Resolución de singularidades

La resolución de singularidades de curvas fue demostrada esencialmente por primera vez por Newton ( 1676 ) , quien mostró la existencia de series de Puiseux para una curva de la cual la resolución se deduce fácilmente. 

Riemann construyó una superficie de Riemann suave a partir del cuerpo de funciones de una curva algebraica compleja, lo que permite resolver sus singularidades. Esto puede aplicarse a cuerpos más generales utilizando el conjunto de anillos de valuación discretos del cuerpo como sustituto de la superficie de Riemann.

El método de Albanese consiste en tomar una curva que abarca un espacio proyectivo de dimensión suficientemente grande (más del doble del grado de la curva) y proyectar repetidamente desde puntos singulares hacia espacios proyectivos de menor dimensión. Este método se extiende a variedades de dimensiones superiores y demuestra que cualquier variedad n -dimensional tiene un modelo proyectivo con singularidades de multiplicidad como máximo n !. Para una curva, n = 1 , por lo que no existen puntos singulares.

Muhly y Zariski (1939) propusieron un método de un solo paso para resolver las singularidades de una curva mediante su normalización . La normalización elimina todas las singularidades en codimensión 1, por lo que funciona para curvas, pero no en dimensiones superiores.

Otro método sencillo para resolver las singularidades de una curva consiste en tomar un espacio de anillos de valoración del cuerpo de funciones de la curva. Este espacio puede transformarse en una curva proyectiva no singular birracional a la curva original.

Al explotar repetidamente los puntos singulares de una curva, se acaban resolviendo las singularidades. El objetivo principal de este método es encontrar una forma de medir la complejidad de una singularidad y demostrar que la explosión mejora esta medida. Existen muchas maneras de hacerlo. Por ejemplo, se puede utilizar el género aritmético de la curva.

El método de Noether toma una curva plana y le aplica repetidamente transformaciones cuadráticas (determinadas por un punto singular y dos puntos en posición general ). Finalmente, esto produce una curva plana cuyas únicas singularidades son puntos múltiples ordinarios (todas las líneas tangentes tienen multiplicidad dos).

El método de Bertini es similar al de Noether. Parte de una curva plana y aplica repetidamente transformaciones birracionales al plano para mejorar la curva. Las transformaciones birracionales son más complejas que las transformaciones cuadráticas utilizadas en el método de Noether, pero producen un mejor resultado, ya que las únicas singularidades son puntos dobles ordinarios.

El método de Zariski para resolver singularidades en superficies consiste en alternar repetidamente la normalización de la superficie (que elimina las singularidades de codimensión 1) con la explosión de puntos (que mejora las singularidades de codimensión 2, pero puede introducir nuevas singularidades de codimensión 1). Si bien esto resuelve las singularidades de las superficies por sí solo, Zariski empleó un método más indirecto: primero demostró un teorema de uniformización local que mostraba que toda valoración de una superficie podía resolverse; luego, aprovechó la compacidad de la superficie de Zariski-Riemann para demostrar que es posible encontrar un conjunto finito de superficies tales que el centro de cada valoración sea simple en al menos una de ellas; y finalmente, estudiando mapas birracionales entre superficies, demostró que este conjunto finito de superficies podía sustituirse por una única superficie no singular.

Al aplicar una resolución embebida fuerte a las curvas, Jung (1908) reduce la superficie a una que presenta singularidades bastante especiales (singularidades de cociente abeliano), las cuales se tratan explícitamente. La versión de mayor dimensión de este método es el método de De Jong.

En general, el análogo del método de Albanese para curvas muestra que, para cualquier variedad, se puede reducir a singularidades de orden como máximo n !, donde n es la dimensión. Para superficies, esto se reduce al caso de singularidades de orden 2, que son bastante fáciles de resolver explícitamente.

Abhyankar (1956) demostró la resolución de singularidades para superficies sobre un cuerpo de cualquier característica mediante la demostración de un teorema de uniformización local para anillos de valuación. El caso más difícil corresponde a anillos de valuación de rango 1 cuyo grupo de valuación es un subgrupo no discreto de los números racionales. El resto de la demostración sigue el método de Zariski.

El método de Hironaka para variedades características arbitrarias proporciona un método de resolución para superficies, que consiste en expandir repetidamente puntos o curvas suaves en el conjunto singular.

Lipman (1978) demostró que una superficie Y (un esquema noetheriano reducido bidimensional) posee una desingularización si y solo si su normalización es finita sobre Y y analíticamente normal (las completaciones de sus puntos singulares son normales) y tiene solo un número finito de puntos singulares. En particular, si Y es excelente , entonces posee una desingularización.

Su método consistía en considerar superficies normales Z con una aplicación propia birracional a Y y demostrar que existe una superficie mínima con el mínimo género aritmético posible. A continuación, demuestra que todas las singularidades de esta superficie mínima Z son pseudorracionales y que dichas singularidades pueden resolverse mediante la explosión repetida de puntos.

Para variedades de dimensión 3 , Zariski (1944) demostró la resolución de singularidades en característica 0. Primero, demostró un teorema sobre la uniformización local de anillos de valuación, válido para variedades de cualquier dimensión sobre cualquier cuerpo de característica 0. Luego, demostró que el espacio de valuaciones de Zariski-Riemann es cuasicompacto (para cualquier variedad de cualquier dimensión sobre cualquier cuerpo), lo que implica que existe una familia finita de modelos de cualquier variedad proyectiva tales que cualquier valuación tiene un centro suave sobre al menos uno de estos modelos. La parte final y más difícil de la demostración, que utiliza el hecho de que la variedad es de dimensión 3 pero que funciona para todas las características, consiste en demostrar que, dados dos modelos, se puede encontrar un tercero que resuelve las singularidades que resuelven cada uno de los dos modelos dados.

Abhyankar (1966) demostró la resolución de singularidades para variedades de dimensión 3 con característica mayor que 6. La restricción sobre la característica surge porque Abhyankar muestra que es posible resolver cualquier singularidad de una variedad de dimensión 3 con multiplicidad menor que la característica, y luego utiliza el método de Albanese para mostrar que las singularidades pueden reducirse a aquellas con multiplicidad como máximo (dimensión)! = 3! = 6. Cutkosky (2009) dio una versión simplificada de la demostración de Abhyankar.

Cossart y Piltant ( 2008 , 2009 ) demostraron la resolución de singularidades de variedades de dimensión 3 en todas las características, demostrando la uniformización local en dimensión como máximo 3, y luego comprobando que la demostración de Zariski de que esto implica la resolución para variedades de dimensión 3 sigue funcionando en el caso de característica positiva. 

La resolución de singularidades en característica 0 en todas las dimensiones fue demostrada por primera vez por Hironaka (1964) . Demostró que era posible resolver singularidades de variedades sobre cuerpos de característica 0 mediante explosiones repetidas a lo largo de subvariedades no singulares, utilizando un argumento de inducción muy complejo sobre la dimensión. Varias personas, entre ellas Bierstone y Milman (1991) , Bierstone y Milman (1997) , Villamayor (1992) , Encinas y Villamayor (1998) , Encinas y Hauser (2002) , Wlodarczyk (2005) y Kollár (2007) , presentaron versiones simplificadas de su formidable demostración. Algunas de las demostraciones recientes tienen aproximadamente una décima parte de la extensión de la demostración original de Hironaka y son lo suficientemente sencillas como para ser presentadas en un curso introductorio de posgrado . Para una explicación detallada del teorema, véase ( Hauser 2003 ) y para una discusión histórica, véase ( Hauser 2000 ) .

De Jong (1996) encontró un enfoque diferente para la resolución de singularidades, generalizando el método de Jung para superficies, que fue utilizado por Bogomolov y Pantev (1996) y por Abramovich y de Jong (1997) para demostrar la resolución de singularidades en característica 0. El método de De Jong dio un resultado más débil para variedades de todas las dimensiones en característica p , que es lo suficientemente fuerte como para actuar como sustituto de la resolución para muchos propósitos. De Jong demostró que para cualquier variedad X sobre un cuerpo hay un morfismo propio dominante que preserva la dimensión de una variedad regular sobre X. Esto no tiene por qué ser un mapa birracional, por lo que no es una resolución de singularidades, ya que puede ser genéricamente finito a uno y, por lo tanto, implica una extensión finita del cuerpo de funciones de X. La idea de De Jong fue intentar representar X como una fibración sobre un espacio más pequeño Y con fibras que son curvas (esto puede implicar modificar X ), luego eliminar las singularidades de Y por inducción sobre la dimensión, luego eliminar las singularidades en las fibras.

La invariante más obvia de una singularidad es su multiplicidad. Sin embargo, esta no tiene por qué disminuir al producirse una explosión, por lo que es necesario utilizar invariantes más sutiles para medir la mejora.

Por ejemplo, la cúspide ránfoide ^y² = x⁵ tiene una singularidad de orden 2 en el origen. Tras explotar en su punto singular, se convierte en la cúspide ordinaria ^{y² = x³} , que aún conserva multiplicidad 2.

Es evidente que la singularidad ha mejorado, puesto que el grado del polinomio definitorio ha disminuido. Esto no ocurre en general. Un ejemplo donde no sucede es la singularidad aislada de x² + y³z + z³ = 0 en el origen. Al expandirla, se obtiene la singularidad x² + y²z ⁺ yz³ = 0. ^{No es} inmediatamente ^obvio que ^esta nueva singularidad sea ^{mejor , ya que ambas singularidades tienen multiplicidad 2 y están dadas por la suma de monomios de grados 2} , 3 y 4.

Una idea natural para mejorar las singularidades es expandir el lugar geométrico de los puntos singulares "peores". El ^paraguas de Whitney x² = y²z ^tiene un conjunto singular en el eje z , cuyos puntos son en su mayoría puntos dobles ordinarios, pero existe una singularidad de punto de estrangulamiento más compleja en el origen, por lo que expandir los puntos singulares peores sugiere que se debería comenzar expandiendo el origen. Sin embargo, expandir el origen reproduce la misma singularidad en uno de los diagramas de coordenadas. Por lo tanto, expandir los puntos singulares (aparentemente) "peores" no mejora la singularidad. En cambio, la singularidad se puede resolver expandiendo a lo largo del eje z .

Hay algoritmos que funcionan haciendo explotar los puntos singulares "peores" en cierto sentido, como ( Bierstone y Milman 1997 ) , pero este ejemplo muestra que la definición de los puntos "peores" debe ser bastante sutil.

Para singularidades más complicadas, como x ² = y ^m z ⁿ que es singular a lo largo de x = yz =0, al explotar la peor singularidad en el origen se producen las singularidades x ² = y ^{m + n − 2} z ⁿ y x ² = y ^m z ^{m + n − 2} que son peores que la singularidad original si m y n son ambos al menos 3.

Tras la resolución, la transformada total (la unión de la transformada estricta y los divisores excepcionales) es una variedad con singularidades del tipo de cruces normales simples. Es natural considerar la posibilidad de resolver singularidades sin resolver este tipo de singularidades; esto implica encontrar una resolución que sea un isomorfismo sobre el conjunto de puntos de cruce normales simples y suaves. Cuando la transformada estricta es un divisor (es decir, puede incrustarse como una subvariedad de codimensión uno en una variedad suave), se sabe que existe una resolución fuerte que evita los puntos de cruce normales simples. El paraguas de Whitney demuestra que no es posible resolver singularidades sin explotar las singularidades de cruces normales.

Una forma natural de resolver singularidades es hacer explotar repetidamente alguna subvariedad suave elegida canónicamente. Esto presenta el siguiente problema: el conjunto singular de ^x² = y²z² es el par de líneas definidas por los ejes y y z . Las únicas variedades razonables para hacer explotar son el origen, uno de estos dos ejes o todo el conjunto singular (ambos ejes). ^{Sin embargo ,} no se puede usar todo el conjunto singular, ya que no es suave, y elegir uno de los dos ejes rompe la simetría entre ellos, por lo que no es canónico. Esto significa que tenemos que empezar haciendo explotar el origen, pero esto reproduce la singularidad original, así que parece que estamos dando vueltas en círculo.

La solución a este problema radica en que, si bien la explosión del origen no altera el tipo de singularidad, sí proporciona una mejora sutil: rompe la simetría entre los dos ejes singulares, ya que uno de ellos es un divisor excepcional para una explosión anterior, por lo que ahora es admisible explotar solo uno de ellos. Sin embargo, para aprovechar esto, el procedimiento de resolución debe tratar estas dos singularidades de manera diferente, aunque localmente sean idénticas. Esto a veces se logra dotando al procedimiento de resolución de cierta memoria, de modo que el centro de la explosión en cada paso dependa no solo de la singularidad, sino también de las explosiones anteriores utilizadas para producirla.

Algunos métodos de resolución (en característica 0) son funtoriales para todos los morfismos suaves. Sin embargo, no es posible encontrar un funtorial de resolución fuerte para todos los morfismos (posiblemente no suaves). Un ejemplo lo proporciona la aplicación del plano afín A ² a la singularidad cónica x ² + y ² = z ² que transforma ( X , Y ) en (2 XY , X ² − Y ² , X ² + Y ² ). El plano XY ya es no singular, por lo que no debería modificarse mediante la resolución, y cualquier resolución de la singularidad cónica se factoriza a través de la resolución mínima dada por la explosión del punto singular. Sin embargo, la aplicación racional del plano XY a esta explosión no se extiende a una aplicación regular.

Las resoluciones mínimas (resoluciones tales que toda resolución las factoriza) existen en las dimensiones 1 y 2, pero no siempre en dimensiones superiores. El flop de Atiyah da un ejemplo en 3 dimensiones de una singularidad sin resolución mínima. Sea Y el conjunto de ceros de xy = zw en A ⁴ , y sea V la explosión de Y en el origen. El lugar excepcional de esta explosión es isomorfo a P ¹ × P ¹ , y puede reducirse a P ¹ de 2 maneras diferentes, dando dos resoluciones pequeñas X ₁ y X ₂ de Y , ninguna de las cuales puede reducirse más.

Kollár (2007 , ejemplo 3.4.4, página 121) da el siguiente ejemplo que muestra que no se puede esperar que un procedimiento de resolución suficientemente bueno conmute con productos. Si f : A → B es la explosión del origen de un cono cuádrico B en el espacio afín 3-dimensional, entonces f × f : A × A → B × B no puede ser producido por un procedimiento de resolución local étale, esencialmente porque el lugar excepcional tiene 2 componentes que se intersecan.

Las singularidades de las variedades tóricas ofrecen ejemplos de singularidades de alta dimensión que se resuelven fácilmente de forma explícita. Una variedad tórica se define mediante un abanico, una colección de conos en una red. Las singularidades se pueden resolver subdividiendo cada cono en una unión de conos, cada uno generado por una base de la red, y tomando la variedad tórica correspondiente.

La construcción de una desingularización de una variedad X puede no producir centros de explosiones que sean subvariedades suaves de X. Muchas construcciones de una desingularización de una variedad abstracta X proceden incrustando localmente X en una variedad suave W , considerando su ideal en W y calculando una desingularización canónica de este ideal. La desingularización de ideales utiliza el orden del ideal como medida de su singularidad. La desingularización del ideal puede hacerse de tal manera que se pueda justificar que los centros locales se combinan para dar centros globales. Este método conduce a una demostración relativamente más sencilla de presentar, en comparación con la demostración original de Hironaka, que utiliza la función de Hilbert-Samuel como medida de la gravedad de las singularidades. Por ejemplo, las demostraciones en Villamayor (1992) , Encinas y Villamayor (1998) , Encinas y Hauser (2002) y Kollár (2007) utilizan esta idea. Sin embargo, este método solo garantiza centros de explosiones que sean regulares en W.

El siguiente ejemplo muestra que este método puede producir centros que tienen intersecciones no suaves con la (transformación estricta de) ^{X. [ 3 ]} Por ^{lo tanto} , la desingularización resultante, cuando se restringe a la variedad abstracta X , no se obtiene mediante la explosión de subvariedades regulares de X.

Sea X la subvariedad del plano afín de cuatro dimensiones, con coordenadas x,y,z,w , generada por y ² - x ³ y x ⁴ + xz ² - w ³ . La desingularización canónica del ideal con estos generadores haría explotar el centro C ₀ dado por x = y = z = w =0. La transformada del ideal en la carta x está generada por x - y ² y y ² ( y ² + z ² - w ³ ). El siguiente centro de explosión C ₁ está dado por x = y =0. Sin embargo, la transformada estricta de X es X ₁ , que está generada por x - y ² y y ² + z ² - w ³ . Esto significa que la intersección de C ₁ y X ₁ está dada por x = y =0 y z ² - w ³ =0, lo cual no es regular.

Para producir centros de explosiones que sean subvariedades regulares de X, las pruebas más fuertes utilizan la función de Hilbert-Samuel de los anillos locales de X en lugar del orden de su ideal en la incrustación local en W. ^{[ 4 ]}

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