Anillo analíticamente no ramificado

En álgebra, un anillo analíticamente no ramificado es un anillo local cuya completación es reducida (no tiene nilpotente distinto de cero ).

Los siguientes anillos no están ramificados analíticamente:

• anillo reducido pseudogeométrico .
• Excelente anillo rebajado.

Chevalley (1945) demostró que todo anillo local de una variedad algebraica es analíticamente no ramificado. Schmidt (1936) dio un ejemplo de un anillo local reducido analíticamente ramificado. Krull demostró que todo anillo local noetheriano normal unidimensional es analíticamente no ramificado; más precisamente, demostró que un dominio local noetheriano normal unidimensional es analíticamente no ramificado si y solo si su clausura integral es un módulo finito. Esto llevó a Zariski (1948) a preguntarse si un dominio noetheriano local tal que su clausura integral es un módulo finito es siempre analíticamente no ramificado. Sin embargo, Nagata (1955) dio un ejemplo de un anillo local noetheriano normal bidimensional analíticamente ramificado. Nagata también demostró que una versión ligeramente más fuerte de la pregunta de Zariski es correcta: si la normalización de toda extensión finita de un anillo local noetheriano R dado es un módulo finito, entonces R es analíticamente no ramificado.

Hay dos teoremas clásicos de David Rees ( 1961 ) que caracterizan los anillos analíticamente no ramificados. El primero dice que un anillo local noetheriano ( R , m ) es analíticamente no ramificado si y solo si hay un ideal m -primario J y una sucesión ${\displaystyle n_{j}\to \infty }$de tal manera que${\displaystyle {\overline {J^{j}}}\subset J^{n_{j}}}$donde la barra indica la clausura integral de un ideal . La segunda afirmación dice que un dominio local noetheriano es analíticamente no ramificado si y solo si, para cada R -álgebra finitamente generada S que se encuentra entre R y el cuerpo de fracciones K de R , la clausura integral de S en K es un módulo finitamente generado sobre S. La segunda afirmación se deduce de la primera.

Sea K ₀ un cuerpo perfecto de característica 2, como F ₂ . Sea K = K ₀ ({ u _n , v _n  : n ≥ 0}), donde u _n y v _n son indeterminadas. Sea T el subanillo del anillo de series de potencias formales K [[ x , y]] generado por K y K ² [[ x , y]] y el elemento Σ( u _n x ⁿ + v _n y ⁿ ). Nagata demuestra que T es un dominio noetheriano local normal cuya completitud tiene elementos nilpotentes distintos de cero, por lo que T está ramificado analíticamente.

• Chevalley, Claude (1945), "Intersecciones de variedades algebraicas y algebroides", Trans. Amer. Math. Soc. , 57 (1): 1– 85, doi : 10.1090/s0002-9947-1945-0012458-1 , JSTOR 1990167 , MR 0012458  
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Cierre integral de ideales, anillos y módulos , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  336, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, MR 2266432 , archivado del original el 15-11-2019 , recuperado el 13-07-2013 
• Nagata, Masayoshi (1955), "Un ejemplo de anillo local normal que se ramifica analíticamente" , Nagoya Math. J. , 9 : 111–113 , MR 0073572 
• Rees, D. (1961), "Una nota sobre anillos locales analíticamente no ramificados", J. London Math. Soc. , 36 : 24– 28, MR 0126465 
• Schmidt, Friedrich Karl (1936), "Über die Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen Körpererweiterungen", Mathematische Zeitschrift , 41 (1): 443– 450, doi : 10.1007/BF01180433
• Zariski, Oscar (1948), "Irreducibilidad analítica de variedades normales", Ann. of Math. , 2, 49 (2): 352– 361, doi : 10.2307/1969284 , JSTOR 1969284 , MR 0024158  
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975) [1960], Álgebra conmutativa. Vol. II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, MR 0389876