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Morfismo de esquemas

En geometría algebraica , un morfismo de esquemas generaliza un morfismo de variedades algebraicas del mismo modo que un esquema generaliza una variedad algebraica . Por definic...

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En geometría algebraica , un morfismo de esquemas generaliza un morfismo de variedades algebraicas del mismo modo que un esquema generaliza una variedad algebraica . Por definición, es un morfismo en la categoría de esquemas.

Un morfismo de pilas algebraicas generaliza un morfismo de esquemas.

Definición

Por definición, un morfismo de esquemas es simplemente un morfismo de espacios localmente anillados . Los isomorfismos se definen en consecuencia.

Un esquema, por definición, tiene cartas afines abiertas y, por lo tanto, un morfismo de esquemas también puede describirse en términos de tales cartas (compárese con la definición de morfismo de variedades ). [ 1 ] Sea ƒ: X → Y un morfismo de esquemas. Si x es un punto de X , como ƒ es continua, existen subconjuntos afines abiertos U = Spec A de X que contienen a x y V = Spec B de Y tales que ƒ( U ) ⊆ V . Entonces ƒ: U → V es un morfismo de esquemas afines y, por lo tanto, está inducido por algún homomorfismo de anillos B → A (cf. #Caso afín .) De hecho, se puede usar esta descripción para "definir" un morfismo de esquemas; se dice que ƒ: X → Y es un morfismo de esquemas si está inducido localmente por homomorfismos de anillos entre anillos de coordenadas de cartas afines.

  • Nota : No sería deseable definir un morfismo de esquemas como un morfismo de espacios anillados. Una razón trivial es que existe un ejemplo de un morfismo de espacio anillado entre esquemas afines que no está inducido por un homomorfismo de anillos (por ejemplo, [ 2 ] un morfismo de espacios anillados:
    Especulación⁡k(incógnita)→Especulación⁡k[y](y)={η=(0),s=(y)}{\displaystyle \operatorname {Spec} k(x)\to \operatorname {Spec} k[y]_{(y)}=\{\eta =(0),s=(y)\}}
que envía el punto único a s y que viene conk[y](y)→k(incógnita),y↦incógnita{\displaystyle k[y]_{(y)}\to k(x),\,y\mapsto x}). De manera más conceptual, la definición de un morfismo de esquemas necesita capturar la " naturaleza local de Zariski " o la localización de anillos ; [ 3 ] este punto de vista (es decir, un espacio localmente anillado) es esencial para una generalización ( topos ).

Sea f  : X → Y un morfismo de esquemas conϕ:OY→F∗Oincógnita{\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} . Entonces, para cada punto x de X , el homomorfismo en los tallos:

ϕ:OY,F(incógnita)→Oincógnita,incógnita{\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}

es un homomorfismo de anillo local : es decir,ϕ(metroF(incógnita))⊆metroincógnita{\displaystyle \phi ({\mathfrak {m}}_{f(x)})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}}y, por lo tanto, induce un homomorfismo inyectivo de campos residuales.

ϕ:k(F(incógnita))↪k(incógnita){\displaystyle \phi :k(f(x))\hookrightarrow k(x)}.

(De hecho, φ mapea la n -ésima potencia de un ideal maximal a la n -ésima potencia del ideal maximal y, por lo tanto, induce el mapeo entre los espacios cotangentes (de Zariski) .)

Para cada esquema X , existe un morfismo natural.

θ:incógnita→Especulación⁡Γ(incógnita,Oincógnita),{\displaystyle \theta :X\to \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),}

que es un isomorfismo si y solo si X es afín; θ se obtiene pegando U → objetivo que provienen de restricciones a subconjuntos afines abiertos U de X. Este hecho también puede enunciarse de la siguiente manera: para cualquier esquema X y un anillo A , existe una biyección natural:

Mor⁡(incógnita,Especulación⁡(A))≅Inicio⁡(A,Γ(incógnita,Oincógnita)).{\displaystyle \operatorname {Mor} (X,\operatorname {Spec} (A))\cong \operatorname {Hom} (A,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})).}

(Prueba: El mapaϕ↦Especulación⁡(ϕ)∘θ{\displaystyle \phi \mapsto \operatorname {Spec} (\phi )\circ \theta }De derecha a izquierda es la biyección requerida. En resumen, θ es una adjunción.

Además, este hecho (relación adjunta) puede utilizarse para caracterizar un esquema afín : un esquema X es afín si y solo si para cada esquema S , el mapa natural

Mor⁡(S,incógnita)→Inicio⁡(Γ(incógnita,Oincógnita),Γ(S,OS)){\displaystyle \operatorname {Mor} (S,X)\to \operatorname {Hom} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))}

es biyectiva. [ 4 ] (Demostración: si las aplicaciones son biyectivas, entoncesMor⁡(−,incógnita)≃Mor⁡(−,Especulación⁡Γ(incógnita,Oincógnita)){\displaystyle \operatorname {Mor} (-,X)\simeq \operatorname {Mor} (-,\operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))}y X es isomorfo aEspeculación⁡Γ(incógnita,Oincógnita){\displaystyle \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}(Según el lema de Yoneda ; lo contrario es evidente).

Un morfismo como esquema relativo

Fijemos un esquema S , llamado esquema base . Entonces, un morfismopag:incógnita→S{\displaystyle p:X\to S}Se denomina esquema sobre S o esquema S ; la idea de la terminología es que se trata de un esquema X junto con una aplicación al esquema base S. Por ejemplo, un fibrado vectorial E → S sobre un esquema S es un esquema S.

Un S -morfismo de p : X → S a q : Y → S es un morfismo ƒ: X → Y de esquemas tales que p = q ∘ ƒ. Dado un S -esquemaincógnita→S{\displaystyle X\to S}, considerando S como un esquema S sobre sí mismo a través del mapa identidad, un morfismo SS→incógnita{\displaystyle S\to X}se denomina sección S o simplemente sección .

Todos los esquemas S forman una categoría: un objeto de la categoría es un esquema S y un morfismo de la categoría es un morfismo S. (Esta categoría es la categoría de rebanadas de la categoría de esquemas con el objeto base S ).

caso afín

Dejarφ:B→A{\displaystyle \varphi :B\to A}Sea un homomorfismo de anillos y sea

{φa:Especulación⁡A→Especulación⁡B,pag↦φ−1(pag){\displaystyle {\begin{cases}\varphi ^{a}:\operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} B,\\{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\end{cases}}}

sea ​​el mapa inducido. Entonces

  • φa{\displaystyle \varphi ^{a}}es continuo. [ 5 ]
  • Siφ{\displaystyle \varphi }es sobreyectiva, entoncesφa{\displaystyle \varphi ^{a}}es un homeomorfismo sobre su imagen. [ 6 ]
  • Para cada yo ideal de A ,φa(V(I))¯=V(φ−1(I)).{\displaystyle {\overline {\varphi ^{a}(V(I))}}=V(\varphi ^{-1}(I)).}[ 7 ]
  • φa{\displaystyle \varphi ^{a}}tiene imagen densa si y solo si el núcleo deφ{\displaystyle \varphi }consta de elementos nilpotentes . (Demostración: la fórmula anterior con I = 0.) En particular, cuando B se reduce,φa{\displaystyle \varphi ^{a}}tiene imagen densa si y solo siφ{\displaystyle \varphi }es inyectivo.

Sea f : Spec A → Spec B un morfismo de esquemas entre esquemas afines con la aplicación de retroceso.φ{\displaystyle \varphi }: B → A . Que sea un morfismo de espacios localmente anillados se traduce en la siguiente afirmación: siincógnita=pagincógnita{\displaystyle x={\mathfrak {p}}_{x}}es un punto de la Especificación A ,

pagF(incógnita)=φ−1(pagincógnita){\displaystyle {\mathfrak {p}}_{f(x)}=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}_{x})}.

(Prueba: En general,pagincógnita{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{x}}consiste en g en A que tiene imagen cero en el campo residual k ( x ); es decir, tiene la imagen en el ideal máximometroincógnita{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}. Por lo tanto, trabajando en los anillos locales,gramo(F(incógnita))=0⇒φ(gramo)∈φ(metroF(incógnita)))⊆metroincógnita⇒gramo∈φ−1(metroincógnita){\displaystyle g(f(x))=0\Rightarrow \varphi (g)\in \varphi ({\mathfrak {m}}_{f(x))})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}\Rightarrow g\in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}. Sigramo(F(incógnita))≠0{\displaystyle g(f(x))\neq 0}, entoncesgramo{\displaystyle g}es un elemento unitario y por lo tantoφ(gramo){\displaystyle \varphi (g)}es un elemento unitario.)

Por lo tanto, cada homomorfismo de anillos B → A define un morfismo de esquemas Spec A → Spec B y, recíprocamente, todos los morfismos entre ellos surgen de esta manera.

Ejemplos

Los básicos

  • Sea R un cuerpo oZ.{\displaystyle \mathbb {Z} .}Para cada R -álgebra A , especificar un elemento de A , digamos f en A , es dar un homomorfismo de R -álgebras.R[t]→A{\displaystyle R[t]\to A}de tal manera quet↦F{\displaystyle t\mapsto f}. De este modo,A=InicioR−algoritmo⁡(R[t],A){\displaystyle A=\operatorname {Hom} _{R-{\text{alg}}}(R[t],A)}. Si X es un esquema sobre S = Spec R , entonces tomandoA=Γ(incógnita,Oincógnita){\displaystyle A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}y utilizando el hecho de que Spec es un adjunto derecho del functor de sección global, obtenemosΓ(incógnita,Oincógnita)=MorS⁡(incógnita,AS1){\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {A} _{S}^{1})}dóndeAS1=Especulación⁡(R[t]){\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}Nótese que la igualdad es la de los anillos.
  • De manera similar, para cualquier esquema S X , existe la identificación de los grupos multiplicativos:Γ(incógnita,Oincógnita∗)=MorS⁡(incógnita,GRAMOmetro){\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {G} _{m})}dóndeGRAMOmetro=Especulación⁡(R[t,t−1]){\displaystyle \mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} (R[t,t^{-1}])}es el esquema de grupo multiplicativo .
  • Muchos ejemplos de morfismos provienen de familias parametrizadas por algún espacio base. Por ejemplo,Proyecto(do[incógnita,y][a,b,do](aincógnita2+bincógnitay+doy2))→Proyecto(do[a,b,do])=PAGa,b,do2{\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y][a,b,c]}{(ax^{2}+bxy+cy^{2})}}\right)\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [a,b,c])=\mathbb {P} _{a,b,c}^{2}}es un morfismo proyectivo de variedades proyectivas donde el espacio base parametriza las cuádricas enPAG1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}.

Morfismo de grafos

Dado un morfismo de esquemasF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}sobre un esquema S , el morfismoincógnita→incógnita×SY{\displaystyle X\to X\times _{S}Y}al producto de fibra inducido por la identidad1incógnita:incógnita→incógnita{\displaystyle 1_{X}:X\to X}y f se llama morfismo de grafos de f . El morfismo de grafos de la identidad se llama morfismo diagonal .

Tipos de morfismos

Tipo finito

Los morfismos de tipo finito son una de las herramientas básicas para construir familias de variedades. Un morfismoF:incógnita→S{\displaystyle f:X\to S}es de tipo finito si existe una cubiertaEspeculación⁡(Ai)→S{\displaystyle \operatorname {Spec} (A_{i})\to S}de tal manera que las fibrasincógnita×SEspeculación⁡(Ai){\displaystyle X\times _{S}\operatorname {Spec} (A_{i})}puede ser cubierto por un número finito de esquemas afinesEspeculación⁡(Bij){\displaystyle \operatorname {Spec} (B_{ij})}realizando los morfismos de anillo inducidosAi→Bij{\displaystyle A_{i}\to B_{ij}}en morfismos de tipo finito . Un ejemplo típico de un morfismo de tipo finito es una familia de esquemas. Por ejemplo,

Especulación⁡(Z[incógnita,y,z](incógnitanorte+zynorte,z5−1))→Especulación⁡(Z[z](z5−1)){\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{(x^{n}+zy^{n},z^{5}-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [z]}{(z^{5}-1)}}\right)}

es un morfismo de tipo finito. Un ejemplo sencillo que no es un morfismo de tipo finito esEspeculación⁡(k[incógnita1,incógnita2,incógnita3,…]))→Especulación⁡(k){\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]))\to \operatorname {Spec} (k)}dóndek{\displaystyle k}es un campo. Otro es una unión disjunta infinita

∐∞incógnita→incógnita{\displaystyle \coprod ^{\infty }X\to X}

Inmersión cerrada

Un morfismo de esquemasi:Z→incógnita{\displaystyle i:Z\to X}Se considera una inmersión cerrada si se cumplen las siguientes condiciones:

  1. i{\displaystyle i}define un homeomorfismo deZ{\displaystyle Z}sobre su imagen
  2. i#:Oincógnita→i∗OZ{\displaystyle i^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}es sobreyectiva.

Esta condición es equivalente a la siguiente: dado un abierto afínEspeculación⁡(R)=U⊆incógnita{\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=U\subseteq X}existe un idealI⊆R{\displaystyle I\subseteq R}de tal manera quei−1(U)=Especulación⁡(R/I){\displaystyle i^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}.

Ejemplos

Por supuesto, cualquier cociente (calificado)R/I{\displaystyle R/I}define un subesquema deEspeculación⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}(Proyecto⁡(R){\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}). Consideremos el esquema cuasi-afínA2−{0}{\displaystyle \mathbb {A} ^{2}-\{0\}}y el subconjunto de laincógnita{\displaystyle x}-eje contenido enincógnita{\displaystyle X}. Entonces, si tomamos el subconjunto abiertoEspeculación⁡(k[incógnita,y,y−1]){\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,y^{-1}])}El haz ideal es(incógnita){\displaystyle (x)}mientras que en la apertura afínEspeculación⁡(k[incógnita,y,incógnita−1]){\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,x^{-1}])}No existe un ideal ya que el subconjunto no interseca este gráfico.

Apartado

Los morfismos separados definen familias de esquemas que son análogos a los espacios topológicos de Hausdorff . Por ejemplo, dado un morfismo separadoincógnita→S{\displaystyle X\to S}enEscuela/do{\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {C} }los espacios analíticos asociadosincógnita(do)anorte→S(do)anorte{\displaystyle X(\mathbb {C} )^{an}\to S(\mathbb {C} )^{an}}son ambos Hausdorff. Decimos que es un morfismo de esquemas.F:incógnita→S{\displaystyle f:X\to S}se separa si el morfismo diagonalΔincógnita/S:incógnita→incógnita×Sincógnita{\displaystyle \Delta _{X/S}:X\to X\times _{S}X}es una inmersión cerrada. En topología, una condición análoga para un espacioincógnita{\displaystyle X}ser Hausdorff es si el conjunto diagonal

Δ={(incógnita,incógnita)∈incógnita×incógnita}{\displaystyle \Delta =\{(x,x)\in X\times X\}}

es un subconjunto cerrado deincógnita×incógnita{\displaystyle X\times X}Sin embargo, la mayoría de los esquemas no son Hausdorff como espacios topológicos, ya que la topología de Zariski es, en general, altamente no Hausdorff.

Ejemplos

La mayoría de los morfismos encontrados en la teoría de esquemas se separarán. Por ejemplo, consideremos el esquema afín.

incógnita=Especulación⁡(do[incógnita,y](F)){\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}

encimaEspeculación⁡(do).{\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ).}Dado que el esquema del producto es

incógnita×doincógnita=Especulación⁡(do[incógnita,y](F)⊗dodo[incógnita,y](F)){\displaystyle X\times _{\mathbb {C} }X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}

El ideal que define la diagonal se genera mediante

incógnita⊗1−1⊗incógnita,y⊗1−1⊗y{\displaystyle x\otimes 1-1\otimes x,y\otimes 1-1\otimes y}

Esto demuestra que el esquema diagonal es afín y cerrado. Este mismo cálculo puede utilizarse para demostrar que los esquemas proyectivos también están separados.

No ejemplos

El único momento en que se debe tener cuidado es al unir una familia de esquemas . Por ejemplo, si tomamos el diagrama de inclusiones

Especulación⁡(R[incógnita,incógnita−1])↘Especulación⁡(R[incógnita])↗Especulación⁡(R[incógnita,incógnita−1]){\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\\&\searrow &\\&&\operatorname {Spec} (R[x])\\&\nearrow &\\\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\end{matrix}}}

Entonces obtenemos el análogo teórico de esquemas de la línea clásica con dos orígenes.

Adecuado

Un morfismoF:incógnita→S{\displaystyle f:X\to S}se llama propio si es

  1. apartado
  2. de tipo finito
  3. cerrado universalmente.

La última condición significa que dado un morfismoS′→S{\displaystyle S'\to S}el morfismo de cambio de baseS′×Sincógnita{\displaystyle S'\times _{S}X}es una inmersión cerrada. La mayoría de los ejemplos conocidos de morfismos propios son de hecho proyectivos; pero se pueden encontrar ejemplos de variedades propias que no son proyectivas utilizando la geometría tórica .

Descriptivo

Los morfismos proyectivos definen familias de variedades proyectivas sobre un esquema base fijo. Nótese que hay dos definiciones: la de Hartshorne, que establece que un morfismoF:incógnita→S{\displaystyle f:X\to S}Se denomina proyectivo si existe una inmersión cerrada.incógnita→PAGSnorte=PAGnorte×S{\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} ^{n}\times S}y la definición de EGA que establece que un planincógnita∈Escuela/S{\displaystyle X\in {\text{Sch}}/S}es proyectivo si existe un cuasi-coherenteOS{\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}-módulo de tipo finito tal que existe una inmersión cerradaincógnita→PAGS(mi){\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}. La segunda definición es útil porque una secuencia exacta deOS{\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}Los módulos se pueden utilizar para definir morfismos proyectivos.

Morfismo proyectivo sobre un punto

Un morfismo proyectivoF:incógnita→{∗}{\displaystyle f:X\to \{*\}}define un esquema proyectivo. Por ejemplo,

Proyecto(do[incógnita,y,z](incógnitanorte+ynorte−znorte))→Especulación⁡(do){\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}

define una curva proyectiva de género(norte−1)(norte−1)/2{\displaystyle (n-1)(n-1)/2}encimado{\displaystyle \mathbb {C} }.

Familia de hipersuperficies proyectivas

Si dejamosS=At1{\displaystyle S=\mathbb {A} _{t}^{1}}luego el morfismo proyectivo

Proyecto_S(OS[incógnita0,incógnita1,incógnita2,incógnita3,incógnita4](incógnita05+⋯+incógnita45−tincógnita0incógnita1incógnita2incógnita3incógnita4))→S{\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{S}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]}{\left(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-tx_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\right)}}\right)\to S}

define una familia de variedades de Calabi-Yau que degeneran.

Lápiz Lefschetz

Otro ejemplo útil de morfismos proyectivos son los haces de Lefschetz : son morfismos proyectivos.π:incógnita→PAGk1=Proyecto⁡(k[s,t]){\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} _{k}^{1}=\operatorname {Proj} (k[s,t])}sobre algún campok{\displaystyle k}. Por ejemplo, dadas hipersuperficies suavesincógnita1,incógnita2⊆PAGknorte{\displaystyle X_{1},X_{2}\subseteq \mathbb {P} _{k}^{n}}definidos por los polinomios homogéneosF1,F2{\displaystyle f_{1},f_{2}}Hay un morfismo proyectivo

Proyecto_PAG1(OPAG1[incógnita0,…,incógnitanorte](sF1+tF2))→PAG1{\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{\mathbb {P} ^{1}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf_{1}+tf_{2})}}\right)\to \mathbb {P} ^{1}}

entregando el lápiz.

Proyectivo EGA

Un buen ejemplo clásico de un esquema proyectivo es la construcción de morfismos proyectivos que se factorizan a través de espirales racionales. Por ejemplo, tomemosS=PAG1{\displaystyle S=\mathbb {P} ^{1}}y el haz vectorialmi=OS⊕OS⊕OS(3){\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}(3)}Esto se puede utilizar para construir unPAG2{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}-manojoPAGS(mi){\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}encimaS{\displaystyle S}. Si queremos construir un morfismo proyectivo usando este haz podemos tomar una secuencia exacta, como por ejemplo

OS(−d)⊕OS(−mi)→mi→Oincógnita→0{\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}(-d)\oplus {\mathcal {O}}_{S}(-e)\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}

que define el haz estructural del esquema proyectivoincógnita{\displaystyle X}enPAGS(mi).{\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}}).}

Departamento

Intuición

Los morfismos planos tienen una definición algebraica pero una interpretación geométrica muy concreta: las familias planas corresponden a familias de variedades que varían "continuamente". Por ejemplo,

Especulación⁡(do[incógnita,y,t](incógnitay−t)))→Especulación⁡(do[t]){\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{(xy-t))}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}

es una familia de curvas cuádricas afines suaves que degeneran en el divisor de cruce normal

Especulación⁡(do[incógnita,y](incógnitay)){\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\right)}

en el origen.

Propiedades

Una propiedad importante que debe satisfacer un morfismo plano es que las dimensiones de las fibras deben ser las mismas. Un ejemplo sencillo que no constituye un morfismo plano es una explosión, ya que las fibras son puntos o copias de algúnPAGnorte{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}.

Definición

DejarF:incógnita→S{\displaystyle f:X\to S}ser un morfismo de esquemas. Decimos queF{\displaystyle f}es plano en un puntoincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X} si el morfismo inducidoOF(incógnita)→Oincógnita{\displaystyle {\mathcal {O}}_{f(x)}\to {\mathcal {O}}_{x}}produce un functor exacto−⊗OF(incógnita)Oincógnita.{\displaystyle -\otimes _{{\mathcal {O}}_{f(x)}}{\mathcal {O}}_{x}.}Entonces,F{\displaystyle f}es plano si es plano en cada punto deincógnita{\displaystyle X}. También es fielmente plano si es un morfismo sobreyectivo.

No ejemplo

Utilizando nuestra intuición geométrica es obvio que

F:Especulación⁡(do[incógnita,y]/(incógnitay))→Especulación⁡(do[incógnita]){\displaystyle f:\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}

no es plano ya que la fibra sobre0{\displaystyle 0}esA1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}con el resto de las fibras son solo un punto. Pero también podemos comprobar esto usando la definición con álgebra local: Consideremos el idealpag=(incógnita)∈Especulación⁡(do[incógnita,y]/(incógnitay)).{\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy)).}DesdeF(pag)=(incógnita)∈Especulación⁡(do[incógnita]){\displaystyle f({\mathfrak {p}})=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}obtenemos un morfismo de álgebra local

Fpag:(do[incógnita])(incógnita)→(do[incógnita,y]/(incógnitay))(incógnita){\displaystyle f_{\mathfrak {p}}:\left(\mathbb {C} [x]\right)_{(x)}\to \left(\mathbb {C} [x,y]/(xy)\right)_{(x)}}

Si tensamos

0→do[incógnita](incógnita)⟶⋅incógnitado[incógnita](incógnita){\displaystyle 0\to \mathbb {C} [x]_{(x)}{\overset {\cdot x}{\longrightarrow }}\mathbb {C} [x]_{(x)}}

con(do[incógnita,y]/(incógnitay))(incógnita){\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}, el mapa

(do[incógnita,y]/(incógnitay)))(incógnita)→⋅incógnita(do[incógnita,y]/(incógnitay))(incógnita){\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy)))_{(x)}{\xrightarrow {\cdot x}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}

tiene un núcleo distinto de cero debido a la desaparición deincógnitay{\displaystyle xy}Esto demuestra que el morfismo no es plano.

Sin ramificar

Un morfismoF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}de esquemas afines no está ramificado siΩincógnita/Y=0{\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}Podemos usar esto para el caso general de un morfismo de esquemas.F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}Decimos queF{\displaystyle f}no está ramificado enincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}si hay un vecindario abierto afínincógnita∈U{\displaystyle x\in U}y una apertura afínV⊆Y{\displaystyle V\subseteq Y}de tal manera queF(U)⊆V{\displaystyle f(U)\subseteq V}yΩU/V=0.{\displaystyle \Omega _{U/V}=0.}Entonces, el morfismo no está ramificado si no está ramificado en cada punto deincógnita{\displaystyle X}.

Ejemplo geométrico

Un ejemplo de un morfismo que es plano y genéricamente no ramificado, excepto en un punto, es

Especulación⁡(do[t,incógnita](incógnitanorte−t))→Especulación⁡(do[t]){\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}

Podemos calcular las diferenciales relativas utilizando la secuencia

do[t,incógnita](incógnitanorte−t)⊗do[t]do[t]dt→(do[t,incógnita](incógnitanorte−t)dt⊕do[t,incógnita](incógnitanorte−t)dincógnita)/(norteincógnitanorte−1dincógnita−dt)→Ωincógnita/Y→0{\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\otimes _{\mathbb {C} [t]}\mathbb {C} [t]dt\to \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dt\oplus {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(nx^{n-1}dx-dt)\to \Omega _{X/Y}\to 0}

demostración

Ωincógnita/Y≅(do[t,incógnita](incógnitanorte−t)dincógnita)/(incógnitanorte−1dincógnita)≠0{\displaystyle \Omega _{X/Y}\cong \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\neq 0}

si tomamos la fibrat=0{\displaystyle t=0}, entonces el morfismo se ramifica ya que

Ωincógnita0/do=(do[incógnita]incógnitanortedincógnita)/(incógnitanorte−1dincógnita){\displaystyle \Omega _{X_{0}/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{x^{n}}}dx\right)/(x^{n-1}dx)}

de lo contrario tenemos

Ωincógnitaα/do=(do[incógnita](incógnitanorte−α)dincógnita)/(incógnitanorte−1dincógnita)≅do[incógnita](α)dincógnita≅0{\displaystyle \Omega _{X_{\alpha }/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{n}-\alpha )}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(\alpha )}}dx\cong 0}

demostrando que no está ramificado en ningún otro lugar.

Étale

Un morfismo de esquemasF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}Se denomina étale si es plano y no ramificado. Estos son el análogo algebraico-geométrico de los espacios recubridores. Los dos ejemplos principales a considerar son los espacios recubridores y las extensiones de cuerpos separables finitas . Los ejemplos del primer caso se pueden construir observando recubrimientos ramificados y restringiéndolos al lugar no ramificado.

Morfismos como puntos

Por definición, si X y S son esquemas (sobre algún esquema base o anillo B ), entonces un morfismo de S a X (sobre B ) es un punto S de X y se escribe:

incógnita(S)={F∣F:S→incógnita encima B}{\displaystyle X(S)=\{f\mid f:S\to X{\text{ over }}B\}}

para el conjunto de todos los puntos S de X. Esta noción generaliza la noción de soluciones a un sistema de ecuaciones polinómicas en la geometría algebraica clásica. De hecho, sea X = Spec( A ) conA=B[t1,…,tnorte]/(F1,…,Fmetro){\displaystyle A=B[t_{1},\dots ,t_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}Para un álgebra B R , dar un punto R de X es dar un homomorfismo de álgebras A → R , lo que a su vez equivale a dar un homomorfismo

B[t1,…,tnorte]→R,ti↦ri{\displaystyle B[t_{1},\dots ,t_{n}]\to R,\,t_{i}\mapsto r_{i}}

que mata a los f i . Por lo tanto, existe una identificación natural:

incógnita(Especulación⁡R)={(r1,…,rnorte)∈Rnorte|F1(r1,…,rnorte)=⋯=Fmetro(r1,…,rnorte)=0}.{\displaystyle X(\operatorname {Spec} R)=\{(r_{1},\dots ,r_{n})\in R^{n}|f_{1}(r_{1},\dots ,r_{n})=\cdots =f_{m}(r_{1},\dots ,r_{n})=0\}.}

Ejemplo : Si X es un esquema S con mapa de estructura π: X → S , entonces un punto S de X (sobre S ) es lo mismo que una sección de π.

En teoría de categorías , el lema de Yoneda dice que, dada una categoría C , el functor contravariante

do→PAG(do)=Fct⁡(dooperación,Smits),incógnita↦Mor⁡(−,incógnita){\displaystyle C\to {\mathcal {P}}(C)=\operatorname {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Sets} ),\,X\mapsto \operatorname {Mor} (-,X)}

es totalmente fiel (dondePAG(do){\displaystyle {\mathcal {P}}(C)}significa la categoría de prehaces en C ). Aplicando el lema a C = la categoría de esquemas sobre B , esto dice que un esquema sobre B está determinado por sus diversos puntos.

Resulta que, de hecho, basta con considerar S -puntos con solo esquemas afines S , precisamente porque los esquemas y morfismos entre ellos se obtienen pegando esquemas afines y morfismos entre ellos. Debido a esto, se suele escribir X ( R ) = X (Spec R ) y se considera X como un functor de la categoría de B -álgebras conmutativas a Sets .

Ejemplo : Dados los esquemas S X , Y con mapas de estructura p , q ,

(incógnita×SY)(R)=incógnita(R)×S(R)Y(R)={(incógnita,y)∈incógnita(R)×Y(R)∣pag(incógnita)=q(y)}{\displaystyle (X\times _{S}Y)(R)=X(R)\times _{S(R)}Y(R)=\{(x,y)\in X(R)\times Y(R)\mid p(x)=q(y)\}}.

Ejemplo : Si B sigue denotando un anillo o esquema, para cada esquema B X , existe una biyección natural.

PAGBnorte(incógnita)={\displaystyle \mathbf {P} _{B}^{n}(X)=}{ las clases de isomorfismo de haces de líneas L en X junto con n + 1 secciones globales que generan L . };

De hecho, las secciones s i de L definen un morfismo.incógnita→PAGBnorte,incógnita↦(s0(incógnita):⋯:snorte(incógnita)){\displaystyle X\to \mathbf {P} _{B}^{n},\,x\mapsto (s_{0}(x):\dots :s_{n}(x))}(Véase también Construcción de proyectos#Proyecto global ).

Nota : El punto de vista anterior (conocido como functor de puntos y atribuido a Grothendieck) ha tenido un impacto significativo en los fundamentos de la geometría algebraica. Por ejemplo, trabajar con un (pseudo)functor con valores en categorías en lugar de un functor con valores en conjuntos conduce a la noción de pila , que permite realizar un seguimiento de los morfismos entre puntos (es decir, morfismos entre morfismos).

Mapa racional

Un mapa racional de esquemas se define de la misma manera para variedades. Así, un mapa racional de un esquema reducido X a un esquema separado Y es una clase de equivalencia de un par(U,FU){\displaystyle (U,f_{U})}que consiste en un subconjunto denso abierto U de X y un morfismoFU:U→Y{\displaystyle f_{U}:U\to Y}Si X es irreducible, una función racional en X es, por definición, una aplicación racional de X a la recta afín.A1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}o la línea proyectivaPAG1.{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}

Un mapa racional es dominante si y solo si envía el punto genérico al punto genérico. [ 8 ]

Un homomorfismo de anillos entre cuerpos de funciones no necesariamente induce una aplicación racional dominante (ni siquiera una simple aplicación racional). [ 9 ] Por ejemplo, Spec k [ x ] y Spec k ( x ) tienen el mismo cuerpo de funciones (a saber, k ( x )), pero no existe una aplicación racional del primero al segundo. Sin embargo, es cierto que cualquier inclusión de cuerpos de funciones de variedades algebraicas induce una aplicación racional dominante (véase morfismo de variedades algebraicas#Propiedades ).

Véase también

Notas

  1. ↑ Vakil 2014 , Ejercicio 6.3.C.
  2. ↑ Vakil 2014 , Ejercicio 6.2.E.
  3. ↑ Geometría algebraica derivada V: Espacios estructurados (PDF) , 22 de febrero de 2011, § 1.
  4. ↑ Grothendieck y Dieudonné 1960 , Cap. I, Corolario 1.6.4.
  5. ↑ Prueba:φa−1(D(F))=D(φ(F)){\displaystyle {\varphi ^{a}}^{-1}(D(f))=D(\varphi (f))}para todo f en A.
  6. ↑ Grothendieck y Dieudonné 1960 , cap. I, Corolario 1.2.4.
  7. ↑ Grothendieck y Dieudonné 1960 , Cap. I, 1.2.2.3.
  8. ↑ Vakil 2014 , Ejercicio 6.5.A
  9. ↑ Vakil 2014 , Un párrafo después del Ejercicio 6.5.B

Referencias