Rotación

La combinación de cualquier secuencia de rotaciones de un objeto en tres dimensiones alrededor de un punto fijo siempre equivale a una rotación alrededor de un eje (que puede considerarse una rotación en el plano de rotación perpendicular a dicho eje). De manera similar, la velocidad de rotación de un objeto en tres dimensiones en cualquier instante se produce alrededor de un eje, aunque este eje puede variar con el tiempo.

En dimensiones distintas a tres, no tiene sentido describir una rotación como si ocurriera alrededor de un eje, ya que más de un eje que atraviesa el objeto puede permanecer fijo; en cambio, las rotaciones simples se describen como si ocurrieran en un plano. En cuatro o más dimensiones, una combinación de dos o más rotaciones alrededor de un plano no suele ser una rotación en un solo plano.

Las rotaciones bidimensionales, a diferencia de las tridimensionales, no poseen un eje de rotación, sino solo un punto alrededor del cual se produce la rotación. Esto equivale, en el caso de las transformaciones lineales, a decir que no existe ninguna dirección en el plano que permanezca inalterada por una rotación bidimensional, salvo, por supuesto, la dirección identidad.

La cuestión de la existencia de tal dirección es la cuestión de la existencia de un vector propio para la matriz A que representa la rotación. Toda rotación 2D alrededor del origen a través de un ángulo${\displaystyle \theta }$En sentido contrario a las agujas del reloj, se puede representar de forma bastante sencilla mediante la siguiente matriz :

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$

Una determinación estándar de valores propios conduce a la ecuación característica.

${\displaystyle \lambda ^{2}-2\lambda \cos \theta +1=0,}$

que tiene

${\displaystyle \cos \theta \pm i\sin \theta }$

como sus valores propios. Por lo tanto, no hay ningún valor propio real cuando${\displaystyle \cos \theta \neq \pm 1}$, lo que significa que ningún vector real en el plano permanece inalterado por A.

Sabiendo que la traza es un invariante, el ángulo de rotación${\displaystyle \alpha }$para una matriz de rotación ortogonal propia de 3×3${\displaystyle A}$es encontrado por

${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\left({\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\right)}$

Utilizando el arcocoseno principal, esta fórmula proporciona un ángulo de rotación que satisface${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 180^{\circ }}$El eje de rotación correspondiente debe definirse para que apunte en una dirección que limite el ángulo de rotación a no exceder los 180 grados. (Esto siempre se puede hacer porque cualquier rotación de más de 180 grados alrededor de un eje${\displaystyle m}$siempre se puede escribir como una rotación que tiene${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 180^{\circ }}$si el eje se reemplaza por${\displaystyle n=-m}$.)

Cada rotación adecuada${\displaystyle A}$en el espacio 3D tiene un eje de rotación, que se define de tal manera que cualquier vector${\displaystyle v}$que esté alineado con el eje de rotación no se verá afectado por la rotación. Por consiguiente,${\displaystyle Av=v}$y, por lo tanto, el eje de rotación corresponde a un vector propio de la matriz de rotación asociado con un valor propio de 1. Siempre que el ángulo de rotación${\displaystyle \alpha }$es distinto de cero (es decir, la rotación no es el tensor identidad), hay una y solo una dirección de este tipo. Como A solo tiene componentes reales, hay al menos un autovalor real, y los dos autovalores restantes deben ser conjugados complejos entre sí (véase Autovalores y autovectores#Autovalores y el polinomio característico ). Sabiendo que 1 es un autovalor, se deduce que los dos autovalores restantes son conjugados complejos entre sí, pero esto no implica que sean complejos; podrían ser reales con doble multiplicidad. En el caso degenerado de un ángulo de rotación${\displaystyle \alpha =180^{\circ }}$Los dos autovalores restantes son ambos iguales a −1. En el caso degenerado de un ángulo de rotación cero, la matriz de rotación es la identidad y los tres autovalores son 1 (que es el único caso en el que el eje de rotación es arbitrario).

No se requiere un análisis espectral para encontrar el eje de rotación. Si${\displaystyle n}$denota el vector propio unitario alineado con el eje de rotación, y si${\displaystyle \alpha }$denota el ángulo de rotación, entonces se puede demostrar que${\displaystyle 2\sin(\alpha )n=\{A_{32}-A_{23},A_{13}-A_{31},A_{21}-A_{12}\}}$. En consecuencia, el costo de un análisis de valores propios puede evitarse simplemente normalizando este vector si tiene una magnitud distinta de cero. Por otro lado, si este vector tiene una magnitud cero, significa que${\displaystyle \sin(\alpha )=0}$. En otras palabras, este vector será cero si y solo si el ángulo de rotación es 0 o 180 grados, y el eje de rotación se puede asignar en este caso normalizando cualquier columna de${\displaystyle A+I}$que tiene una magnitud distinta de cero. ^{[ 2 ]}

Esta discusión se aplica a una rotación adecuada y, por lo tanto,${\displaystyle \det A=1}$Cualquier matriz ortogonal impropia de 3x3${\displaystyle B}$puede escribirse como${\displaystyle B=-A}$, en el cual${\displaystyle A}$es ortogonal propia. Es decir, cualquier matriz ortogonal impropia de 3x3 puede descomponerse como una rotación propia (a partir de la cual se puede encontrar un eje de rotación como se describió anteriormente) seguida de una inversión (multiplicación por −1). De ello se deduce que el eje de rotación de${\displaystyle A}$es también el vector propio de${\displaystyle B}$correspondiente a un valor propio de −1.

Así como toda rotación tridimensional posee un eje de rotación, también posee un plano perpendicular a dicho eje, el cual permanece invariable ante la rotación. La rotación, restringida a este plano, es una rotación bidimensional ordinaria.

La demostración procede de forma similar a la discusión anterior. Primero, supongamos que todos los autovalores de la matriz de rotación 3D A son reales. Esto significa que existe una base ortogonal, formada por los autovectores correspondientes (que son necesariamente ortogonales), sobre la cual el efecto de la matriz de rotación es simplemente estirarla. Si escribimos A en esta base, es diagonal; pero una matriz ortogonal diagonal está formada únicamente por +1 y −1 en sus entradas diagonales. Por lo tanto, no tenemos una rotación propiamente dicha, sino la matriz identidad o el resultado de una secuencia de reflexiones.

De ello se deduce que una rotación propia tiene algún valor propio complejo. Sea v el vector propio correspondiente. Entonces, como mostramos en el tema anterior,${\displaystyle {\bar {v}}}$es también un vector propio, y${\displaystyle v+{\bar {v}}}$y${\displaystyle i(v-{\bar {v}})}$son tales que su producto escalar se anula:

${\displaystyle i(v^{\text{T}}+{\bar {v}}^{\text{T}})(v-{\bar {v}})=i(v^{\text{T}}v-{\bar {v}}^{\text{T}}{\bar {v}}+{\bar {v}}^{\text{T}}vv^{\text{T}}{\bar {v}})=0}$

porque, ya que${\displaystyle {\bar {v}}^{\text{T}}{\bar {v}}}$es real, es igual a su conjugado complejo${\displaystyle v^{\text{T}}v}$, y${\displaystyle {\bar {v}}^{\text{T}}v}$y${\displaystyle v^{\text{T}}{\bar {v}}}$son ambas representaciones del mismo producto escalar entre${\displaystyle v}$y${\displaystyle {\bar {v}}}$.

Esto significa${\displaystyle v+{\bar {v}}}$y${\displaystyle i(v-{\bar {v}})}$son vectores ortogonales. Además, ambos son vectores reales por construcción. Estos vectores abarcan el mismo subespacio que${\displaystyle v}$y${\displaystyle {\bar {v}}}$, que es un subespacio invariante bajo la aplicación de A. Por lo tanto, abarcan un plano invariante.

Este plano es ortogonal al eje invariante, que corresponde al vector propio restante de A , con valor propio 1, debido a la ortogonalidad de los vectores propios de A.

Se dice que un vector está rotando si cambia su orientación. Este efecto generalmente solo se produce cuando su vector de tasa de cambio tiene una componente perpendicular distinta de cero al vector original. Esto se puede demostrar considerando un vector${\displaystyle {\vec {A}}}$que está parametrizada por alguna variable${\textstyle t}$para lo cual:

${\displaystyle {d|{\vec {A}}|^{2} \over dt}={d({\vec {A}}\cdot {\vec {A}}) \over dt}\Rightarrow {d|{\vec {A}}| \over dt}={d{\vec {A}} \over dt}\cdot {\hat {A}}}$

Lo cual también proporciona una relación de la tasa de cambio del vector unitario al tomar${\displaystyle {\vec {A}}}$, ser tal vector:$${\displaystyle {d{\hat {A}} \over dt}\cdot {\hat {A}}=0}$$demostrando que${\textstyle {d{\hat {A}} \over dt}}$El vector es perpendicular al vector,${\displaystyle {\vec {A}}}$. ^{[ 3 ]}

De:

${\displaystyle {d{\vec {A}} \over dt}={d(|{\vec {A}}|{\hat {A}}) \over dt}={d|{\vec {A}}| \over dt}{\hat {A}}+|{\vec {A}}|\left({d{\hat {A}} \over dt}\right)}$,

ya que el primer término es paralelo a${\displaystyle {\vec {A}}}$Si consideramos la segunda componente perpendicular a la primera, podemos concluir, en general, que las componentes paralela y perpendicular de la tasa de cambio de un vector influyen independientemente solo en la magnitud o la orientación del vector, respectivamente. Por lo tanto, un vector en rotación siempre tiene una componente perpendicular distinta de cero en su tasa de cambio con respecto al propio vector.

A medida que aumentan las dimensiones , aumenta el número de vectores de rotación . En un espacio de cuatro dimensiones (un hipervolumen ), las rotaciones ocurren a lo largo de los ejes x, y, z y w. Un objeto rotado sobre el eje w interseca varios volúmenes , donde cada intersección es igual a un volumen autocontenido en un ángulo. Esto da lugar a un nuevo eje de rotación en un hipervolumen de 4D, donde un objeto 3D puede rotarse perpendicularmente al eje z. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Es posible que los objetos tengan trayectorias circulares periódicas sin cambiar su orientación . Este tipo de movimiento se considera movimiento circular en lugar de rotación, más específicamente como una traslación curvilínea. Dado que la traslación implica el desplazamiento de cuerpos rígidos manteniendo su orientación , en el caso de una traslación curvilínea, todos los puntos tienen la misma velocidad instantánea, mientras que el movimiento relativo solo se observa en movimientos que implican rotación. ^{[ 6 ]}

En la rotación, la orientación del objeto cambia, y este cambio es independiente de los observadores cuyos sistemas de referencia mantienen una orientación relativa constante a lo largo del tiempo. Según el teorema de Euler , cualquier cambio de orientación puede describirse mediante una rotación alrededor de un eje que pasa por un punto de referencia elegido. ^{[ 6 ]} Por lo tanto, la distinción entre rotación y movimiento circular se establece al requerir un eje instantáneo para la rotación, una línea que pasa por el centro instantáneo del círculo y es perpendicular al plano de movimiento . En el ejemplo que representa la traslación curvilínea, el centro de los círculos para el movimiento se encuentra sobre una línea recta, pero es paralela al plano de movimiento y, por lo tanto, no se resuelve en un eje de rotación. En cambio, un cuerpo en rotación siempre tendrá su eje instantáneo de velocidad cero perpendicular al plano de movimiento. ^{[ 7 ]}

De manera más general, debido al teorema de Chasles , cualquier movimiento de cuerpos rígidos puede tratarse como una composición de rotación y traslación , llamada movimiento plano general. ^{[ 6 ]} Un ejemplo simple de rotación pura se considera en la rotación alrededor de un eje fijo .

Las rotaciones de Euler ofrecen una descripción alternativa de la rotación. Se trata de una composición de tres rotaciones definidas como el movimiento obtenido al modificar uno de los ángulos de Euler manteniendo constantes los otros dos. Las rotaciones de Euler nunca se expresan en términos del sistema de referencia externo ni del sistema de referencia del cuerpo rotado que se mueve, sino en una combinación de ambos. Constituyen un sistema de ejes de rotación mixto, donde el primer ángulo desplaza la línea de nodos alrededor del eje externo z , el segundo rota alrededor de la línea de nodos y el tercero es una rotación intrínseca alrededor de un eje fijo en el cuerpo que se mueve.

Estas rotaciones se denominan precesión , nutación y rotación intrínseca .

Se dice que un sistema que se comporta igual independientemente de su orientación en el espacio es invariante bajo rotación . Según el teorema de Noether , si la acción (la integral temporal de su lagrangiano) de un sistema físico es invariante bajo rotación, entonces el momento angular se conserva .

La rotación o giro de un agujero negro es su única propiedad astronómica, además de su masa y carga. Esta rotación almacena enormes cantidades de energía, impulsando chorros relativistas de partículas ionizadas que se extienden miles de pársecs en el espacio y perduran cientos de millones de años. Estos chorros son lo suficientemente fuertes como para alterar la evolución de las galaxias. Los agujeros negros giran mucho más rápido que las estrellas de neutrones, a pesar de su origen similar en supernovas , lo que sugiere que el campo magnético giratorio de la estrella de neutrones transfiere energía rotacional a los gases ionizados que salen de la explosión de la nova. ^{[ 9 ]}

Las estrellas , los planetas y cuerpos similares pueden girar sobre sus ejes. La velocidad de rotación de los planetas del Sistema Solar se midió inicialmente mediante el seguimiento de características visuales. La rotación estelar se mide a través del efecto Doppler o mediante el seguimiento de características superficiales activas. Un ejemplo son las manchas solares , que giran alrededor del Sol a la misma velocidad que los gases exteriores que lo componen.

En determinadas circunstancias, los cuerpos en órbita pueden sincronizar su rotación sobre el eje terrestre con su rotación orbital alrededor de un cuerpo de mayor tamaño. Este efecto se denomina acoplamiento de marea ; la Luna está acoplada a la Tierra mediante este acoplamiento de marea.

Esta rotación induce una aceleración centrífuga en el sistema de referencia de la Tierra que contrarresta ligeramente el efecto de la gravedad cuanto más cerca del ecuador se esté . La gravedad terrestre combina ambos efectos de masa, de modo que un objeto pesa un poco menos en el ecuador que en los polos. Otro efecto es que, con el tiempo, la Tierra se deforma ligeramente hasta adquirir forma de esferoide achatado ; un abultamiento ecuatorial similar se desarrolla en otros planetas.

Otra consecuencia de la rotación de un planeta son los fenómenos de precesión y nutación . Al igual que un giroscopio , el efecto general es una ligera oscilación en el movimiento del eje del planeta. Actualmente, la inclinación del eje de la Tierra con respecto a su plano orbital ( oblicuidad de la eclíptica ) es de 23,44 grados, pero este ángulo cambia lentamente (a lo largo de miles de años).

La mayoría de los planetas del Sistema Solar , incluida la Tierra , giran en la misma dirección en que orbitan alrededor del Sol . Las excepciones son Venus y Urano . Se puede pensar que Venus gira lentamente hacia atrás (o que está "boca abajo"). Urano gira casi de lado con respecto a su órbita. La teoría actual es que Urano comenzó con una orientación típica de rotación directa y que un gran impacto lo volcó de lado al principio de su historia. El planeta enano Plutón (anteriormente considerado un planeta) es anómalo en varios aspectos, entre ellos que también gira de lado.

Si bien a menudo se usa revolución como sinónimo de rotación , en muchos campos, particularmente en astronomía y disciplinas afines, revolución (a menudo denominada revolución orbital para mayor claridad) se refiere al movimiento de un cuerpo alrededor de otro, mientras que rotación se usa para describir el movimiento alrededor de un eje. Las lunas giran alrededor de sus planetas, los planetas giran alrededor de sus estrellas (como la Tierra alrededor del Sol) y las estrellas giran lentamente alrededor de sus centros galácticos . El movimiento de los componentes de las galaxias es complejo, pero generalmente incluye un componente de rotación.

En dinámica de vuelo , las rotaciones principales descritas con los ángulos de Euler se conocen como cabeceo , alabeo y guiñada . El término rotación también se usa en aviación para referirse al cabeceo ascendente (el morro se eleva) de una aeronave, particularmente al iniciar el ascenso después del despegue.

Las rotaciones principales tienen la ventaja de modelar diversos sistemas físicos, como cardanes y joysticks , lo que facilita su visualización y permite almacenar una rotación de forma muy compacta. Sin embargo, su uso en cálculos resulta complejo, ya que incluso operaciones sencillas como la combinación de rotaciones son costosas y presentan un problema de bloqueo de cardán, donde los ángulos no pueden calcularse de forma unívoca para determinadas rotaciones.

Muchas atracciones de feria ofrecen rotación. Una noria tiene un eje central horizontal y ejes paralelos para cada cabina, donde la rotación es opuesta, ya sea por gravedad o mecánicamente. Como resultado, en cualquier momento la orientación de la cabina es vertical (no rotada), solo trasladada. La punta del vector de traslación describe un círculo. Un carrusel ofrece rotación alrededor de un eje vertical. Muchas atracciones ofrecen una combinación de rotaciones alrededor de varios ejes. En las sillas voladoras, la rotación alrededor del eje vertical se proporciona mecánicamente, mientras que la rotación alrededor del eje horizontal se debe a la fuerza centrípeta . En las inversiones de las montañas rusas, la rotación alrededor del eje horizontal es de uno o más ciclos completos, donde la inercia mantiene a las personas en sus asientos.

La rotación de una pelota u otro objeto, generalmente llamada efecto , juega un papel importante en muchos deportes, incluyendo el topspin y el backspin en tenis , el follow y el draw en billar y pool , las curvas en béisbol , el spin bowling en cricket , los deportes de disco volador , etc. Las paletas de tenis de mesa se fabrican con diferentes características de superficie para permitir al jugador imprimirle mayor o menor efecto a la pelota.

La rotación de un jugador una o más veces alrededor de un eje vertical puede llamarse giro en patinaje artístico , giro (de la batuta o del artista) en giro de batuta , o 360 , 540 , 720 , etc. en snowboard , etc. La rotación de un jugador o artista una o más veces alrededor de un eje horizontal puede llamarse voltereta , giro , voltereta mortal , helicóptero , etc. en gimnasia , esquí acuático u otros deportes, o uno y medio , dos y medio , ganador (comenzando de espaldas al agua), etc. en buceo , etc. Una combinación de rotación vertical y horizontal (voltereta hacia atrás con 360°) se llama möbius en salto de estilo libre de esquí acuático .

La rotación de un jugador alrededor de un eje vertical, generalmente entre 180 y 360 grados, se denomina giro y se utiliza como maniobra de engaño o evasión, o para intentar jugar, pasar o recibir un balón o disco, etc., o para que un jugador tenga una mejor visión de la portería o de otros jugadores. Es frecuente verla en hockey , baloncesto , fútbol (en sus diversas modalidades), tenis , etc.