Experimentos de dispersión de Rutherford

El modelo predominante de estructura atómica antes de los experimentos de Rutherford fue ideado por J. J. Thomson . ^{[ 2 ] : 123} Thomson había descubierto el electrón a través de su trabajo sobre rayos catódicos ^{[ 3 ]} y propuso que existían dentro de los átomos, y que una corriente eléctrica son electrones saltando de un átomo a uno adyacente en una serie. Lógicamente, tenía que haber una cantidad proporcional de carga positiva para equilibrar la carga negativa de los electrones y mantenerlos juntos. Sin tener idea de cuál era la fuente de esta carga positiva, propuso tentativamente que la carga positiva estaba en todas partes del átomo, adoptando una forma esférica para simplificar. ^{[ 2 ] : 123 [ 4 ]} Thomson imaginó que el equilibrio de las fuerzas electrostáticas distribuiría los electrones por toda esta esfera de manera más o menos uniforme. Thomson también creía que los electrones podían moverse dentro de esta esfera, y en ese sentido, comparó la sustancia de la esfera con un líquido. ^{[ 5 ]} La esfera positiva era más una abstracción que algo material. No propuso una partícula subatómica con carga positiva ; una contraparte del electrón.

Thomson nunca logró desarrollar un modelo completo y estable que pudiera predecir ninguna de las otras propiedades conocidas del átomo, como los espectros de emisión y las valencias. ^{[ 6 ]} El científico japonés Hantaro Nagaoka rechazó el modelo de Thomson argumentando que las cargas opuestas no pueden penetrarse entre sí. ^{[ 7 ]} En cambio, propuso que los electrones orbitan la carga positiva como los anillos alrededor de Saturno . ^{[ 8 ]} Sin embargo, también se sabía que este modelo era inestable. ^{[ 9 ] : 303}

Una partícula alfa es una partícula de materia con carga positiva que se emite espontáneamente a partir de ciertos elementos radiactivos. Las partículas alfa son tan diminutas que resultan invisibles, pero pueden detectarse mediante pantallas fosforescentes, placas fotográficas o electrodos. Rutherford las descubrió en 1899. ^{[ 10 ]} En 1906, al estudiar cómo los haces de partículas alfa se desvían por campos magnéticos y eléctricos, dedujo que eran esencialmente átomos de helio despojados de dos electrones. ^{[ 11 ]} Thomson y Rutherford desconocían la estructura interna de las partículas alfa. En aquel entonces, los científicos no sabían con exactitud cuántos electrones tenía un átomo de helio (ni los de otros elementos), por lo que un átomo de helio despojado de dos electrones podría conservar unos diez, según sus cálculos. ^{[ 9 ] : 280}

El modelo de Thomson era consistente con la evidencia experimental disponible en ese momento. Thomson estudió la dispersión de partículas beta , que mostraba deflexiones de ángulo pequeño modeladas como interacciones de la partícula con muchos átomos sucesivamente. Cada interacción de la partícula con los electrones del átomo y la esfera de fondo positiva daría lugar a una pequeña deflexión, pero muchas de estas colisiones podrían acumularse. ^{[ 9 ] : 274} Se esperaba que la dispersión de partículas alfa fuera similar. ^{[ 9 ] : 281} El equipo de Rutherford demostraría que el modelo de dispersión múltiple no era necesario: la dispersión simple de una carga compacta en el centro del átomo explicaría todos los datos de dispersión. ^{[ 9 ] : 289}

Ernest Rutherford

Hans Geiger

Ernest Marsden

Ernest Rutherford fue profesor Langworthy de Física en la Universidad Victoria de Manchester ^{[ 12 ] : 188} (actualmente Universidad de Manchester ). Ya había recibido numerosos honores por sus estudios sobre la radiación. Había descubierto la existencia de rayos alfa , rayos beta y rayos gamma , y ​​había demostrado que estos eran consecuencia de la desintegración de los átomos . En 1906, recibió la visita del físico alemán Hans Geiger , y quedó tan impresionado que le pidió que se quedara y le ayudara con su investigación. Ernest Marsden era un estudiante de física que estudiaba con Geiger. ^{[ 13 ]}

En 1908, Rutherford intentó determinar la carga y la masa de las partículas alfa de forma independiente. Para ello, quería contar el número de partículas alfa y medir su carga total; la proporción resultante daría la carga de una sola partícula alfa. Las partículas alfa son demasiado pequeñas para ser vistas, pero Rutherford conocía la descarga de Townsend , un efecto en cascada de la ionización que produce un pulso de corriente eléctrica. Basándose en este principio, Rutherford y Geiger diseñaron un sencillo dispositivo de conteo que consistía en dos electrodos en un tubo de vidrio que contenía gas a baja presión. (Véase el experimento n.º 1908 ). Cada partícula alfa que pasaba a través del gas creaba un pulso de corriente eléctrica que podía detectarse y contarse. Fue el precursor del contador Geiger-Müller . ^{[ 9 ] : 261}

El contador que construyeron Geiger y Rutherford resultó poco fiable porque las partículas alfa se desviaban con demasiada fuerza al colisionar con las moléculas de aire dentro de la cámara de detección. Las trayectorias altamente variables de las partículas alfa implicaban que no todas generaban el mismo número de iones al atravesar el gas, lo que producía lecturas erráticas. Esto desconcertó a Rutherford, pues creía que las partículas alfa eran demasiado pesadas para desviarse con tanta intensidad. Rutherford le pidió a Geiger que investigara hasta qué punto la materia podía dispersar los rayos alfa. ^{[ 14 ]}

Los experimentos que diseñaron consistieron en bombardear una lámina metálica con un haz de partículas alfa para observar cómo la lámina las dispersaba en relación con su grosor y material. Utilizaron una pantalla fosforescente para medir las trayectorias de las partículas. Cada impacto de una partícula alfa en la pantalla producía un pequeño destello de luz. Geiger trabajó en un laboratorio a oscuras durante horas, contando estos pequeños centelleos con un microscopio. ^{[ 15 ]} Para la lámina metálica, probaron varios metales, pero prefirieron el oro porque podían hacer la lámina muy delgada, ya que el oro es el metal más maleable. ^{[ 16 ] : 127} Como fuente de partículas alfa, la sustancia elegida por Rutherford fue el radio , que es miles de veces más radiactivo que el uranio. ^{[ 17 ]}

En un experimento de 1909, Geiger y Marsden descubrieron que las láminas metálicas podían dispersar algunas partículas alfa en todas direcciones, a veces más de 90°. ^{[ 18 ] : 4} Esto debería haber sido imposible según el modelo de Thomson. ^{[ 18 ] : 4} Según el modelo de Thomson, todas las partículas alfa deberían haber atravesado directamente.

En el modelo atómico de Thomson, la esfera de carga positiva que llena el átomo y encapsula los electrones es permeable; después de todo, los electrones podrían moverse dentro de ella. Por lo tanto, una partícula alfa debería poder atravesar esta esfera si las fuerzas electrostáticas internas lo permiten. El propio Thomson no estudió cómo podría dispersarse una partícula alfa en una colisión de este tipo con un átomo, pero sí estudió la dispersión de partículas beta . ^{[ 9 ] : 277} Calculó que una partícula beta experimentaría una desviación muy pequeña al pasar a través de un átomo, ^{[ 19 ]} e incluso después de pasar a través de muchos átomos seguidos, la desviación total debería seguir siendo menor de 1°. ^{[ 20 ]} Las partículas alfa suelen tener mucho más momento que las partículas beta y, por lo tanto, también deberían experimentar una desviación mínima. ^{[ 21 ]}

La extrema dispersión observada obligó a Rutherford a revisar el modelo del átomo. ^{[ 22 ] : 25} El problema en el modelo de Thomson era que las cargas estaban demasiado difusas para producir una fuerza electrostática suficientemente fuerte que causara tal repulsión. Por lo tanto, tenían que estar más concentradas. En el nuevo modelo de Rutherford, la carga positiva no llena todo el volumen del átomo, sino que constituye un pequeño núcleo al menos 10 000 veces más pequeño que el átomo en su conjunto. Toda esa carga positiva concentrada en un volumen mucho menor produce un campo eléctrico mucho más fuerte cerca de su superficie. El núcleo también contenía la mayor parte de la masa del átomo. Esto significaba que podía desviar las partículas alfa hasta 180° dependiendo de la distancia a la que pasaran. Los electrones rodean este núcleo, dispersos por todo el volumen del átomo. Debido a que su carga negativa es difusa y su masa combinada es baja, tienen un efecto insignificante sobre la partícula alfa. ^{[ 23 ]}

Para verificar su modelo, Rutherford desarrolló un modelo científico para predecir la intensidad de las partículas alfa en los diferentes ángulos de dispersión al salir de la lámina de oro, suponiendo que toda la carga positiva se concentraba en el centro del átomo. Este modelo fue validado en un experimento realizado en 1913. Su modelo explicaba tanto los resultados de dispersión beta de Thomson como los resultados de dispersión alfa de Geiger y Marsden. ^{[ 9 ] : 285}

El ahora famoso artículo de Rutherford de 1911 tuvo poca repercusión en sus primeros años. ^{[ 12 ] : 192} El artículo trataba principalmente sobre la dispersión de partículas alfa en una época anterior a que la dispersión de partículas fuera una herramienta fundamental para la física. Las técnicas de probabilidad que utilizó y la confusa recopilación de observaciones no resultaron inmediatamente convincentes. ^{[ 9 ] : 304}

Física nuclear

Los primeros impactos fueron fomentar un nuevo enfoque en los experimentos de dispersión. Por ejemplo, los primeros resultados de una cámara de nubes , por CTR Wilson muestran la dispersión de partículas alfa y también aparecieron en 1911. ^{[ 24 ] [ 9 ] : 302} Con el tiempo, la dispersión de partículas se convirtió en un aspecto importante de la física teórica y experimental ; ^{[ 25 ] : 443} El concepto de Rutherford de una "sección transversal" ahora domina las descripciones de la física experimental de partículas. ^{[ 2 ] : 247} El historiador Silvan S. Schweber sugiere que el enfoque de Rutherford marcó el cambio a ver todas las interacciones y mediciones en física como procesos de dispersión. ^{[ 26 ] : xiv} Después de que el núcleo —un término introducido por Rutherford en 1912 ^{[ 12 ] : 192} — se convirtiera en el modelo aceptado para el núcleo de los átomos, el análisis de Rutherford de la dispersión de partículas alfa creó una nueva rama de la física, la física nuclear . ^{[ 12 ] : 223}

Los primeros pasos de Rutherford hacia su descubrimiento de la naturaleza del átomo surgieron de su trabajo para comprender las partículas alfa. ^{[ 22 ] : 17 [ 25 ] : 435} En 1906, Rutherford notó que las partículas alfa que pasaban a través de láminas de mica eran desviadas por las láminas hasta en 2 grados. Rutherford colocó una fuente radiactiva en un tubo sellado que terminaba en una ranura estrecha seguida de una placa fotográfica . La mitad de la ranura estaba cubierta por una capa delgada de mica. Un campo magnético alrededor del tubo se alteraba cada 10 minutos para rechazar el efecto de los rayos beta, conocidos por ser sensibles a los campos magnéticos. ^{[ 23 ]} El tubo fue evacuado a diferentes cantidades y se registró una serie de imágenes. A la presión más baja, la imagen de la ranura abierta era clara, mientras que las imágenes de la ranura cubierta de mica o la ranura abierta a presiones más altas eran borrosas. Rutherford explicó estos resultados como dispersión de partículas alfa ^{[ 9 ] : 260} en un artículo publicado en 1906. ^{[ 35 ]} Ya comprendía las implicaciones de la observación para los modelos de átomos: "tal resultado pone de manifiesto claramente que los átomos de la materia deben ser sede de fuerzas eléctricas muy intensas". ^{[ 35 ] : 145 [ 22 ]}

Un artículo de Geiger de 1908, Sobre la dispersión de partículas α por la materia , describe el siguiente experimento. Construyó un tubo de vidrio largo, de casi dos metros de longitud. En un extremo del tubo había una cantidad de " emanación de radio " (R) como fuente de partículas alfa. ^{[ 22 ] : 20} El extremo opuesto del tubo estaba cubierto con una pantalla fosforescente (Z). En el centro del tubo había una  rendija de 0,9 mm de ancho. Las partículas alfa de R pasaban a través de la rendija y creaban una mancha de luz brillante en la pantalla. Se utilizó un microscopio (M) para contar los centelleos en la pantalla y medir su dispersión. Geiger extrajo todo el aire del tubo para que las partículas alfa no se vieran obstruidas, y dejaron una imagen nítida y compacta en la pantalla que correspondía a la forma de la rendija. Luego, Geiger permitió que entrara algo de aire en el tubo, y la mancha brillante se volvió más difusa. Geiger extrajo el aire y colocó una o dos láminas de oro sobre la rendija en AA. Esto también provocó que el haz de luz en la pantalla se extendiera más, siendo la mayor dispersión para dos capas. ^{[ 22 ] : 20} Este experimento demostró que tanto el aire como la materia sólida podían dispersar notablemente las partículas alfa. ^{[ 36 ] [ 22 ] : 20}

Los resultados de los experimentos iniciales de dispersión de partículas alfa fueron confusos. La dispersión angular de la partícula en la pantalla variaba considerablemente según la forma del aparato y su presión interna. Rutherford sugirió a Ernest Marsden, un estudiante de física que estudiaba con Geiger, que buscara partículas alfa reflejadas difusamente o retrodispersadas, aunque no se esperaban. El primer reflector rudimentario de Marsden dio resultados, por lo que Geiger le ayudó a crear un aparato más sofisticado. Lograron demostrar que 1 de cada 8000 colisiones de partículas alfa eran reflexiones difusas. ^{[ 22 ] : 23} Aunque esta fracción era pequeña, era mucho mayor de lo que podía explicar el modelo atómico de Thomson. ^{[ 9 ] : 264}

En estos experimentos, se observó cómo las partículas alfa emitidas por una fuente radiactiva (A) rebotaban en un reflector metálico (R) y llegaban a una pantalla fluorescente (S) situada al otro lado de una placa de plomo (P).

Estos resultados se publicaron en un artículo de 1909, Sobre una reflexión difusa de las partículas α , ^{[ 37 ]} donde Geiger y Marsden describieron el experimento mediante el cual demostraron que las partículas alfa pueden dispersarse en más de 90°. En su experimento, prepararon un pequeño tubo de vidrio cónico (AB) que contenía "emanación de radio" ( radón ), "radio A" (radio real) y "radio C" ( bismuto -214); su extremo abierto estaba sellado con mica . Este era su emisor de partículas alfa. Luego colocaron una placa de plomo (P), detrás de la cual colocaron una pantalla fluorescente (S). El tubo se sostuvo en el lado opuesto de la placa, de manera que las partículas alfa que emitía no pudieran impactar directamente la pantalla. Observaron algunos centelleos en la pantalla porque algunas partículas alfa rodearon la placa rebotando en las moléculas de aire. Luego colocaron una lámina metálica (R) al lado de la placa de plomo. Realizaron pruebas con plomo, oro, estaño, aluminio, cobre, plata, hierro y platino. Apuntaron el tubo hacia la lámina para observar si las partículas alfa rebotaban en ella e impactaban en la pantalla del otro lado de la placa, y observaron un aumento en el número de centelleos en la pantalla. Al contar los centelleos, observaron que los metales con mayor masa atómica , como el oro, reflejaban más partículas alfa que los más ligeros, como el aluminio. ^{[ 37 ] [ 22 ] : 20}

Geiger y Marsden querían entonces estimar el número total de partículas alfa que se reflejaban. La configuración anterior no era adecuada para ello porque el tubo contenía varias sustancias radiactivas (radio más sus productos de desintegración) y, por lo tanto, las partículas alfa emitidas tenían rangos variables , y porque les resultaba difícil determinar a qué tasa el tubo emitía partículas alfa. Esta vez, colocaron una pequeña cantidad de radio C (bismuto-214) en la placa de plomo, que rebotó en un reflector de platino (R) y en la pantalla. Concluyeron que aproximadamente 1 de cada 8000 de las partículas alfa que impactaron en el reflector rebotaron en la pantalla. ^{[ 37 ]} Al medir la reflexión de láminas delgadas, demostraron que el efecto se debía a un efecto de volumen y no a un efecto de superficie. ^{[ 23 ]} En contraste con la gran cantidad de partículas alfa que pasan sin obstáculos a través de una lámina de metal, este pequeño número de reflexiones de gran ángulo fue un resultado extraño ^{[ 2 ] : 240} que significaba que estaban involucradas fuerzas muy grandes. ^{[ 23 ]}

Un artículo de 1910 ^{[ 38 ]} de Geiger, La dispersión de las partículas alfa por la materia , describe un experimento para medir cómo varía el ángulo más probable de desviación de una partícula alfa con el material que atraviesa, el espesor del material y la velocidad de las partículas alfa. Construyó un tubo de vidrio hermético del que se extrajo el aire. En un extremo había un bulbo (B) que contenía "emanación de radio" ( radón -222). Mediante mercurio, el radón de B se bombeó a través del estrecho tubo de vidrio cuyo extremo en A estaba tapado con mica . En el otro extremo del tubo había una pantalla fluorescente de sulfuro de zinc (S). El microscopio que utilizó para contar los centelleos en la pantalla estaba fijado a una escala milimétrica vertical con un nonio, lo que permitió a Geiger medir con precisión dónde aparecían los destellos de luz en la pantalla y, por lo tanto, calcular los ángulos de desviación de las partículas. Las partículas alfa emitidas desde A se estrecharon hasta formar un haz mediante un pequeño orificio circular en D. Geiger colocó una lámina metálica en la trayectoria de los rayos en D y E para observar cómo cambiaba la zona de destellos. Probó con oro, estaño, plata, cobre y aluminio. También podía variar la velocidad de las partículas alfa colocando láminas adicionales de mica o aluminio en A. ^{[ 38 ]}

A partir de las mediciones que realizó, Geiger llegó a las siguientes conclusiones: ^{[ 18 ] : 5}

• El ángulo de deflexión más probable aumenta con el espesor del material.
• El ángulo de desviación más probable es proporcional a la masa atómica de la sustancia.
• El ángulo de desviación más probable disminuye con la velocidad de las partículas alfa.

Considerando los resultados de estos experimentos, Rutherford publicó en 1911 un artículo fundamental titulado "La dispersión de partículas α y β por la materia y la estructura del átomo", en el que demostró que la dispersión simple de una carga eléctrica muy pequeña e intensa predice principalmente una dispersión de ángulo pequeño con cantidades pequeñas pero medibles de retrodispersión. ^{[ 2 ] : 252 [ 1 ]} Para sus cálculos matemáticos, supuso que esta carga central era positiva, pero admitió que no podía probarlo y que debía esperar a que otros experimentos desarrollaran su teoría. ^{[ 1 ] : 688}

Rutherford desarrolló una ecuación matemática que modelaba cómo la lámina debería dispersar las partículas alfa si toda la carga positiva y la mayor parte de la masa atómica se concentraran en un punto en el centro de un átomo. A partir de los datos de dispersión, Rutherford estimó que la carga central q _n era de aproximadamente +100 unidades. ^{[ 39 ]}

El artículo de Rutherford no analiza ninguna disposición electrónica más allá de las discusiones sobre la dispersión del modelo de pudín de pasas de Thomson y el modelo saturniano de Nagaoka. ^{[ 9 ] : 303} Demuestra que los resultados de dispersión predichos por el modelo de Thomson también se explican mediante la dispersión simple, pero que el modelo de Thomson no explica la dispersión de ángulo grande. Afirma que el modelo de Nagaoka, con una carga compacta, concordaría con los datos de dispersión. Sin embargo, el modelo saturniano había sido rechazado previamente por otros motivos. El llamado modelo de Rutherford del átomo con electrones en órbita no fue propuesto por Rutherford en el artículo de 1911. ^{[ 9 ] : 304}

En un artículo de 1913, Las leyes de la deflexión de partículas α a través de grandes ángulos , ^{[ 40 ]} Geiger y Marsden describen una serie de experimentos mediante los cuales buscaron verificar experimentalmente la ecuación de Rutherford. La ecuación de Rutherford predijo que el número de centelleos por minuto s que se observarán en un ángulo Φ dado debería ser proporcional a: ^{[ 18 ] : 11}

1. cosec ⁴ ⁠ Φ / 2 ⁠
2. espesor de la lámina t
3. magnitud del cuadrado de la carga central Q _n
4. 1 / ( mv² ) ^²​^​​

Su artículo de 1913 describe cuatro experimentos mediante los cuales demostraron cada una de estas cuatro relaciones. ^{[ 25 ] : 438}

Este aparato fue diseñado para medir con precisión el patrón de dispersión de las partículas alfa producidas por la lámina metálica (F). El microscopio (M) y la pantalla (S) estaban fijados a un cilindro giratorio y podían moverse en un círculo completo alrededor de la lámina. ^{[ 40 ]}

Para comprobar cómo variaba la dispersión con el ángulo de deflexión (es decir, si s ∝ csc ⁴ ⁠ Φ / 2 ⁠ ), Geiger y Marsden construyeron un aparato que consistía en un cilindro metálico hueco montado sobre una plataforma giratoria. Dentro del cilindro había una lámina metálica (F) y una fuente de radiación que contenía radón (R), montada sobre una columna separada (T) que permitía que el cilindro girara independientemente. La columna también era un tubo por el que se extraía el aire del cilindro. Un microscopio (M) con su lente objetivo cubierta por una pantalla fluorescente de sulfuro de zinc (S) penetraba la pared del cilindro y apuntaba a la lámina metálica. Realizaron pruebas con láminas de plata y oro. Al girar la plataforma, el microscopio podía moverse un círculo completo alrededor de la lámina, lo que permitió a Geiger observar y contar partículas alfa desviadas hasta 150°. Tras corregir el error experimental, Geiger y Marsden descubrieron que el número de partículas alfa que se desvían en un ángulo Φ dado es, en efecto, proporcional a csc ⁴ ⁠ Φ / 2 ⁠ . ^{[ 40 ]}

Este aparato se utilizó para medir cómo variaba el patrón de dispersión en relación con el grosor de la lámina, el peso atómico del material y la velocidad de las partículas alfa. El disco giratorio en el centro tenía seis orificios que podían cubrirse con lámina. ^{[ 40 ]}

Geiger y Marsden probaron cómo variaba la dispersión con el grosor de la lámina (es decir, si s ∝ t ). Construyeron un disco (S) con seis orificios perforados. Los orificios se cubrieron con una lámina metálica (F) de grosor variable, o sin ninguna para el control. Este disco se selló en un anillo de latón (A) entre dos placas de vidrio (B y C). El disco podía girarse mediante una varilla (P) para colocar cada ventana frente a la fuente de partículas alfa (R). En el panel de vidrio posterior había una pantalla de sulfuro de zinc (Z). Geiger y Marsden descubrieron que el número de centelleos que aparecían en la pantalla era proporcional al grosor, siempre que este fuera pequeño. ^{[ 40 ]}

Geiger y Marsden reutilizaron el aparato para medir cómo variaba el patrón de dispersión con el cuadrado de la carga nuclear (es decir, si s ∝ Q _n ² ). Geiger y Marsden desconocían la carga positiva del núcleo de sus metales (recién habían descubierto la existencia del núcleo), pero asumieron que era proporcional al peso atómico, por lo que comprobaron si la dispersión era proporcional al cuadrado del peso atómico. Geiger y Marsden cubrieron los orificios del disco con láminas de oro, estaño, plata, cobre y aluminio. Midieron el poder de frenado de cada lámina equiparándolo a un espesor equivalente de aire. Contaron el número de centelleos por minuto que producía cada lámina en la pantalla. Dividieron el número de centelleos por minuto entre el equivalente en aire de la lámina correspondiente, y luego lo dividieron nuevamente entre la raíz cuadrada del peso atómico (Geiger y Marsden sabían que, para láminas con igual poder de frenado, el número de átomos por unidad de área es proporcional a la raíz cuadrada del peso atómico). Así, para cada metal, Geiger y Marsden obtuvieron el número de centelleos que produce un número fijo de átomos. Luego, para cada metal, dividieron este número entre el cuadrado del peso atómico y encontraron que las proporciones eran aproximadamente iguales. De esta manera, demostraron que s ∝ Q _n ² . ^{[ 40 ]}

Finalmente, Geiger y Marsden probaron cómo variaba la dispersión con la velocidad de las partículas alfa (es decir, si s ∝ 1 / v 4 ) . ^Usando el mismo aparato, ralentizaron las partículas alfa colocando láminas adicionales de mica frente a la fuente de partículas alfa. Encontraron que, dentro del margen de error experimental, el número de centelleos era efectivamente ^{proporcional a} 1 / v ^{4. [} 40 ]

En su artículo de 1911 ( véase más arriba ), Rutherford asumió que la carga central del átomo era positiva, pero una carga negativa habría encajado igual de bien en su modelo de dispersión. ^{[ 41 ]} En un artículo de 1913, Rutherford declaró que el "núcleo" (como ahora lo llamaba) era efectivamente positivo, basándose en el resultado de experimentos que exploraban la dispersión de partículas alfa en diversos gases. ^{[ 42 ]}

En 1917, Rutherford y su asistente William Kay comenzaron a explorar el paso de partículas alfa a través de gases como el hidrógeno y el nitrógeno. En este experimento, dispararon un haz de partículas alfa a través de hidrógeno y colocaron cuidadosamente su detector —una pantalla de sulfuro de zinc— justo fuera del alcance de las partículas alfa, que fueron absorbidas por el gas. Sin embargo, detectaron partículas cargadas de algún tipo que causaban centelleos en la pantalla. Rutherford interpretó esto como partículas alfa que empujaban los núcleos de hidrógeno hacia adelante en la dirección del haz, no hacia atrás. ^{[ 41 ]}

Rutherford comienza su análisis considerando una colisión frontal entre la partícula alfa y el átomo. Esto establecerá la distancia mínima entre ellos, un valor que utilizará a lo largo de sus cálculos. ^{[ 1 ] : 670}

Suponiendo que no existen fuerzas externas y que inicialmente las partículas alfa se encuentran lejos del núcleo, la ley del inverso del cuadrado entre las cargas de la partícula alfa y el núcleo proporciona la energía potencial que gana la partícula al acercarse al núcleo. En colisiones frontales entre partículas alfa y el núcleo, toda la energía cinética de la partícula alfa se transforma en energía potencial , la partícula se detiene y regresa. ^{[ 18 ] : 5}

Donde la partícula se detiene a una distancia${\displaystyle r_{\text{min}}}$Desde el centro, la energía potencial coincide con la energía cinética original: ^{[ 43 ] : 620 [ 44 ] : 320}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=k{\frac {q_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r_{\text{min}}}}}$$

dónde

$${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$$

Reorganizando: ^{[ 1 ] : 671}$${\displaystyle r_{\text{min}}=k{\frac {2q_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}}}}$$

Para una partícula alfa:

• m (masa) =6,644 24 × 10 ⁻²⁷  kg =3,7273 × 10⁹ ^eV  / c²^​
• q _a (para la partícula alfa) = 2 ×1,6 × 10 ⁻¹⁹  C =3,2 × 10 ⁻¹⁹  C
• q _g (para el oro) = 79 ×1,6 × 10 ⁻¹⁹  C =1,27 × 10 ⁻¹⁷  C
• v (velocidad inicial) =2 × 10⁷ ^m  /s (para este ejemplo)

La distancia desde la partícula alfa hasta el centro del núcleo ( r _min ) en este punto es un límite superior para el radio nuclear. Sustituyendo estos valores se obtiene un valor aproximado de2,7 × 10 ⁻¹⁴  m , o 27 fm . (El radio real es de aproximadamente 7,3 fm.) El radio real del núcleo no se recupera en estos experimentos porque las partículas alfa no tienen suficiente energía para penetrar más de 27 fm del centro nuclear, como se ha señalado, cuando el radio del núcleo de un átomo de oro es de 7,3 fm.    

El artículo de Rutherford de 1911 ^{[ 1 ]} comenzaba con una fórmula ligeramente diferente adecuada para la colisión frontal con una esfera de carga positiva:

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=NeE\cdot \left({\frac {1}{b}}-{\frac {3}{2R}}+{\frac {b^{2}}{2R^{3}}}\right)}$$

En la notación de Rutherford, e es la carga elemental , N es el número de carga del núcleo (ahora también conocido como número atómico ) y E es la carga de una partícula alfa. La convención en la época de Rutherford era medir la carga en unidades electrostáticas , la distancia en centímetros, la fuerza en dinas y la energía en ergios . La convención moderna es medir la carga en culombios , la distancia en metros, la fuerza en newtons y la energía en julios . El uso de culombios requiere el uso de la constante de Coulomb ( k ) en la ecuación. Rutherford usó b como la distancia del punto de inflexión (llamada r _min arriba) y R es el radio del átomo. El primer término es la repulsión de Coulomb utilizada arriba. Esta forma supone que la partícula alfa podría penetrar la carga positiva. En la época del artículo de Rutherford, el modelo del pudín de pasas de Thomson proponía una carga positiva con el radio de un átomo, miles de veces mayor que el r _min encontrado arriba. La figura 1 muestra cuán concentrado está este potencial en comparación con el tamaño del átomo. Muchos de los resultados de Rutherford se expresan en términos de esta distancia de punto de inflexión r _min , lo que simplifica los resultados y limita la necesidad de unidades a este cálculo del punto de inflexión.

A partir de sus resultados para una colisión frontal, Rutherford sabe que la dispersión de partículas alfa ocurre cerca del centro de un átomo, en un radio 10.000 veces menor que el átomo. Los electrones tienen un efecto insignificante. Comienza asumiendo que no hay pérdida de energía en la colisión, es decir, ignora el retroceso del átomo objetivo. Retomará cada uno de estos temas más adelante en su artículo. ^{[ 1 ] : 672} Bajo estas condiciones, la partícula alfa y el átomo interactúan a través de una fuerza central , un problema físico estudiado por primera vez por Isaac Newton . ^{[ 45 ]} Una fuerza central solo actúa a lo largo de una línea entre las partículas y cuando la fuerza varía con el inverso del cuadrado, como la fuerza de Coulomb en este caso, se desarrolló una teoría detallada bajo el nombre del problema de Kepler . ^{[ 46 ] : 76} Las soluciones bien conocidas al problema de Kepler se llaman órbitas y las órbitas no ligadas son hipérbolas . Así, Rutherford propuso que la partícula alfa seguirá una trayectoria hiperbólica en la fuerza repulsiva cerca del centro del átomo, como se muestra en la Figura 2.

Para aplicar las soluciones de trayectoria hiperbólica al problema de la partícula alfa, Rutherford expresa los parámetros de la hipérbola en términos de la geometría de dispersión y las energías. Comienza con la conservación del momento angular . Cuando la partícula de masa${\displaystyle m}$y velocidad inicial${\displaystyle v_{0}}$está lejos del átomo, su momento angular alrededor del centro del átomo será${\displaystyle mbv_{0}}$dónde${\displaystyle b}$es el parámetro de impacto , que es la distancia lateral entre la trayectoria de la partícula alfa y el átomo. En el punto de máxima aproximación, etiquetado como A en la Figura 2, el momento angular será${\displaystyle mr_{\text{A}}v_{\text{A}}}$. Por lo tanto ^{[ 9 ] : 270}

$${\displaystyle mbv_{0}=sr_{\text{A}}v_{\text{A}}}$$

$${\displaystyle v_{\text{A}}={\frac {bv_{0}}{r_{\text{A}}}}}$$

Rutherford también aplica la ley de conservación de la energía entre esos mismos dos puntos:

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}={\tfrac {1}{2}}mv_{\text{A}}^{2}+{\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r_{\text{A}}}}}$$

El lado izquierdo y el primer término del lado derecho representan las energías cinéticas de la partícula en los dos puntos; el último término es la energía potencial debida a la fuerza de Coulomb entre la partícula alfa y el átomo en el punto de máxima aproximación (A). q _a es la carga de la partícula alfa, q _g es la carga del núcleo y k es la constante de Coulomb . ^{[ 47 ]}

La ecuación de energía se puede reordenar de la siguiente manera:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}r_{\text{A}}}}\right)}$$

Para mayor comodidad, las variables físicas no geométricas en esta ecuación ^{[ 1 ] : 674} pueden estar contenidas en una variable${\displaystyle r_{\text{min}}}$, que es el punto de aproximación más cercana en un escenario de colisión frontal ^{[ 1 ] : 671} que se exploró en una sección anterior de este artículo:

$${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}}}}$$

Esto permite a Rutherford simplificar la ecuación de energía a:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{\text{A}}}}\right)}$$

Esto deja dos ecuaciones simultáneas para${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}}$, la primera derivada de la ecuación de conservación del momento y la segunda de la ecuación de conservación de la energía. Eliminando${\displaystyle v_{\text{A}}}$y${\displaystyle v_{0}}$da una nueva fórmula para${\displaystyle r_{\text{min}}}$:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}={\frac {b^{2}v_{0}^{2}}{r_{\text{A}}^{2}}}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{\text{A}}}}\right)}$$

$${\displaystyle r_{\text{min}}=r_{\text{A}}-{\frac {b^{2}}{r_{\text{A}}}}}$$

El siguiente paso es encontrar una fórmula para${\displaystyle r_{\text{A}}}$. De la Figura 2,${\displaystyle r_{\text{A}}}$es la suma de dos distancias relacionadas con la hipérbola, SO y OA. Usando la siguiente lógica, estas distancias se pueden expresar en términos de ángulo${\displaystyle \Phi }$y parámetro de impacto${\displaystyle b}$.

La excentricidad de una hipérbola es un valor que describe la forma de la hipérbola. Se puede calcular dividiendo la distancia focal por la longitud del semieje mayor, que según la Figura 2 es SO / OA . Como se puede ver en la Figura 3, la excentricidad también es igual a${\displaystyle \sec \Phi }$, dónde${\displaystyle \Phi }$es el ángulo entre el eje mayor y la asíntota. ^{[ 48 ] : 219} Por lo tanto:

$${\displaystyle {\frac {\text{SO}}{\text{OA}}}=\sec \Phi }$$

Como se puede deducir de la Figura 2, la distancia focal SO es

$${\displaystyle {\text{SO}}=b\cdot \csc \Phi }$$

y por lo tanto

$${\displaystyle {\text{OA}}={\frac {\text{SO}}{\sec \Phi }}=b\cdot \cot \Phi }$$

Con estas fórmulas para SO y OA, la distancia${\displaystyle r_{\text{A}}}$puede escribirse en términos de${\displaystyle \Phi }$y simplificada usando una identidad trigonométrica conocida como fórmula del semiángulo : ^{[ 39 ] : 673}

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{A}}&={\text{SO}}+{\text{OA}}\\\\&=b\cdot \csc \Phi +b\cdot \cot \Phi \\\\&=b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}\end{aligned}}}$$

Aplicando una identidad trigonométrica conocida como la fórmula del ángulo doble de la cotangente y la ecuación anterior para${\displaystyle r_{\text{A}}}$Esto proporciona una relación más simple entre las variables físicas y geométricas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{min}}&=r_{\text{A}}-{\frac {b^{2}}{r_{\text{A}}}}\\\\&=b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}-{\frac {b^{2}}{b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}}}\\\\&=b{\frac {\cot ^{2}{\frac {\Phi }{2}}-1}{\cot {\frac {\Phi }{2}}}}\\[1ex]\\&=2b\cdot \cot \Phi \end{aligned}}}$$

El ángulo de dispersión de la partícula es${\displaystyle \theta =\pi -2\Phi }$y por lo tanto${\displaystyle \Phi ={\tfrac {\pi -\theta }{2}}}$. Con la ayuda de una identidad trigonométrica conocida como fórmula de reflexión , la relación entre θ y b se puede resolver como: ^{[ 1 ] : 673}

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{min}}&=2b\cdot \cot {\frac {\pi -\theta }{2}}\\[1ex]\\&=2b\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}\\[1ex]\\\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {2b}{r_{\text{min}}}}\end{aligned}}}$$

que se puede reorganizar para dar

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {r_{\text{min}}}{2b}}=2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv_{0}^{2}b}}}$$

Rutherford proporciona algunos valores ilustrativos como se muestra en esta tabla: ^{[ 1 ] : 673}

El enfoque de Rutherford para este problema de dispersión sigue siendo un tratamiento estándar en los libros de texto ^{[ 49 ] : 151 [ 50 ] : 240 [ 51 ] : 400} sobre mecánica clásica .

Para comparar con los experimentos, la relación entre el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión debe convertirse en probabilidad versus ángulo. La sección transversal de dispersión proporciona la intensidad relativa por ángulos: ^{[ 46 ] : 81}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\Omega )\mathrm {d} \Omega ={\frac {{\text{number of particles scattered into solid angle }}\mathrm {d} \Omega {\text{ per unit time}}}{\text{incident intensity}}}}$$

En mecánica clásica, el ángulo de dispersión${\displaystyle \theta }$está determinada de forma única por la energía cinética inicial de las partículas incidentes y el parámetro de impacto b . ^{[ 46 ] : 82} Por lo tanto, el número de partículas dispersadas en un ángulo entre${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$debe ser igual al número de partículas con parámetros de impacto asociados entre b y b + db . Para una intensidad incidente I , esto implica:

$${\displaystyle 2\pi Ib\cdot \left|\mathrm {d} b\right|=-2\pi \cdot \sigma (\theta )\cdot I\cdot \sin(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta }$$

Por lo tanto, la sección transversal depende del ángulo de dispersión como:

$${\displaystyle \sigma (\theta )=-{\frac {b}{\sin \theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}}$$

Utilizando el parámetro de impacto como función del ángulo, b ( θ ) , del resultado de dispersión simple anterior se obtiene la sección transversal de dispersión de Rutherford: ^{[ 46 ] : 84}

$${\displaystyle \sigma (\Theta )={\frac {\csc ^{4}{\frac {\Theta }{2}}}{4}}\cdot {\left({\frac {2q_{\text{n}}q_{\text{a}}}{mv^{2}}}\right)}^{2}}$$

• ${\displaystyle \sigma (\theta )}$= el número relativo de partículas alfa dispersadas por el ángulo de deflexión${\displaystyle \theta }$
• q _n = carga positiva del núcleo atómico
• q _a = carga positiva de las partículas alfa
• m = masa de una partícula alfa
• v = velocidad de la partícula alfa

Esta fórmula predijo los resultados que Geiger midió al año siguiente. La probabilidad de dispersión en ángulos pequeños supera ampliamente la probabilidad en ángulos mayores, lo que refleja el pequeño núcleo rodeado de espacio vacío. Sin embargo, en encuentros cercanos poco frecuentes, la dispersión en ángulos grandes ocurre con un solo objetivo. ^{[ 52 ] : 19}

Al final del desarrollo de su fórmula de sección transversal, Rutherford enfatiza que los resultados se aplican a la dispersión simple y, por lo tanto, requieren mediciones con láminas delgadas. Para láminas delgadas, el grado de dispersión es proporcional al espesor de la lámina, en concordancia con las mediciones de Geiger. ^{[ 1 ]}

En 1910, Thomson presentó un modelo para la dispersión de partículas beta ^{[ 19 ]} que predecía que, en el modelo del pudín de pasas, una partícula beta podría dispersarse en un ángulo significativo después de una serie de colisiones atómicas. El modelo de Rutherford produjo una dispersión más intensa al concentrar la carga positiva del átomo en un punto central en lugar de distribuirla por todo su volumen. De este modo, una colisión con un solo átomo podía producir un efecto mayor en una partícula beta que el modelo de Thomson. Rutherford completó su análisis incluyendo los efectos de la densidad y el espesor de la lámina, y concluyó que las láminas delgadas se rigen por la dispersión por colisión simple, no por la dispersión por colisión múltiple. ^{[ 9 ] : 298}

Pero el modelo de dispersión de Thomson no podía explicar la gran dispersión que se producía con las partículas alfa , que tienen mucho más momento que las partículas beta . Incluso con múltiples colisiones, la posibilidad de que una partícula alfa se desvíe en una cantidad apreciable es tan baja que resulta insignificante.

El análisis de Rutherford asumió que las trayectorias de las partículas alfa giraban en el centro del átomo, pero la velocidad de salida no se reducía. ^{[ 2 ] : 253} Esto equivale a suponer que la carga concentrada en el centro tenía masa infinita o estaba anclada en su lugar. Rutherford analiza las limitaciones de esta suposición comparando la dispersión de átomos más ligeros, como el aluminio, con la de átomos más pesados, como el oro. Si la carga concentrada es más ligera, retrocederá tras la interacción, ganando momento, mientras que la partícula alfa pierde momento y, en consecuencia, disminuye su velocidad. ^{[ 39 ] : 676}

Los tratamientos modernos analizan este tipo de dispersión de Coulomb en el sistema de referencia del centro de masas . Las seis coordenadas de las dos partículas (también llamadas "cuerpos") se convierten en tres coordenadas relativas entre las dos partículas y tres coordenadas del centro de masas que se mueven en el espacio (llamado sistema de referencia del laboratorio). La interacción solo ocurre en las coordenadas relativas, lo que da un problema equivalente de un cuerpo ^{[ 46 ] : 58} tal como lo resolvió Rutherford, pero con diferentes interpretaciones para la masa y el ángulo de dispersión.

En lugar de la masa de la partícula alfa, la fórmula más precisa que incluye el retroceso utiliza la masa reducida : ^{[ 46 ] : 80}

$${\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

Para la dispersión de partículas alfa de Rutherford en oro, con una masa de 197, la masa reducida es muy cercana a la masa de la partícula alfa:

$${\displaystyle \mu _{\text{Au}}={\cfrac {4\times 197}{4+197}}=3.92\approx 4}$$

Para el aluminio más ligero, con una masa de 27, el efecto es mayor:

$${\displaystyle \mu _{\text{Al}}={\cfrac {4\times 27}{4+27}}=3.48}$$

una diferencia de masa del 13%. Rutherford observa esta diferencia y sugiere que se realicen experimentos con átomos más ligeros. ^{[ 1 ] : 677}

El segundo efecto es un cambio en el ángulo de dispersión. El ángulo en el sistema de coordenadas relativo o marco del centro de masas debe convertirse a un ángulo en el marco del laboratorio. ^{[ 46 ] : 85} En el marco del laboratorio, denotado por un subíndice L, el ángulo de dispersión para un potencial central general es

$${\displaystyle \tan \Theta _{\text{L}}={\frac {\sin \Theta }{\cos \Theta +{\frac {m_{1}}{m_{2}}}}}}$$

Para una partícula pesada como el oro utilizado por Rutherford, el factor${\displaystyle {\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}={\tfrac {4}{197}}\approx 0.02}$puede despreciarse en casi todos los ángulos. Entonces el ángulo de laboratorio y los ángulos relativos son los mismos,${\displaystyle \Theta _{\text{L}}\approx \Theta }$.

El cambio en el ángulo de dispersión altera la fórmula para la sección transversal diferencial necesaria para la comparación con el experimento. En general, el cálculo es complejo. Para el caso de la dispersión de partículas alfa por átomos de oro, este efecto sobre la sección transversal es bastante pequeño. ^{[ 46 ] : 88}

En 1919, Rutherford analizó la dispersión de partículas alfa por átomos de hidrógeno, ^{[ 53 ]} mostrando los límites de la fórmula de 1911 incluso con correcciones por masa reducida. ^{[ 54 ] : 191} Problemas similares con desviaciones menores para helio, magnesio y aluminio ^{[ 55 ]} llevaron a la conclusión de que la partícula alfa penetraba el núcleo en estos casos. Esto permitió las primeras estimaciones del tamaño de los núcleos atómicos. ^{[ 2 ] : 255} Experimentos posteriores basados ​​en la aceleración ciclotrónica de partículas alfa que impactaban núcleos más pesados ​​proporcionaron datos para el análisis de la interacción entre la partícula alfa y la superficie nuclear. Sin embargo, a energías que empujan las partículas alfa más profundamente, son fuertemente absorbidas por los núcleos, una interacción más compleja. ^{[ 54 ] : 228 [ 25 ] : 441}

El tratamiento que Rutherford da a la dispersión de partículas alfa parece basarse en la mecánica clásica, a pesar de que las partículas son de dimensiones subatómicas. Sin embargo, los aspectos críticos de la teoría se fundamentan en última instancia en la conservación del momento y la energía. Estos conceptos se aplican por igual en los regímenes clásico y cuántico: las ideas de dispersión desarrolladas por Rutherford se aplican a problemas de dispersión elástica subatómica, como la dispersión neutrón-protón. ^{[ 46 ] : 89}

Consideremos una partícula alfa que pasa cerca de una esfera de carga positiva pura (sin electrones) de radio R. La esfera es mucho más pesada que la partícula alfa, por lo que no se tiene en cuenta el retroceso. Su posición es fija. La partícula alfa pasa lo suficientemente cerca como para rozar el borde de la esfera, que es donde el campo eléctrico de la esfera es más intenso.

En una sección anterior de este artículo se presentó una ecuación que modela cómo una partícula cargada incidente es desviada por otra partícula cargada en una posición fija (es decir, de masa infinita).

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {kq_{1}q_{2}}{mv^{2}b}}}$$

Esta ecuación se puede utilizar para calcular el ángulo de deflexión en el caso especial de la Figura 4, estableciendo el parámetro de impacto b al mismo valor que el radio de la esfera R. Mientras la partícula alfa no penetre la esfera, no hay diferencia entre una esfera de carga y una carga puntual, un resultado matemático conocido como el teorema de la capa .

• q _g = carga positiva del átomo de oro =79 q _e  =1,26 × 10 ⁻¹⁷  C
• q _a = carga de la partícula alfa =2 q _e  =3,20 × 10 ⁻¹⁹  C
• R = radio del átomo de oro =1,44 × 10 ⁻¹⁰  m
• v = velocidad de la partícula alfa =1,53 × 10⁷ ^m  /s
• m = masa de la partícula alfa =6,64 × 10 ⁻²⁷  kg
• k = constante de Coulomb =8,987 × 10⁹ ^N  · ^m² / ^C²

$${\displaystyle \theta _{2}=2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\approx 0.02{\text{ degrees}}}$$

Esto demuestra que la mayor desviación posible será muy pequeña, hasta el punto de que la trayectoria de la partícula alfa que atraviesa la esfera positiva de un átomo de oro es casi una línea recta. Por lo tanto , al calcular la desviación promedio, que será aún menor, trataremos la trayectoria de la partícula a través de la esfera como una cuerda de longitud L.

Dentro de una esfera de carga positiva uniformemente distribuida, la fuerza ejercida sobre la partícula alfa en cualquier punto a lo largo de su trayectoria a través de la esfera es ^{[ 57 ] [ 58 ] : 106}

$${\displaystyle F={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$$

El componente lateral de esta fuerza es

$${\displaystyle F_{\text{y}}={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}\cdot \cos \varphi ={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}}$$

Por lo tanto , el cambio lateral en el momento p _y es

$${\displaystyle \Delta p_{\text{y}}=F_{\text{y}}t={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}}$$

El ángulo de deflexión${\displaystyle \theta _{2}}$es dado por

$${\displaystyle \tan \theta _{2}={\frac {\Delta p_{\text{y}}}{p_{\text{x}}}}={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}}$$

donde p _x es el momento horizontal promedio, que primero se reduce y luego se restaura a medida que la fuerza horizontal cambia de dirección cuando la partícula alfa atraviesa la esfera. Dado que la desviación es muy pequeña,${\displaystyle \tan \theta _{2}}$puede ser tratado como igual a${\displaystyle \theta _{2}}$La longitud de la cuerda${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$, según el teorema de Pitágoras .

El ángulo de deflexión promedio${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}}$suma el ángulo para los valores de b y L en toda la esfera y lo divide por la sección transversal de la esfera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\theta }}_{2}&={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b\\[1ex]\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\end{aligned}}}$$

Esto coincide con la fórmula de Thomson en su artículo de 1910.

Consideremos una partícula alfa que atraviesa un átomo de radio R siguiendo una trayectoria de longitud L. Se ignora el efecto de la esfera positiva para aislar el efecto de los electrones atómicos. Al igual que con la esfera positiva, se espera que la desviación causada por los electrones sea muy pequeña, hasta el punto de que la trayectoria sea prácticamente una línea recta.

En una sección anterior de este artículo se presentó una ecuación que modela cómo una partícula cargada incidente es desviada por otra partícula cargada en una posición fija.

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {kq_{1}q_{2}}{mv^{2}b}}}$$

m y v son la masa y la velocidad de la partícula incidente y b es el parámetro de impacto.

Para los electrones que se encuentran a una distancia arbitraria s de la trayectoria de la partícula alfa, su distancia media será ⁠ s / 2 ⁠ . Por lo tanto, la desviación promedio por electrón será

$${\displaystyle 2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}{\tfrac {s}{2}}}}\approx {\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}}$$

donde q _e es la carga elemental . La desviación neta promedio de todos los electrones dentro de este cilindro de efecto arbitrario alrededor de la trayectoria de la partícula alfa es

$${\displaystyle \theta _{1}={\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}L}}}$$

donde N ₀ es el número de electrones por unidad de volumen y${\displaystyle \pi s^{2}L}$es el volumen de este cilindro.

Tratando a L como una línea recta, ${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$donde b es la distancia de esta línea al centro. La media de${\displaystyle {\sqrt {L}}}$es por lo tanto

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\sqrt {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b={\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}}$$

Para obtener la desviación media${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}}$, reemplazar${\displaystyle {\sqrt {L}}}$en la ecuación para${\displaystyle \theta _{1}}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\theta }}_{1}&={\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}}}\cdot {\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}\\[1ex]\\&={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}\end{aligned}}}$$

donde N es el número de electrones en el átomo, igual a${\displaystyle N_{0}{\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}}$.

Aplicando las ecuaciones de Thomson descritas anteriormente a una partícula alfa que colisiona con un átomo de oro, utilizando los siguientes valores:

• q _g = carga positiva del átomo de oro =79 q _e  =1,26 × 10 ⁻¹⁷  C
• q _a = carga de la partícula alfa =2 q _e  =3,20 × 10 ⁻¹⁹  C
• q _e = carga elemental =1,602 × 10 ⁻¹⁹  C
• R = radio del átomo de oro =1,44 × 10 ⁻¹⁰  m
• v = velocidad de la partícula alfa =1,53 × 10⁷ ^m  /s
• m = masa de la partícula alfa =6,64 × 10 ⁻²⁷  kg
• k = constante de Coulomb =8,987 × 10⁹ ^N  · ^m² / ^C²
• N = número de electrones en el átomo de oro = 79

proporciona el ángulo parcial promedio por el cual la partícula alfa debería ser desviada por los electrones atómicos como:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}\approx 0.00007{\text{ radians or }}0.004{\text{ degrees}}}$$

y la desviación parcial promedio causada por la esfera positiva es:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\approx 0.00013{\text{ radians or 0.007 degrees}}}$$

La desviación neta para una sola colisión atómica es:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}={\sqrt {{\bar {\theta }}_{1}^{2}+{\bar {\theta }}_{2}^{2}}}\approx 0.008{\text{ degrees}}}$$

En promedio, tanto la esfera positiva como los electrones proporcionan muy poca desviación en una sola colisión. El modelo de Thomson combinó muchos eventos de dispersión simple de los electrones del átomo y una esfera positiva. Cada colisión puede aumentar o disminuir el ángulo de dispersión total. Solo muy raramente una serie de colisiones se alinearían todas en la misma dirección. El resultado es similar al problema estadístico estándar llamado paseo aleatorio . Si el ángulo de desviación promedio de la partícula alfa en una sola colisión con un átomo es${\displaystyle {\bar {\theta }}}$, entonces la desviación promedio después de n colisiones es

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{n}={\bar {\theta }}{\sqrt {n}}}$$

La probabilidad de que una partícula alfa se desvíe un total de más de 90° después de n desviaciones viene dada por:

$${\displaystyle e^{-(90/{\bar {\theta }}_{n})^{2}}}$$

donde e es el número de Euler (≈2,71828...). Una lámina de oro con un espesor de 1,5 micrómetros tendría aproximadamente 10 000 átomos de espesor. Si la desviación promedio por átomo es de 0,008°, la desviación promedio después de 10 000 colisiones sería de 0,8°. La probabilidad de que una partícula alfa se desvíe más de 90° será ^{[ 58 ] : 109}

$${\displaystyle e^{-(90/0.8)^{2}}\approx e^{-12656}\approx 10^{-5946}}$$

Si bien en el modelo del pudín de pasas de Thomson es matemáticamente posible que una partícula alfa se desvíe más de 90° después de 10 000 colisiones, la probabilidad de tal evento es tan baja que resulta indetectable. Geiger y Marsden no deberían haber detectado ninguna partícula alfa que regresara en el experimento que realizaron en 1909 , y sin embargo lo hicieron.