Grupo resoluble

La extensión de campo de Galois más pequeña de${\displaystyle \mathbb {Q} }$que contiene el elemento

${\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

da un grupo resoluble. Las extensiones de campo asociadas

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}$

dar un grupo resoluble de extensiones de Galois que contenga los siguientes factores de composición (donde${\displaystyle 1}$es la permutación identidad).

• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$con acción de grupo${\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1}$y polinomio mínimo${\displaystyle x^{2}-2}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2}$con acción de grupo${\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1}$y polinomio mínimo${\displaystyle x^{2}-3}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4}$con acción de grupo${\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2^{n}im\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1}$y polinomio mínimo${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)}$que contiene las quintas raíces de la unidad excluyendo${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5}$con acción de grupo${\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1}$y polinomio mínimo${\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}$

Cada una de las acciones grupales definitorias (por ejemplo,${\displaystyle fgh^{3}j^{4}}$) cambia una sola extensión mientras mantiene todas las demás extensiones fijas. Las 80 acciones de grupo son el conjunto${\displaystyle \{f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4\}}$.

Este grupo no es abeliano . Por ejemplo,${\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a}$, mientras${\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a}$y de hecho,${\displaystyle jh=hj^{3}}$.

Es isomorfo a${\displaystyle (\mathbb {Z} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} _{4})\times (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$, dónde${\displaystyle \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}}$, definido utilizando el producto semidirecto y el producto directo de los grupos cíclicos . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$no es un subgrupo normal.

El ejemplo básico de grupos resolubles son los grupos abelianos. Son trivialmente resolubles, ya que una serie subnormal se forma simplemente con el grupo mismo y el grupo trivial. Sin embargo, los grupos no abelianos pueden ser resolubles o no.

En términos más generales, todos los grupos nilpotentes son resolubles. En particular, los p -grupos finitos son resolubles, ya que todos los p- grupos finitos son nilpotentes.

Las extensiones de grupo forman los ejemplos prototípicos de grupos resolubles. Es decir, si${\displaystyle G}$y${\displaystyle G'}$son grupos resolubles, entonces cualquier extensión

${\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}$

define un grupo resoluble${\displaystyle G''}$De hecho, todos los grupos resolubles pueden formarse a partir de dichas extensiones de grupos.

Un pequeño ejemplo de un grupo resoluble y no nilpotente es el grupo simétrico S ₃ . De hecho, como el grupo simple no abeliano más pequeño es A ₅ , (el grupo alternante de grado 5) se deduce que todo grupo con orden menor que 60 es resoluble.

El teorema de Feit-Thompson establece que todo grupo finito de orden impar es resoluble. En particular, esto implica que si un grupo finito es simple, es primo cíclico o de orden par.

El grupo S ₅ no es resoluble : tiene una serie de composición {E, A ₅ , S ₅ } (y el teorema de Jordan–Hölder establece que cualquier otra serie de composición es equivalente a esa), dando grupos cociente isomorfos a A ₅ y C ₂ ; y A ₅ no es abeliano. Generalizando este argumento, junto con el hecho de que A _n es un subgrupo simple normal, maximal y no abeliano de S _n para n > 4, vemos que S _n no es resoluble para n > 4. Este es un paso clave en la demostración de que para cada n > 4 hay polinomios de grado n que no son resolubles por radicales ( teorema de Abel–Ruffini ). Esta propiedad también se usa en la teoría de la complejidad en la demostración del teorema de Barrington .

Consideremos los subgrupos

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$de${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}$

para algún campo${\displaystyle \mathbb {F} }$. Luego, el cociente del grupo${\displaystyle B/U}$se puede encontrar tomando elementos arbitrarios en${\displaystyle B,U}$, multiplicándolos entre sí y averiguando qué estructura resulta de ello. Así pues,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}$

Nótese la condición determinante en${\displaystyle GL_{2}}$implica${\displaystyle ac\neq 0}$, por eso${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}$es un subgrupo (que son las matrices donde${\displaystyle b=0}$). Para fijo${\displaystyle a,b}$, la ecuación lineal${\displaystyle ad+b=0}$implica${\displaystyle d=-b/a}$, que es un elemento arbitrario en${\displaystyle \mathbb {F} }$desde${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$. Dado que podemos tomar cualquier matriz en${\displaystyle B}$y multiplícalo por la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

con${\displaystyle d=-b/a}$, podemos obtener una matriz diagonal en${\displaystyle B}$Esto muestra el grupo cociente${\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$.

Para un grupo algebraico lineal${\displaystyle G}$, un subgrupo de Borel se define como un subgrupo que es cerrado, conexo y resoluble en${\displaystyle G}$y es un subgrupo máximo posible con estas propiedades (nótese que las dos primeras son propiedades topológicas). Por ejemplo, en${\displaystyle GL_{n}}$y${\displaystyle SL_{n}}$Los grupos de matrices triangulares superiores o inferiores son dos de los subgrupos de Borel. El ejemplo dado anteriormente, el subgrupo${\displaystyle B}$en${\displaystyle GL_{2}}$, es un subgrupo de Borel.

Cualquier grupo finito cuyos subgrupos p -Sylow sean cíclicos es un producto semidirecto de dos grupos cíclicos, en particular resoluble. Dichos grupos se denominan grupos Z.

Como medida de fortalecimiento de la solubilidad, un grupo G se denomina supersoluble si posee una serie normal invariante cuyos factores son todos cíclicos. Dado que una serie normal tiene longitud finita por definición, los grupos no numerables no son supersolubles. De hecho, todos _los grupos supersolubles son finitamente generados , y un grupo abeliano es supersoluble si y solo si es finitamente generado. El grupo alternante A₄ es un ejemplo de un grupo finitamente resoluble que no es supersoluble.

Si nos restringimos a grupos generados de forma finita, podemos considerar la siguiente disposición de clases de grupos:

cíclico < abeliano < nilpotente < supersoluble < policíclico < soluble < grupo finitamente generado .

Un grupo G se denomina virtualmente resoluble si tiene un subgrupo resoluble de índice finito. Esto es similar a virtualmente abeliano . Claramente, todos los grupos resolubles son virtualmente resolubles, ya que basta con elegir el grupo mismo, que tiene índice 1. Los grupos virtualmente resolubles son una de las dos alternativas en la alternativa de Tits sobre grupos lineales finitamente generados .

Un grupo resoluble es aquel cuya serie derivada alcanza el subgrupo trivial en una etapa finita . Para un grupo infinito, la serie derivada finita puede no estabilizarse, pero la serie derivada transfinita siempre se estabiliza. Un grupo cuya serie derivada transfinita alcanza el grupo trivial se denomina grupo hipoabeliano , y todo grupo resoluble es un grupo hipoabeliano. El primer ordinal α tal que G ^{( α )} = G ^{( α +1)} se denomina longitud derivada (transfinita) del grupo G , y se ha demostrado que todo ordinal es la longitud derivada de algún grupo ( Malcev 1949 ) .

Un grupo finito es p-resoluble para algún primo p si cada factor en la serie de composición es un p-grupo o tiene orden primo a p. Un grupo finito es resoluble si y solo si es p-resoluble para todo p. ^{[ 4 ]}