Regla de cálculo

La mayoría de las reglas de cálculo constan de tres partes:

• Marco o base : dos tiras de la misma longitud que se mantienen paralelas para formar un marco. 
• Deslizador : una tira central que puede moverse longitudinalmente con respecto al marco. 
• Cursor, guía o cristal : una pieza exterior deslizante con una línea fina para leer y alinear números con precisión. 

Algunas reglas de cálculo (modelos "dúplex") tienen escalas en ambos lados de la regla y la tira deslizante; otras, en un lado de las tiras exteriores y en ambos lados de la tira deslizante (que generalmente se puede extraer, voltear y volver a insertar para mayor comodidad); y otras, solo en un lado (reglas "simplex"). Un cursor deslizante con una línea de alineación vertical se utiliza para encontrar puntos correspondientes en escalas que no son adyacentes entre sí o, en los modelos dúplex, que se encuentran en el lado opuesto de la regla. El cursor también puede registrar un resultado intermedio en cualquiera de las escalas.

Las escalas se pueden agrupar en décadas , donde cada década corresponde a un rango de números que abarca una proporción de 10 (es decir, un rango de 10ⁿ ^a 10ⁿ ^{+ 1} ). Por ejemplo, el rango de 1 a 10 es una década, y el rango de 10 a 100 es otra década. Así, las escalas de una década (denominadas C y D) abarcan de 1 a 10 a lo largo de toda la regla de cálculo, mientras que las escalas de dos décadas (denominadas A y B) abarcan de 1 a 100 a lo largo de toda la regla de cálculo.

Las siguientes identidades logarítmicas transforman las operaciones de multiplicación y división en suma y resta, respectivamente:

$${\displaystyle \log(x\times y)=\log(x)+\log(y)\,,}$$$${\displaystyle \log(x/y)=\log(x)-\log(y)\,.}$$

Además de las escalas logarítmicas, algunas reglas de cálculo tienen otras funciones matemáticas codificadas en escalas auxiliares. Las más populares son las trigonométricas (generalmente seno y tangente ) , el logaritmo común (log 10 ) (para calcular el logaritmo de un valor en una escala multiplicativa), el logaritmo natural (ln) y la exponencial ( e ^x ). Otras incluyen escalas para calcular funciones hiperbólicas . En las reglas lineales, las escalas y su etiquetado están altamente estandarizados, y la variación suele ocurrir solo en cuanto a qué escalas se incluyen y en qué orden. ^{[ 6 ]}

Utilizando (casi) cualquier escala estrictamente monótona , también se pueden realizar otros cálculos con un solo movimiento. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Por ejemplo, se pueden utilizar escalas cuadráticas para resolver${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$, utilizado, por ejemplo, por el teorema de Pitágoras . Se pueden utilizar escalas recíprocas para la igualdad:$${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {1}{z}},}$$lo cual es útil para calcular resistencias en paralelo , potencia óptica , media armónica , etc.

El ancho de la regla de cálculo se indica en términos del ancho nominal de las escalas. Las escalas de los modelos más comunes de "10 pulgadas" miden en realidad 25  cm, ya que se fabricaron según el sistema métrico, aunque algunas reglas ofrecen escalas ligeramente extendidas para simplificar la manipulación cuando el resultado se desborda. Las reglas de bolsillo suelen medir 5  pulgadas (12  cm). Los modelos de un par de metros (yardas) de ancho se fabricaban para colgarlos en las aulas con fines didácticos. ^{[ 10 ]}

Normalmente, las divisiones marcan una escala con una precisión de dos cifras significativas , y el usuario estima la tercera cifra. Algunas reglas de cálculo de alta gama cuentan con cursores de aumento que facilitan la visualización de las marcas. Estos cursores pueden duplicar la precisión de las lecturas, permitiendo que una regla de cálculo de 10 pulgadas funcione tan bien como un modelo de 20 pulgadas.

Se han desarrollado otras comodidades. Las escalas trigonométricas a veces tienen doble etiquetado, en negro y rojo, con ángulos complementarios, el llamado estilo "Darmstadt". Las reglas de cálculo dúplex suelen duplicar algunas de las escalas en el reverso. Las escalas a menudo se "dividen" para obtener mayor precisión. Por ejemplo, en lugar de leer de una escala A a una escala D para hallar una raíz cuadrada, puede ser posible leer de una escala D a una escala R1 que va de 1 a la raíz cuadrada de 10 o a una escala R2 que va de la raíz cuadrada de 10 a 10, donde tener más subdivisiones marcadas puede resultar en la posibilidad de leer una respuesta con una cifra significativa más.

Las reglas de cálculo circulares se presentan en dos tipos básicos: una con dos cursores y otra con un plato libre y un cursor. Las versiones con dos cursores realizan multiplicaciones y divisiones manteniendo un ángulo constante entre ellos al girarlos alrededor del dial. La versión con un solo cursor funciona de forma similar a la regla de cálculo estándar, mediante la alineación adecuada de las escalas.

La principal ventaja de una regla de cálculo circular es que su dimensión más ancha se redujo en un factor de aproximadamente 3 (es decir, en π ). Por ejemplo, una regla circular de 10 cm (3,9 pulg.) tendría una precisión máxima aproximadamente igual a la de una regla de cálculo ordinaria de 31,4 cm (12,4 pulg.) . Las reglas de cálculo circulares también eliminan los cálculos "fuera de escala", ya que las escalas se diseñaron para "envolver" la regla; nunca es necesario reorientarlas cuando los resultados están cerca de 1,0: la regla siempre está a escala. Sin embargo, para escalas no cíclicas ni espirales, como las de S, T y LL, el ancho de la escala se reduce para dejar espacio para los márgenes de los extremos. ^{[ 11 ]}    

Las reglas de cálculo circulares son mecánicamente más robustas y tienen un movimiento más suave, pero la precisión de la alineación de sus escalas es sensible al centrado de un pivote central; una mínima desviación de 0,1 mm (0,0039 pulg.) del pivote puede resultar en un error de alineación de 0,2 mm (0,0079 pulg.) en el peor de los casos. El pivote evita que se rayen la superficie y los cursores. Las escalas de mayor precisión se colocan en los anillos exteriores. En lugar de escalas "divididas", las reglas circulares de alta gama utilizan escalas espirales para operaciones más complejas, como las escalas logarítmicas. Una regla circular premium de ocho pulgadas tenía una escala logarítmica espiral de 50 pulgadas. Alrededor de 1970, un modelo económico de BC Boykin (Modelo 510) presentaba 20 escalas, incluidas escalas CD (multiplicación) y logarítmicas de 50 pulgadas. La RotaRule presentaba un freno de fricción para el cursor.    

Las principales desventajas de las reglas de cálculo circulares son la dificultad para ubicar las figuras en el plato y el número limitado de escalas. Otro inconveniente es que las escalas menos importantes están más cerca del centro y tienen menor precisión. La mayoría de los estudiantes aprendieron primero con reglas de cálculo lineales.

Una regla de cálculo que aún se usa a diario en todo el mundo es la E6-B . Se trata de una regla de cálculo circular creada en la década de 1930 para ayudar a los pilotos de aeronaves con la navegación a estima . Con la ayuda de escalas impresas en el marco, también ayuda con tareas diversas como la conversión de valores de tiempo, distancia, velocidad y temperatura, errores de brújula y el cálculo del consumo de combustible. La llamada "rueda de oración" todavía está disponible en tiendas de aviación y sigue siendo muy utilizada. Si bien el GPS ha reducido el uso de la navegación a estima para la navegación aérea y las calculadoras de mano han asumido muchas de sus funciones, la E6-B sigue siendo muy utilizada como dispositivo principal o de respaldo, y la mayoría de las escuelas de vuelo exigen que sus alumnos tengan cierto dominio de su uso.

Las ruedas de proporción son reglas de cálculo circulares sencillas que se utilizan en diseño gráfico para calcular las proporciones . Al alinear los valores de tamaño original y deseado en las ruedas interior y exterior, se muestra su proporción como un porcentaje en una pequeña ventana. Aunque no son tan comunes desde la llegada del diseño asistido por ordenador, todavía se fabrican y se utilizan.

En 1952, la empresa relojera suiza Breitling presentó un reloj de pulsera para pilotos con una regla de cálculo circular integrada, especializada en cálculos de vuelo: el Breitling Navitimer . La regla circular Navitimer, a la que Breitling se refería como una "computadora de navegación", incluía funciones de velocidad aerodinámica , tasa /tiempo de ascenso/descenso, tiempo de vuelo, distancia y consumo de combustible, así como funciones de conversión de kilómetros a millas náuticas y de galones a litros de combustible.

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  Una sencilla regla de cálculo circular, fabricada por Concise Co., Ltd., Tokio, Japón, con escalas únicamente inversa, cuadrada y cúbica. En el reverso se incluye una práctica lista de 38 factores de conversión métrica / imperial .
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  Una regla de cálculo circular rusa construida como un reloj de bolsillo que funciona como una regla de cálculo de cursor único ya que las dos agujas están unidas.
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  Una regla de cálculo de dos escalas integrada en un anillo.
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  Regla de cálculo circular Pickett con dos cursores. (  10,9  cm de ancho). El reverso tiene una escala adicional y un cursor.
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  Reloj de pulsera Breitling Navitimer con regla de cálculo circular
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  La parte frontal de una Boykin RotaRule Modelo 510
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  La parte trasera de una Boykin RotaRule Modelo 510
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  Calculadora de bolsillo Sperry 4016 estilo reloj de bolsillo

Las reglas de cálculo cilíndricas se fabrican en dos estilos: con escalas helicoidales, como la calculadora Fuller , la Otis King y la regla de cálculo Bygrave , y con barras, como la Thacher y algunos modelos Loga. En ambos casos, la ventaja reside en una escala mucho más larga y, por lo tanto, en una precisión potencialmente mayor que la que ofrece una regla recta o circular.

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  Calculadora Fuller, 1928
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  Modelo K de Otis King
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  Regla de cálculo Bygrave
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  Regla de cálculo Thacher, c. 1890

Tradicionalmente, las reglas de cálculo se fabricaban con madera dura relativamente densa y estable, como la caoba o el boj, con cursores de vidrio y metal. También se utilizaba aluminio, y al menos un instrumento de alta precisión se fabricaba de acero.

En 1895, la empresa japonesa Hemmi comenzó a fabricar reglas de cálculo de bambú revestido de celuloide , que presentaba las ventajas de ser dimensionalmente estable, resistente y autolubricante natural. Estas reglas de cálculo de bambú se introdujeron en Suecia en septiembre de 1933 ^{[ 12 ]} y probablemente un poco antes en Alemania.

Las escalas también se fabricaban con celuloide u otros polímeros, o se imprimían sobre aluminio. Los cursores posteriores se moldeaban con acrílicos o policarbonato , a veces con superficies de apoyo de teflón .

Todas las reglas de cálculo de alta gama tenían números y escalas grabados en profundidad y luego rellenos con pintura u otra resina . Las reglas de cálculo pintadas o impresas se consideraban inferiores, ya que las marcas podían borrarse o dañarse químicamente. Sin embargo, Pickett & Eckel, una empresa estadounidense de reglas de cálculo, fabricaba únicamente reglas con escalas impresas. Las reglas de cálculo de alta gama incluían ingeniosos cierres mecánicos para evitar que la regla se desarmara accidentalmente y topes para proteger las escalas y el cursor del roce con la mesa.

En 1859, el teniente de artillería francés Amédée Mannheim creó una versión más moderna de la regla de cálculo. Mannheim tuvo la fortuna de que su regla fuera fabricada por una empresa de renombre nacional y de que la Artillería Francesa la adoptara. La regla de Mannheim presentaba dos modificaciones importantes que facilitaban su uso en comparación con las reglas de cálculo de uso general anteriores. Estas reglas contaban con cuatro escalas básicas: A, B, C y D. La escala D era la única escala logarítmica de una década; la escala C tenía dos décadas, al igual que las escalas A y B. La mayoría de las operaciones se realizaban en las escalas A y B; la escala D se utilizaba únicamente para calcular cuadrados y raíces cuadradas.

Mannheim modificó la escala C a una escala de una sola década y realizó la mayoría de las operaciones con C y D en lugar de A y B. Gracias a que las escalas C y D eran de una sola década, se podían leer con mayor precisión, lo que mejoraba la exactitud de los resultados de la regla. Este cambio también facilitó la inclusión de cuadrados y raíces cuadradas en cálculos más complejos. La regla de Mannheim, a diferencia de casi todas las reglas anteriores, contaba además con un cursor, lo que permitía comparar cualquiera de las escalas de forma sencilla y precisa a lo largo de toda la regla. La «regla de Mannheim» se convirtió en la disposición estándar de las reglas de cálculo a finales del siglo XIX y siguió siendo un estándar común durante toda la era de las reglas de cálculo.

El auge de la ingeniería a finales del siglo XIX impulsó el uso generalizado de la regla de cálculo, que comenzó en Europa y finalmente se extendió también a Estados Unidos. La regla dúplex fue inventada por William Cox en 1891 y fabricada por Keuffel and Esser Co. de Nueva York. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

En 1881, el inventor estadounidense Edwin Thacher presentó su regla cilíndrica, que tenía una escala mucho más larga que las reglas lineales estándar y, por lo tanto, permitía realizar cálculos con mayor precisión, de entre cuatro y cinco cifras significativas. Sin embargo, la regla de Thacher era bastante cara y no portátil, por lo que su uso fue mucho más limitado que el de las reglas de cálculo convencionales.

El trabajo astronómico también requería cálculos precisos, y en la Alemania del siglo XIX se utilizaba en un observatorio una regla de cálculo de acero de unos dos metros de largo. Tenía un microscopio acoplado, lo que le proporcionaba una precisión de seis decimales.

En la década de 1920, el novelista e ingeniero Nevil Shute Norway (quien tituló su autobiografía Regla de cálculo ) fue el jefe de cálculo en el diseño del dirigible británico R100 para Vickers Ltd. desde 1924. Los cálculos de tensión para cada marco transversal requerían que dos personas realizaran cálculos utilizando reglas de cálculo cilíndricas de Fuller durante dos o tres meses. La ecuación simultánea contenía hasta siete incógnitas, tardaba aproximadamente una semana en resolverse y debía repetirse con una selección diferente de cables flojos si la suposición sobre cuál de los ocho cables radiales estaba flojo era errónea y uno de los cables considerados flojos no lo estaba. Después de meses de trabajo llenando quizás cincuenta hojas de papel con cálculos, "la verdad se reveló y produjo una satisfacción casi comparable a una experiencia religiosa". ^{[ 18 ]}

En 1937, la física Lucy Hayner diseñó y construyó una regla de cálculo circular en Braille . ^{[ 19 ]}

Durante las décadas de 1950 y 1960, la regla de cálculo fue el símbolo de la profesión de ingeniero, del mismo modo que el estetoscopio lo es de la profesión médica. ^{[ 20 ]}

Las reglas de cálculo de aluminio de la marca Pickett se utilizaron en las misiones espaciales del Proyecto Apolo . El modelo N600-ES, propiedad de Buzz Aldrin , que viajó con él a la Luna en el Apolo 11, se vendió en una subasta en 2007. ^{[ 21 ]} El modelo N600-ES que se llevó en el Apolo 13 en 1970 pertenece al Museo Nacional del Aire y el Espacio . ^{[ 22 ]}

Algunos estudiantes de ingeniería e ingenieros llevaban reglas de cálculo de diez pulgadas en fundas de cinturón, algo común en los campus incluso hasta mediados de la década de 1970. Hasta la llegada de la calculadora digital de bolsillo, los estudiantes también podían tener una regla de diez o veinte pulgadas para trabajos de precisión en casa o en la oficina ^{[ 23 ]} , mientras llevaban consigo una regla de cálculo de bolsillo de cinco pulgadas.

En 2004, los investigadores educativos David B. Sher y Dean C. Nataro concibieron un nuevo tipo de regla de cálculo basada en la prostaféresis , un algoritmo para calcular rápidamente productos que es anterior a los logaritmos. Sin embargo, ha habido poco interés práctico en construir una más allá del prototipo inicial. ^{[ 24 ]}

Las reglas de cálculo se han especializado con frecuencia en diversos grados para su campo de uso, como impuestos especiales, cálculo de pruebas, ingeniería, navegación, etc., y algunas son extremadamente especializadas para aplicaciones muy específicas. Por ejemplo, el catálogo de John Rabone & Sons de 1892 incluye una "Cinta métrica y medidor de ganado", un dispositivo para estimar el peso de una vaca a partir de sus medidas.

Existían numerosas reglas de cálculo especializadas para aplicaciones fotográficas. Por ejemplo, el actinógrafo de Hurter y Driffield era un dispositivo de dos hojas, fabricado en boj, latón y cartón, que permitía estimar la exposición a partir de la hora del día, la época del año y la latitud.

Se inventaron reglas de cálculo especializadas para diversas áreas de la ingeniería, los negocios y la banca. Estas reglas solían expresar cálculos comunes directamente mediante escalas especiales, como por ejemplo, cálculos de préstamos, cantidades óptimas de compra o ecuaciones de ingeniería específicas. Por ejemplo, la empresa Fisher Controls distribuyó una regla de cálculo personalizada adaptada para resolver las ecuaciones utilizadas para seleccionar el tamaño adecuado de las válvulas de control de flujo industriales. ^{[ 25 ]}

Las reglas de cálculo para globos piloto eran utilizadas por los meteorólogos de los servicios meteorológicos para determinar las velocidades del viento en las capas superiores de un globo piloto lleno de hidrógeno o helio en ascenso. ^{[ 26 ]}

La E6-B es una regla de cálculo circular utilizada por pilotos y navegantes.

Las reglas de cálculo circulares para estimar las fechas de ovulación y la fertilidad se conocen como calculadoras de rueda . ^{[ 27 ]}

Una publicación del Departamento de Defensa de 1962 ^{[ 28 ]} incluyó, tristemente célebre, una regla de cálculo circular de propósito especial para calcular los efectos de la explosión, la sobrepresión y la exposición a la radiación de una determinada potencia de una bomba atómica. ^{[ 29 ]}

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  Un ordenador de aviación E6-B
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  Medidor de ganado John Rabone & Sons, 1892
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  Actinógrafo de Hurter y Driffield
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  Regla de cálculo criptográfica utilizada por el ejército suizo entre 1914 y 1940.
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  Suma fraccionaria rara

La importancia de la regla de cálculo comenzó a disminuir a medida que las computadoras electrónicas, un recurso nuevo pero escaso en la década de 1950, se volvieron más accesibles para los trabajadores técnicos durante la década de 1960.

El primer paso para dejar atrás las reglas de cálculo fue la introducción de calculadoras científicas electrónicas de escritorio relativamente económicas . Entre ellas se encontraban la Wang Laboratories LOCI-2, ^{[ 30 ] [ 31 ]} presentada en 1965, que utilizaba logaritmos para la multiplicación y la división; y la Hewlett-Packard HP 9100A , presentada en 1968. ^{[ 32 ]} Ambas eran programables y proporcionaban funciones exponenciales y logarítmicas; la HP también incluía funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) y funciones trigonométricas hiperbólicas. La HP utilizaba el algoritmo CORDIC (computadora digital de rotación de coordenadas), ^{[ 33 ]} que permite el cálculo de funciones trigonométricas utilizando únicamente operaciones de desplazamiento y suma. Este método facilitó el desarrollo de calculadoras científicas cada vez más pequeñas.

Al igual que con la informática central, la disponibilidad de estas computadoras de escritorio no afectó significativamente el uso generalizado de la regla de cálculo, hasta que a mediados de la década de 1970 aparecieron las calculadoras científicas electrónicas portátiles económicas, momento en el que su uso disminuyó rápidamente. La calculadora científica de bolsillo Hewlett-Packard HP-35 fue el primer dispositivo portátil de este tipo, pero costaba 395 dólares estadounidenses en 1972 (equivalente a 3040 dólares en 2025) . Esto era justificable para algunos profesionales de la ingeniería, pero demasiado caro para la mayoría de los estudiantes. 

Alrededor de 1974, las calculadoras científicas electrónicas portátiles de menor costo comenzaron a dejar obsoletas en gran medida las reglas de cálculo. ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]} Para 1975, las calculadoras electrónicas básicas de cuatro funciones se podían comprar por menos de $50 (equivalente a $ 299 en 2025 ), y para 1976 la calculadora científica TI-30 se vendía por menos de $25 (equivalente a $ 141 en 2025 ).

1980 fue el último año en que la Liga Interescolar Universitaria (UIL) de Texas utilizó reglas de cálculo. La UIL se había organizado originalmente en 1910 para administrar eventos literarios, pero también se había convertido en el organismo rector de los eventos deportivos escolares. ^{[ 38 ]}