Hispanopedia WikiEn matemáticas , un anillo conmutativo R es catenario si para cualquier par de ideales primos p , q , cualesquiera dos cadenas estrictamente crecientes
- p = p 0 ⊂ p 1 ⊂ ... ⊂ p n = q
Los ideales primos están contenidos en cadenas estrictamente crecientes máximas de p a q de la misma longitud (finita). En una situación geométrica, en la que la dimensión de una variedad algebraica asociada a un ideal primo disminuye a medida que el ideal primo aumenta, la longitud de dicha cadena n suele ser la diferencia de dimensiones.
Un anillo se denomina universalmente catenario si todas las álgebras finitamente generadas sobre él son anillos catenarios.
La palabra "catenaria" deriva de la palabra latina catena , que significa "cadena".
Existe la siguiente cadena de inclusiones.
Fórmula de dimensión
Supongamos que A es un dominio noetheriano y B es un dominio que contiene a A y que es finitamente generado sobre A. Si P es un ideal primo de B y p su intersección con A , entonces
La fórmula de dimensión para anillos universalmente catenarios dice que la igualdad se cumple si A es universalmente catenario. Aquí κ( P ) es el cuerpo residual de P y tr.deg. significa el grado de trascendencia (de cuerpos cociente). De hecho, cuando A no es universalmente catenario, pero, entonces también se cumple la igualdad. [ 1 ]
![{\displaystyle B=A[x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e3977fb281cd6dd165f8974b9bd6fc196017e9)
Ejemplos
Casi todos los anillos noetherianos que aparecen en geometría algebraica son universalmente catenarios. En particular, los siguientes anillos son universalmente catenarios:
- Anillos locales noetherianos completos
- Dominios (y campos) de Dedekind
- Anillos de Cohen-Macaulay (y anillos locales regulares )
- Cualquier localización de un anillo catenario universal
- Cualquier álgebra finitamente generada sobre un anillo universalmente catenario.
Un anillo que es catenario pero no universalmente catenario.
Resulta delicado construir ejemplos de anillos noetherianos que no sean universalmente catenarios. El primer ejemplo fue hallado por Masayoshi Nagata ( 1956 , 1962 , página 203, ejemplo 2) , quien encontró un dominio local noetheriano bidimensional que es catenario, pero no universalmente catenario.
El ejemplo de Nagata es el siguiente. Elija un cuerpo k y una serie de potencias formales z =Σ i >0 a i x i en el anillo S de series de potencias formales en x sobre k tal que z y x sean algebraicamente independientes.
Definimos z 1 = z y z i +1 = z i /x– a i .
Sea R el anillo (no noetheriano) generado por x y todos los elementos z i .
Sea m el ideal ( x ), y sea n el ideal generado por x –1 y todos los elementos z i . Ambos son ideales maximales de R , con campos residuales isomorfos a k . El anillo local R m es un anillo local regular de dimensión 1 (la demostración de esto utiliza el hecho de que z y x son algebraicamente independientes) y el anillo local R n es un anillo local noetheriano regular de dimensión 2.
Sea B la localización de R con respecto a todos los elementos que no están en m ni en n . Entonces B es un anillo semilocal noetheriano bidimensional con 2 ideales maximales, mB (de altura 1) y nB (de altura 2).
Sea I el radical de Jacobson de B y sea A = k + I. El anillo A es un dominio local de dimensión 2 con ideal maximal I , por lo que es catenario porque todos los dominios locales bidimensionales son catenarios. El anillo A es noetheriano porque B es noetheriano y es un A -módulo finito. Sin embargo, A no es universalmente catenario, porque si lo fuera, el ideal mB de B tendría la misma altura que mB ∩ A según la fórmula de dimensión para anillos universalmente catenarios, pero este último ideal tiene una altura igual a dim( A ) = 2.
El ejemplo de Nagata también es un anillo cuasi-excelente , por lo que da un ejemplo de un anillo cuasi-excelente que no es un anillo excelente .
Véase también
- Anillo formalmente catenario (que es lo mismo que un anillo universalmente catenario).
Referencias
- ↑ Hochster, Mel (Invierno de 2014), "Conferencia del 8 de enero de 2014" (PDF) , Conferencias sobre cierre integral, el teorema de Briançon-Skoda y temas relacionados en álgebra conmutativa , Universidad de Michigan
- H. Matsumura, Álgebra conmutativa , 1980 ISBN 0-8053-7026-9.
- Nagata, Masayoshi (1956), "Sobre el problema de la cadena de ideales primos" , Nagoya Math. J. , 10 : 51–64 , doi : 10.1017/S0027763000000076 , MR 0078974 , S2CID 122444738
- Nagata, Masayoshi (1962), Anillos locales , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, Nueva York-Londres: Interscience Publishers, una división de John Wiley & Sons; reimpreso por RE Krieger Pub. Co (1975) ISBN 0-88275-228-6
Véase también
- Geometría algebraica
- Álgebra conmutativa