afinación diatónica regular

Una afinación diatónica regular es cualquier escala musical compuesta por tonos (T) y semitonos (S) dispuestos en cualquier rotación de la secuencia TTSTTTS, que suma una octava , con todos los tonos iguales y todos los semitonos iguales, siendo los semitonos más pequeños que los tonos. En dicha afinación, las notas se conectan entre sí en una cadena de siete quintas, todas iguales (TTTS o una permutación de esta), lo que la convierte en un temperamento lineal con la quinta temperada como generador.

En las escalas diatónicas ordinarias descritas aquí, las T representan tonos y las s semitonos, que son aproximadamente la mitad del tamaño de un tono. Sin embargo, en las afinaciones diatónicas regulares más generales, los dos intervalos pueden tener cualquier relación dentro del rango comprendido entre T = 171,43 ¢ (para s = T en el extremo superior) y T = 240 ¢ (para s = 0 en el extremo inferior) en cents musicales (quinta, p5, entre 685,71 ¢ y 720 ¢). Cabe destacar que las afinaciones diatónicas regulares no se limitan a las notas de ninguna escala diatónica en particular utilizada para describirlas.

Se pueden determinar los centavos correspondientes de s , T y el quinto (p5), dado uno de los siguientes valores:

Cuando los semitonos (diatónicos), s , se reducen a cero ( T = 240 ¢ ), la octava es TTTTT , o un temperamento igual de cinco tonos . A medida que los semitonos aumentan, finalmente todos los pasos tienen el mismo tamaño, y el resultado es un temperamento igual de siete tonos ( s = T = 171,43 ¢ ). Estos dos extremos no se incluyen como afinaciones diatónicas "regulares", porque para ser "regular" se debe conservar el patrón de cinco pasos grandes y dos pequeños; todo lo que está entre medias es regular, por muy pequeños que sean los semitonos sin desaparecer por completo, o por muy grandes que lleguen a ser siempre menores que un tono entero.

Aquí, "regular" se entiende como una correspondencia desde la diatonía pitagórica tal que se conservan todas las relaciones de intervalo . ^{[ 1 ]} Por ejemplo, en todas las afinaciones diatónicas regulares, al igual que en la diatónica pitagórica:

• Las notas están conectadas entre sí a través de una cadena de seis quintas reducidas a la octava, o equivalentemente, a través de quintas ascendentes y cuartas descendentes (por ejemplo, FCGDAEB en Do mayor ).
• Una cadena de tres tonos espaciados en quintas de igual tamaño (reducidos a la octava) genera un tono entero (por ejemplo, CGD ).
• Una secuencia de seis tonos espaciados en cuartas genera un semitono de la misma manera (por ejemplo, EADGCF ).
• Una secuencia de cinco tonos espaciados por quintas (por ejemplo, CGDAE ) genera una tercera mayor, que consta de dos tonos enteros.
• Una cadena de cuatro tonos espaciados en cuartas genera una tercera menor ( ADGC ).

y así sucesivamente; en todos esos ejemplos el resultado es "reducido a la octava" (se baja una octava siempre que una nota en la secuencia exceda una octava por encima del tono inicial).

Si se rompe la regla de que s debe ser menor que T y se sigue aumentando el tamaño de s hasta que sea mayor que T , se obtienen escalas irregulares con dos intervalos grandes y cinco pequeños (el temperamento mavila es un buen ejemplo), y finalmente, cuando desaparecen todos los T , el resultado es ss , es decir, una división de la octava en tritones . Sin embargo, estas extrañas escalas solo se mencionan aquí para descartarlas; no son afinaciones diatónicas regulares .

Todas las afinaciones diatónicas regulares son también temperamentos lineales , es decir, temperamentos regulares con dos generadores: la octava y la quinta temperada. Se puede usar la cuarta temperada como generador alternativo (por ejemplo, como BEADGCF , cuartas ascendentes, reducidas a la octava), pero la quinta temperada es la opción más habitual, y en cualquier caso, dado que las quintas y las cuartas son complementos de octava, ascender por cuartas justas produce el mismo resultado que ascender por quintas.

Todas las afinaciones diatónicas regulares también son colecciones generadas (también llamadas momentos de simetría ) y la cadena de quintas se puede continuar en cualquier dirección para obtener un sistema de doce tonos FCGDAEBF ^♯ C ^♯ G ^♯ D ^♯ A ^♯ , donde el intervalo F ^♯ - G es el mismo que B ^♭ - B , etc., otro momento de simetría con dos tamaños de intervalo.

En lugar de un solo semitono, s , en realidad hay dos: el semitono cromático, c , y el semitono diatónico , d ; d es otro nombre para s . Tres notas separadas por un semitono cromático y uno diatónico forman un tono entero entre la primera y la última: cd = dc = T. La pequeña diferencia de altura entre ambos se llama coma , generalmente precedida por el nombre del sistema de afinación que la genera, como una coma sintónica (21,5 ¢ ), una coma pitagórica (23,5 ¢) o una coma tet 53 (22,6 ¢).    

Una cadena de ocho notas espaciadas en quintas genera un semitono cromático, c , como el espacio entre la primera y la última; es el cambio de tono necesario para elevar un tono menor a un tono mayor ; por ejemplo, de mi ^bemol a mi . Para cualquier afinación, el semitono cromático es el espacio entre una nota bemol y su natural, o una nota natural y su sostenido; entre una tecla blanca y la tecla negra superior (si está afinada como sostenida) o la tecla negra inferior (si está afinada como bemol); en la mayoría de las afinaciones, los dos intervalos son diferentes. El semitono diatónico , d , llamado s arriba, es el cambio de tono de una secuencia de seis notas espaciadas por quintas, por ejemplo, de mi a fa o de si a do . Para cualquier afinación, el semitono diatónico es la diferencia de tono relativa en un teclado estándar entre dos teclas blancas que no tienen ninguna tecla negra entre ellas. El patrón de semitonos cromáticos y diatónicos es cd cd d cd cd cd d o alguna versión mixta del mismo. Aquí, el sistema de siete tonos iguales es el límite cuando el semitono cromático tiende a cero, y el sistema de cinco tonos es el límite cuando el semitono diatónico tiende a cero.        

Las afinaciones diatónicas regulares incluyen todos los temperamentos lineales dentro del "Rango de reconocibilidad" de Easley Blackwood en su The Structure of Recognizable Diatonic Tunings ^{[ 2 ]} para afinaciones diatónicas con

• la quinta temperada entre 4/7 y 3/5 de octava;
• Las segundas mayores y menores son positivas;
• la segunda mayor es mayor que la segunda menor.

Sin embargo, su «rango de reconocimiento» es más restrictivo que la «afinación diatónica regular». Por ejemplo, exige que el semitono diatónico tenga un tamaño mínimo de 25 cents. Véase ^{[ 3 ]} para un resumen.

Cuando las quintas son ligeramente más bajas que en la entonación justa, nos encontramos en la región de las afinaciones históricas de tono medio , que distribuyen o temperan la coma sintónica . Estas incluyen:

•  Temperamento igual de 12 tonos, prácticamente indistinguible del temperamento mesotónico de coma 1/11 .
• Temperamento igual de 19 tonos : equivalente a 1/3 de tono medio con coma ; logra casi exactamente terceras menores puras de 6/5 .
• Temperamento igual de 31 tonos : equivalente a 1/4 de tono medio con coma ; alcanza terceras mayores extremadamente cercanas a 5/4 (387,1 cents ) ; la quinta es de 696,77 cents; la sexta aumentada está a 1 cent de 7/4 ( séptima armónica ) .    
• Temperamento igual de 43  tonos – equivalente a 1/5 ⁠ mesotónico de coma – logra séptimas mayores puras de casi exactamente 15/8 ⁠ ; la quinta es 697,67 cents 
• 55  tonos temperamento igual – equivalente a ⁠ 1 / 6 ⁠ mestono coma ^{[ 4 ]} – logra un tritono diatónico racional ⁠ 45 / 32 ⁠ ; la quinta es 698,18 cents 

Cuando las quintas son exactamente ⁠ 3 / 2 ⁠ , o alrededor de 702 cents, el resultado es la afinación diatónica pitagórica . 

Para quintas ligeramente más estrechas que ⁠ 3 / 2 ⁠ , el resultado es un temperamento cismático , donde el temperamento se mide en términos de una fracción de un cisma : la cantidad por la cual una cadena de ocho quintas reducida a una octava es más aguda que la sexta menor justa ⁠ 8 / 5 ⁠ . Así, por ejemplo, un temperamento cismático ⁠ 1 / 8 ⁠ logrará un ⁠ 8 / 5 ⁠ puro en una cadena ascendente de ocho quintas. El temperamento igual de 53 tonos logra una buena aproximación al temperamento cismático . 

Si la quinta se afina ligeramente más alta, entre 702,4 y 705,9  cents, el resultado son terceras mayores muy agudas con relaciones cercanas a 14/11 ( 417,508 cents) y terceras menores muy bajas alrededor de 13/11 ( 289,210 cents ) . Estas afinaciones se conocen como afinaciones " parapitagóricas " .  

A 705,882  cents, con quintas temperadas en la dirección amplia por 3,929  cents, el resultado es la escala diatónica en temperamento igual de 17 tonos . Más allá de este punto, las terceras mayores y menores regulares se aproximan a proporciones simples de números con factores primos 2-3-7, como la ⁠ 9 / 7 ⁠ o tercera mayor septimal (435,084 cents) y la ⁠ 7 / 6 ⁠ o tercera menor septimal (266,871 cents). Al mismo tiempo, los tonos regulares se aproximan cada vez más a un tono ⁠ 8 / 7 ⁠ grande (231,174 cents), y las séptimas menores regulares a la "séptima armónica" en la proporción simple de ⁠ 7 / 4 ⁠ (968,826 cents). Este rango septimal, conocido como "superpitagórico", se extiende hasta alrededor de 711,11 cents o 27 tonos de temperamento igual , o un poco más allá.     

Eso nos deja con dos extremos:

• El rango de "inframeantone" o "flattone" es el extremo más plano, donde la quinta se encuentra entre el límite inferior de la diatónica regular de temperamento igual de 7 tonos (685,71  cents) y el rango de mesones históricos que comienza alrededor del temperamento igual de 19 tonos (694,74  cents). Aquí, los semitonos diatónicos se aproximan al tamaño del tono entero.
  • El rango entre 690,91  cents (el quinto de 33 tonos de  temperamento igual, que representa 1/2 coma mesotónico ) y 685,71 cents ha sido denominado por algunos como el rango de "tono profundo " . 
• El rango "ultraseptimal" o "ultrapitagoreo" abarca el extremo más agudo, desde 711,11  cents, como se observa en el  temperamento igual de 27 tonos, hasta el límite superior del diatónico regular en 720  cents o temperamento igual de 5 tonos . A medida que se tiende hacia el temperamento  igual de 5 tonos, los semitonos diatónicos se vuelven cada vez más pequeños.

Las escalas diatónicas construidas en temperamento igual pueden tener quintas más amplias o más estrechas que una simple 3/2. Aquí hay algunos ejemplos:

• 15 , 17 , 22 y 27 tienen quintos más amplios que un justo 3/2 .
• 12 ( y sus múltiplos), 19 , 31 y 43 tienen quintos más estrechos que un justo 3/2 .

El término temperamento sintónico describe la combinación de

1. el continuo de afinaciones en el que la quinta justa temperada (P5) es el generador y la octava es el período;
2. Secuencias de coma que comienzan con la coma sintónica (es decir, en las que la coma sintónica se reduce a cero, haciendo que la tercera mayor generada sea tan amplia como dos segundas mayores generadas); y
3. el "rango de afinación" de los temperamentos P5 en los que la segunda menor generada no es ni mayor que la segunda mayor generada, ni menor que el unísono. ^{[ 5 ]}

Esta combinación es necesaria y suficiente para definir un conjunto de relaciones entre intervalos tonales que permanece invariable en todo el rango de afinación del temperamento sintónico. Por lo tanto, también define una correspondencia invariable —a lo largo de todo el continuo de afinación— entre (a) las notas en estos intervalos tonales generados (pseudo-justos) y (b) los armónicos correspondientes de un timbre pseudo-armónico generado de manera similar. En consecuencia, la relación entre el temperamento sintónico y sus timbres alineados con las notas puede considerarse una generalización de la relación especial entre la entonación justa y la serie armónica.

Mantener una correspondencia invariante entre notas y parciales, en todo el rango de afinación, permite la tonalidad dinámica , una expansión novedosa del marco de la tonalidad, que incluye efectos de timbre como primacía, conicidad y riqueza, ^{[ 6 ]} y efectos tonales como inflexiones de afinación polifónicas y progresiones de afinación dinámicas. ^{[ 7 ]}

Si se considera el continuo de afinación del temperamento sintónico como una cuerda, y las afinaciones individuales como cuentas en esa cuerda, entonces se puede ver que gran parte de la literatura microtonal tradicional se centra en las diferencias entre las cuentas, mientras que el temperamento sintónico se centra en los elementos comunes a lo largo de la cuerda.

Las notas del temperamento sintónico se tocan mejor utilizando la disposición de notas Wicki-Hayden . ^{[ 8 ]} Dado que el temperamento sintónico y la disposición de notas Wicki-Hayden se generan con el mismo generador y período, son isomorfos entre sí; por lo tanto, la disposición de notas Wicki-Hayden es un teclado isomorfo para el temperamento sintónico. El patrón de digitación de cualquier estructura musical dada es el mismo en cualquier afinación dentro del continuo de afinación del temperamento sintónico. La combinación de un teclado isomorfo y una afinación continuamente variable permite la tonalidad dinámica descrita anteriormente. ^{[ 7 ]}

Como se muestra en la figura de la derecha, el rango de afinación tonalmente válido del temperamento sintónico incluye varias afinaciones históricamente importantes, como la división igual de la octava de 12 tonos, actualmente popular (afinación de 12-edo, también conocida como "temperamento igual" de 12 tonos ), las afinaciones mesotónicas y la afinación pitagórica . Las afinaciones en el temperamento sintónico pueden ser iguales (12-edo, 31-edo ), desiguales (pitagórica, mesotónica), circulantes y justas. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

La leyenda de la Figura 2 (a la derecha) muestra una pila de notas P5 centradas en Re. Cada nota resultante representa un intervalo del temperamento sintónico con Re como tónica. El cuerpo de la figura muestra cómo cambian las amplitudes (desde Re) de estos intervalos a medida que se modifica la amplitud de la nota P5 a lo largo del continuo de afinación del temperamento sintónico.

• A P5 ≈ 685,7 centavosJugar^ⓘ , los intervalos convergen en solo 7 anchos (suponiendo una equivalencia de octava de 0 y 1200 cents), produciendo 7-edo. S/T = 0.
• En P5 ≈ 694,7Jugar^ⓘ (19-edo), los espacios entre estos 19 intervalos son todos iguales, produciendo una afinación de 19-edo. S/T = 2/3.
• En P5 ≈ 696,8Jugar^ⓘ (31-edo), una pila de 31 intervalos de este tipo mostraría espacios iguales entre cada intervalo, produciendo una afinación de 31-edo. S/T = 3/5.
• En P5 = 700.0Jugar^ⓘ (12-edo), las notas sostenidas y las notas bemoles son iguales, produciendo una afinación de 12-edo. S/T = 1/2.
• En P5 ≈ 701,9Jugar^ⓘ (53-edo), una pila de 53 intervalos de este tipo, cada uno a solo 3/44 de centésima de centena de una quinta pura, crea 31 octavas, produciendo una afinación de 53-edo. S/T = 4/9.
• etc....
• a P5 = 720,0 centavosJugar^ⓘ , los tonos convergen en solo 5 anchos, produciendo 5-edo. S/T = 1.

• El programa de investigación Musica Facta ^{[ 11 ]} investiga la teoría musical del temperamento sintónico.
• La teoría musical del proyecto de investigación Guido 2.0 se basa en el temperamento sintónico. Guido 2.0 busca multiplicar por diez la eficacia de la enseñanza musical al exponer las propiedades invariantes del temperamento sintónico (invariancia de octava, invariancia de transposición, invariancia de afinación e invariancia de digitación) junto con la invariancia geométrica. Guido 2.0 es el componente de Educación Musical de Musica Facta (ver arriba).