Modelado sólido

El modelado sólido (o modelado de sólidos ) es un conjunto coherente de principios para el modelado matemático y computacional de formas tridimensionales (sólidos) . El modelado sólido se distingue dentro de las áreas más amplias relacionadas del modelado geométrico y los gráficos por computadora , como el modelado 3D , por su énfasis en la fidelidad física. ^{[ 1 ]} En conjunto, los principios del modelado geométrico y sólido forman la base del diseño asistido por computadora 3D y, en general, respaldan la creación, el intercambio, la visualización, la animación, la consulta y la anotación de modelos digitales de objetos físicos.

El uso de técnicas de modelado sólido permite automatizar varios cálculos de ingeniería complejos que se realizan como parte del proceso de diseño. La simulación, planificación y verificación de procesos como el mecanizado y el ensamblaje fueron uno de los principales catalizadores del desarrollo del modelado sólido. Más recientemente, el abanico de aplicaciones de fabricación compatibles se ha ampliado enormemente para incluir la fabricación de chapa metálica , el moldeo por inyección , la soldadura , el trazado de tuberías , etc. Más allá de la fabricación tradicional, las técnicas de modelado sólido sirven de base para el prototipado rápido , el archivo de datos digitales y la ingeniería inversa mediante la reconstrucción de sólidos a partir de puntos muestreados en objetos físicos, el análisis mecánico mediante elementos finitos , la planificación de movimiento y la verificación de trayectorias NC, el análisis cinemático y dinámico de mecanismos , etc. Un problema central en todas estas aplicaciones es la capacidad de representar y manipular eficazmente la geometría tridimensional de forma coherente con el comportamiento físico de los objetos reales. La investigación y el desarrollo del modelado sólido han abordado eficazmente muchos de estos problemas y siguen siendo un foco central de la ingeniería asistida por ordenador .

La noción de modelado sólido, tal como se practica hoy en día, se basa en la necesidad específica de completitud informacional en los sistemas de modelado geométrico mecánico, en el sentido de que cualquier modelo informático debe admitir todas las consultas geométricas que se puedan formular sobre su objeto físico correspondiente. Este requisito reconoce implícitamente la posibilidad de varias representaciones informáticas del mismo objeto físico, siempre que dos cualesquiera de dichas representaciones sean consistentes. Es imposible verificar computacionalmente la completitud informacional de una representación a menos que la noción de objeto físico se defina en términos de propiedades matemáticas computables e independientemente de cualquier representación particular. Este razonamiento condujo al desarrollo del paradigma de modelado que ha configurado el campo del modelado sólido tal como lo conocemos hoy. ^{[ 2 ]}

Todos los componentes manufacturados tienen un tamaño finito y límites bien definidos , por lo que inicialmente el enfoque se centró en modelar matemáticamente piezas rígidas hechas de material homogéneo e isotrópico que podían agregarse o quitarse. Estas propiedades postuladas pueden traducirse en propiedades de regiones , subconjuntos del espacio euclidiano tridimensional . Los dos enfoques comunes para definir la "solidez" se basan en la topología de conjuntos de puntos y la topología algebraica , respectivamente. Ambos modelos especifican cómo se pueden construir sólidos a partir de piezas o celdas simples.

Según el modelo de conjunto de puntos continuos de solidez, todos los puntos de cualquier X ⊂ pueden clasificarse según sus vecindades con respecto a X como puntos interiores , exteriores o de frontera . Suponiendo que está dotado de la métrica euclidiana típica , una vecindad de un punto p ∈ X toma la forma de una bola abierta . Para que X se considere sólido, toda vecindad de cualquier p ∈ X debe ser consistentemente tridimensional; los puntos con vecindades de menor dimensión indican una falta de solidez. La homogeneidad dimensional de las vecindades está garantizada para la clase de conjuntos regulares cerrados , definidos como conjuntos iguales a la clausura de su interior. Cualquier X ⊂ puede convertirse en un conjunto regular cerrado o "regularizarse" tomando la clausura de su interior, y por lo tanto el espacio de modelado de sólidos se define matemáticamente como el espacio de subconjuntos regulares cerrados de (por el teorema de Heine-Borel se implica que todos los sólidos son conjuntos compactos ). Además, se requiere que los sólidos sean cerrados bajo las operaciones booleanas de unión, intersección y diferencia de conjuntos (para garantizar la solidez después de la adición y eliminación de material). Aplicar las operaciones booleanas estándar a conjuntos regulares cerrados puede no producir un conjunto regular cerrado, pero este problema se puede resolver regularizando el resultado de aplicar las operaciones booleanas estándar. ^{[ 3 ]} Las operaciones de conjuntos regularizadas se denotan ∪ ^∗ , ∩ ^∗ , y − ^∗ . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

La caracterización combinatoria de un conjunto X ⊂ como un sólido implica representar X como un complejo de celdas orientables de modo que las celdas proporcionen direcciones espaciales finitas para puntos en un continuo que de otro modo sería innumerable. ^{[ 1 ]} La clase de subconjuntos acotados semianalíticos del espacio euclidiano es cerrada bajo operaciones booleanas (estándar y regularizadas) y exhibe la propiedad adicional de que todo conjunto semianalítico puede ser estratificado en una colección de celdas disjuntas de dimensiones 0,1,2,3. Una triangulación de un conjunto semianalítico en una colección de puntos, segmentos de línea , caras triangulares y elementos tetraédricos es un ejemplo de una estratificación que se usa comúnmente. El modelo combinatorio de solidez se resume entonces diciendo que, además de ser subconjuntos acotados semianalíticos, los sólidos son poliedros topológicos tridimensionales , específicamente variedades orientables tridimensionales con frontera. ^{[ 4 ]} En particular, esto implica que la característica de Euler del límite combinatorio ^{[ 5 ]} del poliedro es 2. El modelo de variedad combinatoria de solidez también garantiza que el límite de un sólido separa el espacio en exactamente dos componentes como consecuencia del teorema de Jordan-Brouwer , eliminando así conjuntos con vecindarios no manifold que se consideran imposibles de fabricar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Los modelos de conjuntos puntuales y combinatorios de sólidos son totalmente consistentes entre sí, pueden usarse indistintamente, basándose en propiedades continuas o combinatorias según sea necesario, y pueden extenderse a n dimensiones. La propiedad clave que facilita esta consistencia es que la clase de subconjuntos regulares cerrados coincide precisamente con poliedros topológicos homogéneos de n dimensiones. Por lo tanto, todo sólido de n dimensiones puede representarse inequívocamente por su frontera, y dicha frontera tiene la estructura combinatoria de un poliedro de n−1 dimensiones con vecindades homogéneas de n−1 dimensiones. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Basándose en propiedades matemáticas asumidas, cualquier esquema de representación de sólidos constituye un método para capturar información sobre la clase de subconjuntos semianalíticos del espacio euclidiano. Esto significa que todas las representaciones son diferentes maneras de organizar los mismos datos geométricos y topológicos en forma de estructura de datos . Todos los esquemas de representación se organizan en términos de un número finito de operaciones sobre un conjunto de primitivas. Por lo tanto, el espacio de modelado de cualquier representación particular es finito, y un único esquema de representación puede no ser suficiente para representar todos los tipos de sólidos. Por ejemplo, los sólidos definidos mediante combinaciones de operaciones booleanas regularizadas no necesariamente pueden representarse como el barrido de una primitiva que se mueve según una trayectoria espacial, salvo en casos muy sencillos. Esto obliga a los sistemas modernos de modelado geométrico a mantener varios esquemas de representación de sólidos y, además, a facilitar la conversión eficiente entre ellos.

A continuación se muestra una lista de técnicas utilizadas para crear o representar modelos sólidos. ^{[ 4 ]} El software de modelado moderno puede utilizar una combinación de estos esquemas para representar un sólido.

Este esquema se basa en la noción de familias de objetos, donde cada miembro se distingue de los demás por unos pocos parámetros. Cada familia de objetos se denomina primitiva genérica , y los objetos individuales dentro de una familia se denominan instancias primitivas . Por ejemplo, una familia de tornillos es una primitiva genérica, y un solo tornillo, especificado por un conjunto particular de parámetros, es una instancia primitiva. La característica distintiva de los esquemas de instanciación puramente parametrizados es la falta de medios para combinar instancias y crear nuevas estructuras que representen objetos nuevos y más complejos. Otro inconveniente importante de este esquema es la dificultad de escribir algoritmos para calcular las propiedades de los sólidos representados. Se debe incorporar una cantidad considerable de información específica de cada familia en los algoritmos, por lo que cada primitiva genérica debe tratarse como un caso especial, lo que impide un tratamiento general uniforme.

Este esquema consiste esencialmente en una lista de celdas espaciales ocupadas por el sólido. Las celdas, también llamadas vóxeles , son cubos de tamaño fijo dispuestos en una cuadrícula espacial fija (aunque también son posibles otras disposiciones poliédricas, los cubos son la más sencilla). Cada celda puede representarse mediante las coordenadas de un único punto, como su centroide. Generalmente, se impone un orden de escaneo específico y el conjunto ordenado de coordenadas correspondiente se denomina matriz espacial . Las matrices espaciales son representaciones de sólidos unívocas y únicas, pero resultan demasiado extensas para su uso como representaciones "maestras" o definitorias. Sin embargo, pueden representar aproximaciones burdas de partes y pueden utilizarse para mejorar el rendimiento de los algoritmos geométricos, especialmente cuando se emplean junto con otras representaciones, como la geometría sólida constructiva .

Este esquema se deriva de las descripciones combinatorias (topológicas algebraicas) de sólidos detalladas anteriormente. Un sólido puede representarse mediante su descomposición en varias celdas. Los esquemas de enumeración de ocupación espacial son un caso particular de descomposiciones de celdas donde todas las celdas son cúbicas y se encuentran en una cuadrícula regular. Las descomposiciones de celdas proporcionan métodos convenientes para calcular ciertas propiedades topológicas de los sólidos, como su conectividad (número de piezas) y género (número de agujeros). Las descomposiciones de celdas en forma de triangulaciones son las representaciones utilizadas en elementos finitos 3D para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales. Otras descomposiciones de celdas, como la estratificación regular de Whitney o las descomposiciones de Morse, pueden utilizarse para aplicaciones en la planificación del movimiento de robots. ^{[ 6 ]}

De forma similar a la representación de contornos, se representa la superficie del objeto. Sin embargo, en lugar de estructuras de datos complejas y NURBS, se utiliza una malla de superficie simple compuesta por vértices y aristas. Las mallas de superficie pueden ser estructuradas (como las mallas triangulares en archivos STL o las mallas cuadriláteras con anillos horizontales y verticales de cuadriláteros) o no estructuradas, con triángulos agrupados aleatoriamente y polígonos de nivel superior.

La geometría sólida constructiva (CSG) es una familia de esquemas para representar sólidos rígidos como construcciones booleanas o combinaciones de primitivas mediante las operaciones de conjuntos regularizadas descritas anteriormente. Las representaciones CSG y de contorno son actualmente los esquemas de representación más importantes para sólidos. Las representaciones CSG adoptan la forma de árboles binarios ordenados, donde los nodos no terminales representan transformaciones rígidas ( isometrías que preservan la orientación ) u operaciones de conjuntos regularizadas. Los nodos terminales son hojas primitivas que representan conjuntos regulares cerrados. La semántica de las representaciones CSG es clara. Cada subárbol representa un conjunto resultante de aplicar las transformaciones/operaciones de conjuntos regularizadas indicadas sobre el conjunto representado por las hojas primitivas del subárbol. Las representaciones CSG son particularmente útiles para capturar la intención del diseño en forma de características que corresponden a la adición o eliminación de material ( protuberancias , agujeros , cavidades, etc.). Las propiedades atractivas de CSG incluyen concisión, validez garantizada de los sólidos, propiedades algebraicas booleanas computacionalmente convenientes y control natural de la forma de un sólido en términos de parámetros de alto nivel que definen las primitivas del sólido, sus posiciones y orientaciones. La estructura de datos relativamente simple y los elegantes algoritmos recursivos ^{[ 7 ]} han contribuido aún más a la popularidad de CSG.

La noción básica que subyace a los esquemas de barrido es simple. Un conjunto que se mueve por el espacio puede trazar o barrer un volumen (un sólido) que puede representarse mediante el conjunto móvil y su trayectoria. Esta representación es importante en aplicaciones como la detección del material retirado de una cortadora a medida que se mueve a lo largo de una trayectoria específica, el cálculo de la interferencia dinámica de dos sólidos que experimentan movimiento relativo, la planificación de movimiento e incluso en aplicaciones de gráficos por computadora, como el seguimiento de los movimientos de un pincel sobre un lienzo. La mayoría de los sistemas CAD comerciales ofrecen una funcionalidad (limitada) para construir sólidos barridos, principalmente en forma de una sección transversal bidimensional que se mueve en una trayectoria espacial transversal a la sección. Sin embargo, investigaciones recientes han demostrado varias aproximaciones de formas tridimensionales que se mueven a través de un parámetro, e incluso movimientos multiparamétricos.

Un método muy general para definir un conjunto de puntos X consiste en especificar un predicado que pueda evaluarse en cualquier punto del espacio. En otras palabras, X se define implícitamente como el conjunto de todos los puntos que satisfacen la condición especificada por el predicado. La forma más simple de un predicado es la condición sobre el signo de una función de valor real, lo que da lugar a la representación habitual de conjuntos mediante igualdades y desigualdades. Por ejemplo, si las condiciones , , y representan, respectivamente, un plano y dos semiplanos lineales abiertos . Se pueden definir primitivas funcionales más complejas mediante combinaciones booleanas de predicados más simples. Además, la teoría de las funciones R permite convertir dichas representaciones en una única desigualdad funcional para cualquier conjunto semianalítico cerrado. Dicha representación puede convertirse en una representación de frontera utilizando algoritmos de poligonización, por ejemplo, el algoritmo de cubos marchantes .${\displaystyle f=ax+by+cz+d}$${\displaystyle f(p)=0}$${\displaystyle f(p)>0}$${\displaystyle f(p)<0}$

Las características se definen como formas paramétricas asociadas con atributos tales como parámetros geométricos intrínsecos (longitud, anchura, profundidad, etc.), posición y orientación, tolerancias geométricas , propiedades del material y referencias a otras características. ^{[ 8 ]} Las características también proporcionan acceso a procesos de producción y modelos de recursos relacionados. Por lo tanto, las características tienen un nivel semántico superior al de los conjuntos regulares cerrados primitivos. Generalmente se espera que las características constituyan la base para vincular el CAD con las aplicaciones de fabricación posteriores, y también para organizar bases de datos para la reutilización de datos de diseño. El modelado paramétrico basado en características se combina frecuentemente con la geometría sólida binaria constructiva (CSG) para describir completamente sistemas de objetos complejos en ingeniería.

El desarrollo histórico de los modeladores sólidos debe verse en el contexto de toda la historia del CAD , siendo los hitos clave el desarrollo del sistema de investigación BUILD, seguido de su derivado comercial Romulus , que influyó en el desarrollo de Parasolid , ACIS y Solid Modeling Solutions . Uno de los primeros desarrolladores de CAD en la Comunidad de Estados Independientes (CEI), ASCON comenzó el desarrollo interno de su propio modelador sólido en la década de 1990. ^{[ 9 ]} En noviembre de 2012, la división matemática de ASCON se convirtió en una empresa independiente y se denominó C3D Labs . Se le asignó la tarea de desarrollar el núcleo de modelado geométrico C3D como un producto independiente, el único núcleo de modelado 3D comercial de Rusia. ^{[ 10 ]} Otras contribuciones provinieron de Mäntylä, con su GWB y del proyecto GPM, que aportó, entre otras cosas, técnicas de modelado híbrido a principios de la década de 1980. Fue también entonces cuando se concibió el lenguaje de programación de modelado sólido PLaSM en la Universidad de Roma.

El modelado de sólidos es solo el requisito mínimo de las capacidades de un sistema CAD . Los modeladores de sólidos se han vuelto comunes en los departamentos de ingeniería en los últimos diez años debido a la mayor velocidad de las computadoras y los precios competitivos del software. El software de modelado de sólidos crea una representación virtual en 3D de los componentes para el diseño y análisis de máquinas. ^{[ 11 ]} Una interfaz gráfica de usuario típica incluye macros programables, atajos de teclado y manipulación dinámica del modelo. Se enfatiza la capacidad de reorientar dinámicamente el modelo, en 3D sombreado en tiempo real, y ayuda al diseñador a mantener una imagen mental en 3D.

Un modelo de pieza sólida generalmente consta de un grupo de operaciones, añadidas una a una hasta completar el modelo. Los modelos sólidos de ingeniería se construyen principalmente con operaciones basadas en bocetos; bocetos 2D que se desplazan a lo largo de una trayectoria para convertirse en 3D. Estas pueden ser cortes o extrusiones, por ejemplo. El trabajo de diseño de componentes se realiza habitualmente en el contexto del producto completo mediante métodos de modelado de ensamblaje . Un modelo de ensamblaje incorpora referencias a los modelos de piezas individuales que componen el producto. ^{[ 12 ]}

Otro tipo de técnica de modelado es el modelado de superficies (o modelado de superficies de forma libre ). En este caso, las superficies se definen, recortan, fusionan y rellenan para formar sólidos. Generalmente, las superficies se definen con curvas de referencia en el espacio y una variedad de comandos complejos. El modelado de superficies es más complejo, pero resulta más adecuado para algunas técnicas de fabricación, como el moldeo por inyección. Los modelos sólidos para piezas moldeadas por inyección suelen incluir tanto modelado de superficies como funciones basadas en bocetos.

Los planos de ingeniería se pueden crear de forma semiautomática y hacen referencia a los modelos sólidos.

El modelado paramétrico utiliza parámetros para definir un modelo (por ejemplo, dimensiones). Algunos ejemplos de parámetros son: dimensiones utilizadas para crear las características del modelo, densidad del material, fórmulas para describir las características de barrido y datos importados (que describen una superficie de referencia, por ejemplo). El parámetro puede modificarse posteriormente, y el modelo se actualizará para reflejar la modificación. Normalmente, existe una relación entre piezas, ensamblajes y planos. Una pieza consta de varias características, y un ensamblaje consta de varias piezas. Los planos pueden crearse a partir de piezas o ensamblajes.

Ejemplo: Se crea un eje extruyendo un círculo de 100 mm. Se ensambla un cubo en el extremo del eje. Posteriormente, se modifica el eje para que tenga una longitud de 200 mm (haga clic en el eje, seleccione la dimensión de longitud y modifíquela a 200). Al actualizar el modelo, el eje tendrá una longitud de 200 mm, el cubo se reubicará en el extremo del eje donde se ensambló y los planos de ingeniería y las propiedades de masa reflejarán automáticamente todos los cambios.

Relacionadas con los parámetros, pero ligeramente diferentes, están las restricciones . Las restricciones son relaciones entre entidades que componen una forma particular. Para una ventana, los lados podrían definirse como paralelos y de la misma longitud. El modelado paramétrico es obvio e intuitivo. Pero durante las primeras tres décadas del CAD, esto no fue así. Modificar significaba volver a dibujar o agregar un nuevo corte o protuberancia sobre los antiguos. Las dimensiones en los planos de ingeniería se creaban , en lugar de mostrarse . El modelado paramétrico es muy potente, pero requiere más habilidad en la creación de modelos. Un modelo complejo para una pieza moldeada por inyección puede tener mil características, y modificar una característica inicial puede provocar fallos en las características posteriores. Los modelos paramétricos creados con habilidad son más fáciles de mantener y modificar. El modelado paramétrico también se presta a la reutilización de datos. Toda una familia de tornillos puede estar contenida en un solo modelo, por ejemplo.

Los modernos escáneres de tomografía axial computarizada y resonancia magnética permiten crear modelos sólidos de las estructuras internas del cuerpo, denominados modelos basados ​​en vóxeles , cuyas imágenes se generan mediante renderizado volumétrico . Los escáneres ópticos 3D permiten crear nubes de puntos o modelos de malla poligonal de las estructuras externas del cuerpo.

Usos del modelado sólido médico;

• Visualización
• Visualización de tejidos corporales específicos (solo vasos sanguíneos y tumores, por ejemplo).
• Diseño de prótesis , ortesis y otros dispositivos médicos y dentales (a veces se denomina personalización masiva ).
• Creación de modelos de malla poligonal para la creación rápida de prototipos (para ayudar a los cirujanos que se preparan para cirugías difíciles, por ejemplo).
• Combinación de modelos de malla poligonal con modelado sólido CAD (diseño de prótesis de cadera, por ejemplo).
• Análisis computacional de procesos biológicos complejos, por ejemplo, flujo de aire, flujo sanguíneo.
• Simulación computacional de nuevos dispositivos e implantes médicos in vivo

Si el uso va más allá de la visualización de los datos de escaneo, serán necesarios procesos como la segmentación de imágenes y la creación de mallas basadas en imágenes para generar una descripción geométrica precisa y realista de los datos de escaneo.

Dado que los programas CAD que se ejecutan en ordenadores comprenden la geometría real de las formas complejas, muchos atributos de un sólido 3D, como su centro de gravedad, volumen y masa, pueden calcularse rápidamente. Por ejemplo, el cubo con aristas redondeadas que se muestra al principio de este artículo mide 8,4 mm de lado a lado. A pesar de sus múltiples radios y la pirámide poco profunda en cada una de sus seis caras, sus propiedades se calculan fácilmente para el diseñador, como se muestra en la captura de pantalla de la derecha.

• Modelado de estructura alámbrica
• Modelado de superficie libre
• Geometría computacional
• Gráficos por computadora
• Dibujo de ingeniería
• Representación de la frontera de Euler
• PLASM – Lenguaje de Programación para el Modelado de Sólidos.
• Dibujo técnico

• Biblioteca sgCore para C++/C#
• La Asociación de Modelado Sólido