Plano de rotación

Para este artículo, todos los planos son planos que pasan por el origen , es decir, contienen el vector cero . Dicho plano en un espacio n- dimensional es un subespacio lineal bidimensional del espacio. Está completamente especificado por cualesquiera dos vectores no nulos y no paralelos que se encuentran en el plano, es decir, por cualesquiera dos vectores a y b , tales que

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \neq 0,}$

donde ∧ es el producto exterior del álgebra exterior o del álgebra geométrica (en tres dimensiones se puede usar el producto vectorial ). Más precisamente, la cantidad a ∧ b es el bivector asociado al plano especificado por a y b , y tiene magnitud | a | | b | sin φ , donde φ es el ángulo entre los vectores; de ahí el requisito de que los vectores sean distintos de cero y no paralelos. ^{[ 2 ]}

Si el bivector a ∧ b se escribe B , entonces la condición de que un punto se encuentre en el plano asociado con B es simplemente ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {B} =0.}$

Esto es cierto en todas las dimensiones y puede tomarse como la definición en el plano. En particular, a partir de las propiedades del producto exterior, se satisface tanto para a como para b , y por lo tanto para cualquier vector de la forma

${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ,}$

con λ y μ números reales. Como λ y μ abarcan todos los números reales, c abarca todo el plano, por lo que esto puede tomarse como otra definición del plano.

Un plano de rotación para una rotación particular es un plano que se transforma en sí mismo mediante dicha rotación. El plano no es fijo, pero todos los vectores que contiene se transforman en otros vectores del mismo plano mediante la rotación. Esta transformación del plano en sí mismo siempre implica una rotación alrededor del origen, con un ángulo que coincide con el ángulo de rotación del plano.

Cada rotación, excepto la rotación identidad (con matriz la matriz identidad ), tiene al menos un plano de rotación y hasta

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }$

planos de rotación, donde n es la dimensión. El número máximo de planos hasta ocho dimensiones se muestra en esta tabla:

Cuando una rotación tiene múltiples planos de rotación, estos son siempre ortogonales entre sí, teniendo solo el origen en común. Esta es una condición más estricta que decir que los planos son perpendiculares ; significa que los planos no tienen vectores distintos de cero en común, y que cada vector en un plano es ortogonal a cada vector en el otro plano. Esto solo puede ocurrir en cuatro o más dimensiones. En dos dimensiones solo hay un plano, mientras que en tres dimensiones todos los planos tienen al menos un vector distinto de cero en común, a lo largo de su línea de intersección . ^{[ 4 ]}

En más de tres dimensiones, los planos de rotación no siempre son únicos. Por ejemplo, el negativo de la matriz identidad en cuatro dimensiones (la inversión central ),

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$

Describe una rotación en cuatro dimensiones en la que cada plano que pasa por el origen es un plano de rotación con un ángulo π , por lo que cualquier par de planos ortogonales genera la rotación. Pero para una rotación general, es al menos teóricamente posible identificar un conjunto único de planos ortogonales, en cada uno de los cuales los puntos giran un ángulo, de modo que el conjunto de planos y ángulos caracteriza completamente la rotación. ^{[ 5 ]}

Una rotación con un solo plano de rotación se denomina rotación simple . En una rotación simple, existe un plano fijo, y se puede decir que la rotación se produce alrededor de este plano, de modo que los puntos, al girar, no cambian su distancia a este plano. El plano de rotación es ortogonal a este plano, y se puede decir que la rotación se produce en este plano.

Por ejemplo, la siguiente matriz fija el plano xy : los puntos en ese plano, y solo en ese plano, permanecen inalterados. El plano de rotación es el plano zw ; los puntos en este plano giran un ángulo θ . Un punto cualquiera gira únicamente en el plano zw , es decir, gira alrededor del plano xy cambiando solo sus coordenadas z y w .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

En dos y tres dimensiones, todas las rotaciones son simples, ya que tienen un solo plano de rotación. Solo en cuatro o más dimensiones existen rotaciones que no son simples. En particular, en cuatro dimensiones también existen rotaciones dobles e isoclínicas.

En una rotación doble existen dos planos de rotación, sin planos fijos, y el único punto fijo es el origen. Se puede decir que la rotación se produce en ambos planos, ya que los puntos en ellos giran dentro de los planos. Estos planos son ortogonales, es decir, no tienen vectores en común, por lo que cada vector en un plano es perpendicular a cada vector en el otro plano. Los dos planos de rotación abarcan un espacio de cuatro dimensiones, por lo que cada punto en el espacio puede especificarse mediante dos puntos, uno en cada plano.

Una rotación doble tiene dos ángulos de rotación, uno para cada plano de rotación. La rotación se especifica indicando los dos planos y dos ángulos distintos de cero, α y β (si alguno de los ángulos es cero, la rotación es simple). Los puntos en el primer plano giran un ángulo α , mientras que los puntos en el segundo plano giran un ángulo β . Todos los demás puntos giran un ángulo entre α y β , por lo que, en cierto sentido, juntos determinan la cantidad de rotación. Para una rotación doble general, los planos de rotación y los ángulos son únicos, y dada una rotación general, se pueden calcular. Por ejemplo, una rotación de α en el plano xy y β en el plano zw viene dada por la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}.}$

Un caso especial de la rotación doble se da cuando los ángulos son iguales, es decir, si α = β ≠ 0. Esto se denomina rotación isoclínica y difiere de una rotación doble general en varios aspectos. Por ejemplo, en una rotación isoclínica, todos los puntos distintos de cero giran el mismo ángulo α . Lo más importante es que los planos de rotación no están identificados de forma única. En cambio, existe un número infinito de pares de planos ortogonales que pueden tratarse como planos de rotación. Por ejemplo, se puede tomar cualquier punto, y el plano en el que gira, junto con el plano ortogonal a él, pueden utilizarse como dos planos de rotación. ^{[ 8 ]}

Toda rotación simple se puede generar mediante dos reflexiones . Las reflexiones se pueden especificar en n dimensiones indicando un subespacio de ( n -1) dimensiones en el que reflejar, de modo que una reflexión bidimensional se produce en una línea, una reflexión tridimensional en un plano, y así sucesivamente. Sin embargo, esto se vuelve cada vez más difícil de aplicar en dimensiones superiores, por lo que es mejor usar vectores, como se muestra a continuación.

Una reflexión en n dimensiones se especifica mediante un vector perpendicular al subespacio de ( n − 1) dimensiones. Para generar rotaciones simples, solo se necesitan reflexiones que fijen el origen, por lo que el vector no tiene posición, solo dirección. Tampoco importa hacia dónde apunte: se puede reemplazar por su opuesto sin que cambie el resultado. De manera similar, se pueden usar vectores unitarios para simplificar los cálculos.

Así pues, la reflexión en un espacio de ( n − 1) dimensiones viene dada por el vector unitario perpendicular a él, m , de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {x} '=-\mathbf {mxm} \,}$

donde el producto es el producto geométrico del álgebra geométrica .

Si x′ se refleja en otro espacio distinto de ( n − 1) dimensiones, descrito por un vector unitario n perpendicular a él, el resultado es

${\displaystyle \mathbf {x} ''=-\mathbf {nx} '\mathbf {n} =-\mathbf {n} (-\mathbf {mxm} )\mathbf {n} =\mathbf {nmxmn} }$

Se trata de una rotación simple en n dimensiones, con un ángulo equivalente al doble del ángulo entre los subespacios, que también coincide con el ángulo entre los vectores m y n . Mediante álgebra geométrica, se puede comprobar que se trata de una rotación y que, como se esperaba, rota todos los vectores.

La cantidad mn es un rotor y nm es su inverso como

${\displaystyle (\mathbf {mn} )(\mathbf {nm} )=\mathbf {mnnm} =\mathbf {mm} =1}$

Así que la rotación se puede escribir

${\displaystyle \mathbf {x} ''=R\mathbf {x} R^{-1}}$

donde R = mn es el rotor.

El plano de rotación es el plano que contiene a m y n , los cuales deben ser distintos; de lo contrario, las reflexiones son iguales y no se produce ninguna rotación. Como cada vector puede ser reemplazado por su negativo, el ángulo entre ellos siempre puede ser agudo, o como máximo π / 2 . La rotación es de un doble del ángulo entre los vectores, hasta π o media vuelta. El sentido de la rotación es de m hacia n : el producto geométrico no es conmutativo , por lo que el producto nm es la rotación inversa, con sentido de n a m .

Por el contrario, todas las rotaciones simples pueden generarse de esta manera, con dos reflexiones, mediante dos vectores unitarios en el plano de rotación separados por la mitad del ángulo de rotación deseado. Estas pueden combinarse para producir rotaciones más generales, utilizando hasta n reflexiones si la dimensión n es par, o n − 2 si n es impar, eligiendo pares de reflexiones dados por dos vectores en cada plano de rotación. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Los bivectores son magnitudes del álgebra geométrica , el álgebra de Clifford y el álgebra exterior , que generalizan la idea de vectores a dos dimensiones. Así como los vectores se relacionan con las líneas, los bivectores se relacionan con los planos. Por lo tanto, todo plano (en cualquier dimensión) puede asociarse con un bivector, y todo bivector simple se asocia con un plano. Esto los hace idóneos para describir planos de rotación.

Cada plano de rotación tiene asociado un bivector simple. Este bivector es paralelo al plano y su magnitud es igual al ángulo de rotación en dicho plano. Estos bivectores se suman para producir un único bivector, generalmente no simple, que abarca toda la rotación. Esto permite generar un rotor mediante la función exponencial , la cual puede utilizarse para rotar un objeto.

Los bivectores están relacionados con los rotores a través del mapa exponencial (que aplicado a los bivectores genera rotores y rotaciones utilizando la fórmula de De Moivre ). En particular, dado cualquier bivector B, el rotor asociado a él es

${\displaystyle R_{\mathbf {B} }=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}.}$

Esta es una rotación simple si el bivector es simple, una rotación más general en caso contrario. Cuando está al cuadrado,

${\displaystyle {R_{\mathbf {B} }}^{2}=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}=e^{\mathbf {B} },}$

da un rotor que gira el doble del ángulo. Si B es simple, entonces esta es la misma rotación que se genera por dos reflexiones, ya que el producto mn da una rotación el doble del ángulo entre los vectores. Estos se pueden igualar,

${\displaystyle \mathbf {mn} =e^{\mathbf {B} },}$

de donde se deduce que el bivector asociado al plano de rotación que contiene a m y n que rota m a n es

${\displaystyle \mathbf {B} =\log(\mathbf {mn} ).}$

Este es un bivector simple, asociado a la rotación simple descrita. Las rotaciones más generales en cuatro o más dimensiones se asocian a sumas de bivectores simples, uno por cada plano de rotación, calculados como se indicó anteriormente.

Entre los ejemplos se incluyen las dos rotaciones en cuatro dimensiones mencionadas anteriormente. La rotación simple en el plano zw por un ángulo θ tiene como bivector e ₃₄ θ , un bivector simple. La rotación doble por α y β en los planos xy y zw tiene como bivector e ₁₂ α + e ₃₄ β , la suma de dos bivectores simples e ₁₂ α y e ₃₄ β que son paralelos a los dos planos de rotación y tienen magnitudes iguales a los ángulos de rotación.

Dado un rotor, el bivector asociado se puede recuperar tomando el logaritmo del rotor, el cual luego se puede dividir en bivectores simples para determinar los planos de rotación, aunque en la práctica, salvo en los casos más sencillos, esto puede resultar poco práctico. Sin embargo, dados los bivectores simples, el álgebra geométrica es una herramienta útil para estudiar los planos de rotación mediante un álgebra como la descrita anteriormente. ^{[ 1 ] [ 11 ]}

Los planos de rotación para una rotación particular utilizando los autovalores . Dada una matriz de rotación general en n dimensiones, su ecuación característica tiene una raíz real (en dimensiones impares) o cero (en dimensiones pares). Las otras raíces están en pares complejos conjugados, exactamente

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$

Estos pares corresponden a los planos de rotación, los autoplanos de la matriz, que pueden calcularse mediante técnicas algebraicas. Además, los argumentos de las raíces complejas son las magnitudes de los bivectores asociados a los planos de rotación. La forma de la ecuación característica está relacionada con los planos, lo que permite relacionar sus propiedades algebraicas, como las raíces repetidas, con los bivectores, cuyas magnitudes tienen interpretaciones geométricas particulares. ^{[ 1 ] [ 12 ]}