Morfismo diagonal (geometría algebraica)

En geometría algebraica, dado un morfismo de esquemas${\displaystyle p:X\to S}$, el morfismo diagonal

${\displaystyle \delta :X\to X\times _{S}X}$

es un morfismo determinado por la propiedad universal del producto de fibra${\displaystyle X\times _{S}X}$de p y p aplicados a la identidad${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$y la identidad${\displaystyle 1_{X}}$.

Es un caso especial de un morfismo de grafos : dado un morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$sobre S , su morfismo gráfico es${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$inducido por${\displaystyle f}$y la identidad${\displaystyle 1_{X}}$. La incrustación diagonal es el morfismo de grafos de${\displaystyle 1_{X}}$.

Por definición, X es un esquema separado sobre S (${\displaystyle p:X\to S}$es un morfismo separado ) si el morfismo diagonal es una inmersión cerrada . Además, un morfismo${\displaystyle p:X\to S}$Un morfismo localmente de presentación finita es un morfismo no ramificado si y solo si la incrustación diagonal es una inmersión abierta.

Como ejemplo, consideremos una variedad algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k y${\displaystyle p:X\to \operatorname {Spec} (k)}$el mapa de estructura. Luego, identificando X con el conjunto de sus puntos k -racionales,${\displaystyle X\times _{k}X=\{(x,y)\in X\times X\}}$y${\displaystyle \delta :X\to X\times _{k}X}$se da como${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$; de donde proviene el nombre de morfismo diagonal.

Un morfismo separado es un morfismo${\displaystyle f}$de tal manera que el producto de fibra de${\displaystyle f}$consigo mismo a lo largo${\displaystyle f}$tiene su diagonal como un subesquema cerrado ; en otras palabras, el morfismo diagonal es una inmersión cerrada .

Como consecuencia, un plan${\displaystyle X}$se separa cuando la diagonal de${\displaystyle X}$dentro del esquema producto de${\displaystyle X}$con sí mismo es una inmersión cerrada. Enfatizando el punto de vista relativo, se podría definir equivalentemente un esquema para ser separado si el morfismo único${\displaystyle X\rightarrow {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$está separado.

Nótese que un espacio topológico Y es de Hausdorff si y solo si la incrustación diagonal

${\displaystyle Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y,\,y\mapsto (y,y)}$

es cerrado. En geometría algebraica, la formulación anterior se utiliza porque un esquema que es un espacio de Hausdorff es necesariamente vacío o de dimensión cero. La diferencia entre el contexto topológico y el algebraico-geométrico proviene de la estructura topológica del producto fibrado (en la categoría de esquemas).${\displaystyle X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X}$, lo cual es diferente del producto de espacios topológicos.

Cualquier esquema afín Spec A está separado, porque la diagonal corresponde al mapa sobreyectivo de anillos (por lo tanto, es una inmersión cerrada de esquemas):

${\displaystyle A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'}$.

Dejar${\displaystyle S}$sea ​​un esquema obtenido al identificar dos líneas afines a través del mapa identidad excepto en los orígenes (ver esquema de pegado#Ejemplos ). No está separado. ^{[ 1 ]} De hecho, la imagen del morfismo diagonal${\displaystyle S\to S\times S}$La imagen tiene dos orígenes, mientras que su cierre contiene cuatro orígenes.

Una forma clásica de definir el producto de intersección de ciclos algebraicos.${\displaystyle A,B}$en una variedad suave X es intersectando (restringiendo) su producto cartesiano con (a) la diagonal: precisamente,

${\displaystyle A\cdot B=\delta ^{*}(A\times B)}$

dónde${\displaystyle \delta ^{*}}$es el retroceso a lo largo de la incrustación diagonal${\displaystyle \delta :X\to X\times X}$.

• Morfismo cuasi-separado
• Incrustaciones regulares
• Morfismo diagonal

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157