Excelente anillo

En álgebra conmutativa , un anillo cuasi-excelente es un anillo conmutativo noetheriano que se comporta bien con respecto a la operación de completitud , y se denomina anillo excelente si también es universalmente catenario . Los anillos excelentes son una respuesta al problema de encontrar una clase natural de anillos "de buen comportamiento" que contenga la mayoría de los anillos que aparecen en la teoría de números y la geometría algebraica . En un momento dado, parecía que la clase de anillos noetherianos podría ser una respuesta a este problema, pero Masayoshi Nagata y otros encontraron varios contraejemplos extraños que mostraban que, en general, los anillos noetherianos no necesitan comportarse bien: por ejemplo, un anillo local noetheriano normal no necesita ser analíticamente normal .

La clase de anillos excelentes fue definida por Alexander Grothendieck (1965) como un candidato para dicha clase de anillos de buen comportamiento. Se conjetura que los anillos cuasi-excelentes son los anillos base para los cuales se puede resolver el problema de la resolución de singularidades ; Hironaka (1964) demostró esto en la característica 0, pero el caso de característica positiva es (a partir de 2024) todavía un importante problema abierto. Esencialmente todos los anillos noetherianos que ocurren naturalmente en geometría algebraica o teoría de números son excelentes; de hecho, es bastante difícil construir ejemplos de anillos noetherianos que no sean excelentes.

La definición de anillos excelentes es bastante compleja, por lo que recordamos las definiciones de las condiciones técnicas que satisface. Aunque parece una larga lista de condiciones, la mayoría de los anillos en la práctica son excelentes, como los cuerpos , los anillos polinómicos , los anillos noetherianos completos , los dominios de Dedekind sobre la característica 0 (como ), y los anillos de cociente y localización de estos anillos. ${\displaystyle \mathbb {Z}}$

• Un anillo que contiene un campo se llama geométricamente regular si para cualquier extensión finita del anillo es regular .${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle R\otimes _ {k}K}$
• Un homomorfismo de anillos de se llama regular si es plano y para cada fibra es geométricamente regular sobre el cuerpo de residuos de .${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Espec.}}(R)}$${\displaystyle S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• Un anillo se denomina anillo G ^[1] (o anillo de Grothendieck ) si es noetheriano y sus fibras formales son geométricamente regulares; esto significa que para cualquier , la función desde el anillo local hasta su completitud es regular en el sentido anterior.${\estilo de visualización R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Espec.}}(R)}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\to {\hat {R_{\mathfrak {p}}}}}$

Finalmente, un anillo es J-2 ^[2] si cualquier álgebra de tipo finito es J-1 , lo que significa que el subesquema regular está abierto. ${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle {\text{Reg}}({\text{Espec}}(S))\subconjunto {\text{Espec}}(S)}$

Un anillo se denomina cuasi-excelente si es un anillo G y un anillo J-2. Se denomina excelente ^{[3] pg 214} si es cuasi-excelente y universalmente catenario . En la práctica, casi todos los anillos noetherianos son universalmente catenarios, por lo que hay poca diferencia entre anillos excelentes y cuasi-excelentes. ${\estilo de visualización R}$

Un esquema se llama excelente o cuasi-excelente si está cubierto por subesquemas afines abiertos con la misma propiedad, lo que implica que cada subesquema afín abierto tiene esta propiedad.

Como un anillo excelente es un anillo G, ^[1] es noetheriano por definición. Como es universalmente catenario, cada cadena máxima de ideales primos tiene la misma longitud. Esto es útil para estudiar la teoría de la dimensión de tales anillos porque su dimensión puede estar limitada por una cadena máxima fija. En la práctica, esto significa que no se pueden construir anillos noetherianos de dimensión infinita ^[4] que tienen una definición inductiva de cadenas máximas de ideales primos, lo que da como resultado un anillo de dimensión infinita. ${\estilo de visualización R}$

Dado un esquema excelente y un morfismo de tipo localmente finito , entonces es excelente ^{[3] pág. 217} . ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle X'}$

Cualquier anillo cuasi-excelente es un anillo Nagata .

Cualquier anillo local reducido cuasi-excelente se reduce analíticamente .

Cualquier anillo local normal cuasi-excelente es analíticamente normal .

La mayoría de los anillos conmutativos que se dan de forma natural en la teoría de números o la geometría algebraica son excelentes. En particular:

• Todos los anillos locales noetherianos completos, por ejemplo todos los campos y el anillo Z _p de enteros p -ádicos , son excelentes.
• Todos los dominios de Dedekind de característica 0 son excelentes. En particular, el anillo Z de los números enteros es excelente. Los dominios de Dedekind sobre cuerpos de característica mayor que 0 no necesitan ser excelentes.
• Los anillos de series de potencias convergentes en un número finito de variables sobre R o C son excelentes.
• Cualquier localización de un anillo excelente es excelente.
• Cualquier álgebra generada finitamente sobre un anillo excelente es excelente. Esto incluye todas las álgebras polinómicas con excelencia. Esto significa que la mayoría de los anillos considerados en geometría algebraica son excelentes.${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})}$${\displaystyle R}$

He aquí un ejemplo de un anillo de valoración discreto A de dimensión 1 y característica p > 0 que es J-2 pero no un anillo G y por lo tanto no es cuasi-excelente. Si k es cualquier cuerpo de característica p con [ k  : k ^p ] = ∞ y A es el anillo de la serie de potencias Σ a _i x ⁱ tal que [ k ^p ( a ₀ , a ₁ , ...) : k ^p ] es finito, entonces las fibras formales de A no son todas geométricamente regulares, por lo que A no es un anillo G. Es un anillo J-2 ya que todos los anillos locales noetherianos de dimensión como máximo 1 son anillos J-2 . También es universalmente catenario ya que es un dominio de Dedekind. Aquí k ^p denota la imagen de k bajo el morfismo de Frobenius a → a ^p .

He aquí un ejemplo de un anillo que es un anillo G pero no un anillo J-2 y por lo tanto no es cuasi-excelente. Si R es el subanillo del anillo polinómico k [ x ₁ , x ₂ ,...] en infinitos generadores generados por los cuadrados y cubos de todos los generadores, y S se obtiene de R mediante la unión de inversos a todos los elementos que no están en ninguno de los ideales generados por algún x _n , entonces S es un dominio noetheriano unidimensional que no es un anillo J-1 ya que S tiene una singularidad de cúspide en cada punto cerrado, por lo que el conjunto de puntos singulares no es cerrado, aunque es un anillo G. Este anillo también es universalmente catenario, ya que su localización en cada ideal primo es un cociente de un anillo regular.

El ejemplo de Nagata de un anillo local noetheriano bidimensional que es catenario pero no universalmente catenario es un anillo G, y también es un anillo J-2, ya que cualquier anillo G local es un anillo J-2 (Matsumura 1980, p.88, 260). Por lo tanto, es un anillo local catenario cuasi excelente que no es excelente.

Los anillos cuasi-excelentes están estrechamente relacionados con el problema de resolución de singularidades , y esta parece haber sido la motivación de Grothendieck ^{[3] pg 218} para definirlos. Grothendieck (1965) observó que si es posible resolver singularidades de todos los anillos noetherianos locales integrales completos, entonces es posible resolver las singularidades de todos los anillos cuasi-excelentes reducidos. Hironaka (1964) demostró esto para todos los anillos locales noetherianos integrales completos sobre un cuerpo de característica 0, lo que implica su teorema de que todas las singularidades de los esquemas excelentes sobre un cuerpo de característica 0 pueden resolverse. A la inversa, si es posible resolver todas las singularidades de los espectros de todas las álgebras finitas integrales sobre un anillo noetheriano R, entonces el anillo R es cuasi-excelente.

• Resolución de singularidades

• Alexandre Grothendieck , Jean Dieudonné , Eléments de géométrie algébrique IV Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS 24 (1965), sección 7
• VI Danilov (2001) [1994], "Anillo excelente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Hironaka, Heisuke (1964). "Resolución de singularidades de una variedad algebraica sobre un cuerpo de característica cero: I". Anales de Matemáticas . 79 (1): 109–203. doi :10.2307/1970486. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970486.
• Hironaka, Heisuke (1964). "Resolución de singularidades de una variedad algebraica sobre un cuerpo de característica cero: II". Anales de Matemáticas . 79 (2): 205–326. doi :10.2307/1970547. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970547.
• Matsumura, Hideyuki (1980). "Capítulo 13". Álgebra conmutativa . Reading, Mass.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-7026-9.