Uniformización local

En geometría algebraica , la uniformización local es una forma débil de resolución de singularidades , que establece que una variedad puede desingularizarse cerca de cualquier valuación , o dicho de otro modo, que el espacio de Zariski-Riemann de la matriz es, en cierto sentido, no singular. La uniformización local fue introducida por Zariski ( 1939 , 1940 ) , quien separó el problema de resolver las singularidades de una variedad en el problema de la uniformización local y el problema de combinar las uniformizaciones locales en una desingularización global. 

La uniformización local de una variedad en una valuación de su cuerpo de funciones implica encontrar un modelo proyectivo de la variedad tal que el centro de la valuación sea no singular. Es más débil que la resolución de singularidades: si existe una resolución de singularidades, entonces este es un modelo tal que el centro de cada valuación es no singular. Zariski (1944b) demostró que si se puede demostrar la uniformización local de una variedad, entonces se puede encontrar un número finito de modelos tales que cada valuación tenga un centro no singular en al menos uno de estos modelos. Para completar una demostración de la resolución de singularidades, basta con demostrar que se pueden combinar estos modelos finitos en un solo modelo, pero esto parece bastante difícil. (La uniformización local en una valuación no implica directamente la resolución en el centro de la valuación: en términos generales, solo implica la resolución en una especie de "cuña" cerca de este punto, y parece difícil combinar las resoluciones de diferentes cuñas en una resolución en un punto).

Zariski (1940) demostró la uniformización local de variedades en cualquier dimensión sobre cuerpos de característica 0, y la utilizó para demostrar la resolución de singularidades para variedades en característica 0 de dimensión como máximo 3. La uniformización local en característica positiva parece ser mucho más difícil. Abhyankar ( 1956 , 1966 ) demostró la uniformización local en todas las características para superficies y en características al menos 7 para variedades de dimensión 3, y pudo deducir la resolución global de singularidades en estos casos a partir de esto. Cutkosky (2009) simplificó la larga demostración de Abhyankar. Cossart y Piltant ( 2008 , 2009 ) extendieron la demostración de Abhyankar de la uniformización local de variedades de dimensión 3 a las características restantes 2, 3 y 5. Temkin (2013) mostró que es posible encontrar una uniformización local de cualquier valuación después de tomar una extensión puramente inseparable del cuerpo de funciones.  

La uniformización local en característica positiva para variedades de dimensión al menos 4 es (a fecha de 2019) un problema abierto.

• Abhyankar, Shreeram (1956), "Uniformización local en superficies algebraicas sobre campos base de característica p ≠0", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 63 (3): 491– 526, doi : 10.2307/1970014 , JSTOR 1970014 , MR 0078017  
• Abhyankar, Shreeram S. (1966), Resolución de singularidades de superficies algebraicas embebidas , Springer Monographs in Mathematics, Acad. Press, doi : 10.1007/978-3-662-03580-1 , ISBN 3-540-63719-2(1998, 2ª edición)
• Cossart, Vincent; Piltant, Olivier (2008), "Resolución de singularidades de variedades tridimensionales en característica positiva. I. Reducción a la uniformización local en recubrimientos de Artin-Schreier y puramente inseparables" , Journal of Algebra , 320 (3): 1051–1082 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.03.032 , MR 2427629 
• Cossart, Vincent; Piltant, Olivier (2009), "Resolución de singularidades de variedades tridimensionales en característica positiva. II" (PDF) , Journal of Algebra , 321 (7): 1836–1976 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.11.030 , MR 2494751 
• Cutkosky, Steven Dale (2009), "Resolución de singularidades para variedades tridimensionales en característica positiva", Amer. J. Math. , 131 (1): 59– 127, arXiv : math/0606530 , doi : 10.1353/ajm.0.0036 , JSTOR 40068184 , MR 2488485 , S2CID 2139305   
• Temkin, Michael (2013), "Uniformización local inseparable", J. Algebra , 373 : 65– 119, arXiv : 0804.1554 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2012.09.023 , MR 2995017 , S2CID 115167009  
• Zariski, Oscar (1939), "La reducción de las singularidades de una superficie algebraica", Ann. of Math. , 2, 40 (3): 639– 689, doi : 10.2307/1968949 , JSTOR 1968949 
• Zariski, Oscar (1940), "Uniformización local en variedades algebraicas", Ann. of Math. , 2, 41 (4): 852– 896, doi : 10.2307/1968864 , JSTOR 1968864 , MR 0002864  
• Zariski, Oscar (1944a), "La compacidad de la variedad de Riemann de un campo abstracto de funciones algebraicas", Bulletin of the American Mathematical Society , 50 (10): 683–691 , doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08206-2 , ISSN 0002-9904 , MR 0011573  
• Zariski, Oscar (1944b), "Reducción de las singularidades de variedades algebraicas tridimensionales", Ann. of Math. , 2, 45 (3): 472– 542, doi : 10.2307/1969189 , JSTOR 1969189 , MR 0011006  

• "Uniformización local" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]