutativa, que se ocupa de la geometría del espacio de espacios métricos cuánticos, muchos de los cuales se construyen utilizando triples espectrales cuya métrica de Connes induce la topología débil* en el espacio de estados subyacente. En este contexto, se ha construido un análogo de la distancia de Gromov-Hausdorff en el espacio de triples espectrales métricos, lo que permite analizar la geometría de este espacio y construir aproximaciones de triples espectrales mediante triples espectrales "más simples" (más regulares o de dimensión finita).

La unidad autoadjunta F da un mapa de la K-teoría de A en enteros tomando el índice de Fredholm de la siguiente manera. En el caso par, cada proyección e en A se descompone como e ₀  ⊕ e ₁ bajo la graduación y e ₁ Fe ₀ se convierte en un operador de Fredholm de e ₀ H a e ₁ H . Por lo tanto, e → Ind e ₁ Fe ₀ define un mapeo aditivo de K ₀ ( A ) a Z . En el caso impar, la descomposición del espacio propio de F da una graduación en H , y cada elemento invertible en A da un operador de Fredholm ( F + 1) u ( F − 1)/4 de ( F − 1) H a ( F + 1) H . Por lo tanto, u → Ind ( F + 1) u ( F − 1)/4 da un mapeo aditivo de K ₁ ( A ) a Z .                         

Cuando la tripleta espectral es finitamente sumable, se pueden escribir los índices anteriores usando la traza (super) y un producto de F , e (resp. u ) y el conmutador de F con e (resp. u ). Esto se puede codificar como un funcional ( p + 1) en A que satisface ciertas condiciones algebraicas y da cociclos de cohomología cíclica de Hochschild, que describen los mapas anteriores de la teoría K a los enteros.