Grupo Z

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , el término grupo Z se refiere a una serie de tipos distintos de grupos :

• En el estudio de grupos finitos , un grupo Z es un grupo finito cuyos subgrupos de Sylow son todos cíclicos .
• En el estudio de grupos infinitos , un grupo Z es un grupo que posee una forma muy general de serie central .
• en el estudio de grupos ordenados , un grupo Z o${\displaystyle \mathbb {Z} }$Un grupo -es un grupo abeliano discretamente ordenado cuyo cociente sobre su subgrupo convexo mínimo es divisible. Dichos grupos son elementalmente equivalentes a los enteros.${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,<)}$Los grupos Z son una presentación alternativa de la aritmética de Presburger .
• En ocasiones, el término (Z)-grupo se utiliza para referirse a un grupo de Zassenhaus , un tipo especial de grupo de permutación .

Uso: ( Suzuki 1955 ) , ( Bender y Glauberman 1994 , p. 2) , MR 0409648 , ( Wonenburger 1976 ) , ( Çelik 1976 )  

En el estudio de grupos finitos , un grupo Z es un grupo finito cuyos subgrupos de Sylow son todos cíclicos . La Z proviene tanto del alemán Zyklische como de su clasificación en ( Zassenhaus 1935 ) . En muchos libros de texto estándar, estos grupos no tienen un nombre específico, aparte de grupos metacíclicos , pero este término se usa con frecuencia de forma más general en la actualidad. Véase grupo metacíclico para más información sobre la definición general y moderna, que incluye los p- grupos no cíclicos ; véase ( Hall 1959 , Teorema 9.4.3) para la definición clásica más estricta, más relacionada con los grupos Z.

Todo grupo cuyos subgrupos de Sylow son cíclicos es en sí mismo metacíclico , por lo tanto supersoluble . De hecho, tal grupo tiene un subgrupo derivado cíclico con cociente abeliano máximo cíclico. Tal grupo tiene la presentación ( Hall 1959 , Teorema 9.4.3) :

${\displaystyle G(m,n,r)=\langle a,b|a^{m}=b^{n}=1,bab^{-1}=a^{r}\rangle }$, donde mn es el orden de G ( m , n , r ), el máximo común divisor , mcd(( r -1) n , m ) = 1, y r ⁿ ≡ 1 (mod m ).

La teoría de caracteres de los grupos Z se entiende bien ( Çelik 1976 ) , ya que son grupos monomiales .

La longitud derivada de un grupo Z es como máximo 2, por lo que los grupos Z pueden ser insuficientes para algunos usos. Una generalización debida a Hall son los grupos A , aquellos grupos con subgrupos de Sylow abelianos . Estos grupos se comportan de manera similar a los grupos Z, pero pueden tener una longitud derivada arbitrariamente grande ( Hall 1940 ) . Otra generalización debida a ( Suzuki 1955 ) otorga al subgrupo de Sylow 2 mayor flexibilidad, incluyendo grupos diedrales y de cuaterniones generalizados .

Uso: ( Robinson 1996 ) , ( Kurosh 1960 )

La definición de serie central utilizada para el grupo Z es algo técnica. Una serie de G es una colección S de subgrupos de G , ordenados linealmente por inclusión, de tal manera que para cada g en G , los subgrupos A _g = ∩ { N en S  : g en N } y B _g = ∪ { N en S  : g no en N } están ambos en S. Una serie central (generalizada) de G es una serie tal que cada N en S es normal en G y tal que para cada g en G , el cociente A _g / B _g está contenido en el centro de G / B _g . Un grupo Z es un grupo con una serie central (generalizada) de este tipo. Ejemplos incluyen los grupos hipercentrales cuyas series centrales superiores transfinitas forman una serie central de este tipo, así como los grupos hipocentrales cuyas series centrales inferiores transfinitas forman una serie central de este tipo ( Robinson 1996 ) .

Uso: ( Suzuki 1961 )

Un grupo (Z) es un grupo representado fielmente como un grupo de permutaciones doblemente transitivo en el que ningún elemento distinto de la identidad fija más de dos puntos. Un grupo (ZT) es un grupo (Z) de grado impar y que no es un grupo de Frobenius , es decir, un grupo de Zassenhaus de grado impar, también conocido como uno de los grupos PSL(2,2 ^{k +1} ) o Sz(2 ^{2 k +1} ) , para k cualquier entero positivo ( Suzuki 1961 ) .

• Bender, Helmut; Glauberman, George (1994), Análisis local para el teorema del orden impar , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  188, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-45716-3, MR 1311244 
• Çelik, Özdem (1976), "Sobre la tabla de caracteres de grupos Z", Mitteilungen aus dem Mathematischen Seminar Giessen : 75– 77, ISSN 0373-8221 , MR 0470050  
• Hall, Marshall Jr. (1959), La teoría de los grupos , Nueva York: Macmillan, MR 0103215 
• Hall, Philip (1940), "La construcción de grupos solubles", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 182 : 206– 214, doi : 10.1515/crll.1940.182.206 , ISSN 0075-4102 , MR 0002877 , S2CID 118354698   
• Kurosh, AG (1960), La teoría de los grupos , Nueva York: Chelsea, MR 0109842 
• Robinson, Derek John Scott (1996), Un curso de teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
• Suzuki, Michio (1955), "Sobre grupos finitos con subgrupos de Sylow cíclicos para todos los primos impares", American Journal of Mathematics , 77 (4): 657– 691, doi : 10.2307/2372591 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372591 , MR 0074411   
• Suzuki, Michio (1961), "Grupos finitos con centralizadores nilpotentes", Transactions of the American Mathematical Society , 99 (3): 425–470 , doi : 10.2307/1993556 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993556 , MR 0131459   
• Wonenburger, María J. (1976), "Una generalización de los grupos Z", Journal of Algebra , 38 (2): 274– 279, doi : 10.1016/0021-8693(76)90219-2 , ISSN 0021-8693 , MR 0393229  
• Zassenhaus, Hans (1935), "Über endliche Fastkörper", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo (en alemán), 11 : 187– 220, doi : 10.1007/BF02940723 , S2CID 123632723