Circuito RL

Un circuito resistor-inductor ( circuito RL ), o filtro RL o red RL , es un circuito eléctrico compuesto por resistores e inductores alimentados por una fuente de voltaje o corriente . ^{[ 1 ]} Un circuito RL de primer orden está compuesto por un resistor y un inductor, ya sea en serie alimentados por una fuente de voltaje o en paralelo alimentados por una fuente de corriente. Es uno de los filtros electrónicos analógicos de respuesta de impulso infinita más simples .

Los elementos fundamentales de un circuito lineal pasivo son la resistencia (R), el condensador (C) y el inductor (L). Estos se pueden combinar para formar los circuitos RC , RL, LC y RLC , cuyas abreviaturas indican los componentes utilizados. Estos circuitos presentan comportamientos importantes, fundamentales para la electrónica analógica . En particular, pueden funcionar como filtros pasivos .

Los condensadores suelen preferirse a los inductores, ya que son más fáciles de fabricar y generalmente tienen un tamaño físico menor, sobre todo para valores elevados de componentes. Sin embargo, la inductancia parásita puede ser inevitable.

Los circuitos RC y RL forman un filtro unipolar. Dependiendo de si el elemento reactivo (C o L) está en serie o en paralelo con la carga, el filtro será de paso bajo o de paso alto.

Los circuitos RL se utilizan frecuentemente como fuentes de alimentación de CC para amplificadores de RF , donde el inductor se utiliza para permitir el paso de la corriente de polarización de CC y evitar que la RF regrese a la fuente de alimentación.

La impedancia compleja Z _L (en ohmios ) de un inductor con inductancia L (en henrios ) es

${\displaystyle Z_{L}=Ls\,.}$

La frecuencia compleja s es un número complejo ,

${\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,}$

dónde

• j representa la unidad imaginaria : j ² = −1 ,
• σ es la constante de decaimiento exponencial (en radianes por segundo ), y
• ω es la frecuencia angular (en radianes por segundo).

Las funciones propias de valor complejo de cualquier sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) tienen las siguientes formas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} (t)&=\mathbf {A} e^{st}=\mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\\\mathbf {A} &=Ae^{j\phi }\\\Rightarrow \mathbf {V} (t)&=Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}\\&=Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}\,.\end{alineado}}}$

Según la fórmula de Euler , la parte real de estas funciones propias son sinusoides que decaen exponencialmente:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )\,.}$

El estado estacionario sinusoidal es un caso especial en el que la tensión de entrada consiste en una sinusoide pura (sin decaimiento exponencial). Como resultado,

${\displaystyle \sigma =0}$

y la evaluación de s se convierte en

${\displaystyle s=j\omega \,.}$

Al considerar el circuito como un divisor de voltaje , vemos que el voltaje a través del inductor es:

${\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,,}$

y el voltaje a través de la resistencia es:

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

La corriente en el circuito es la misma en todos los puntos, ya que el circuito está en serie:

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+Ls}}\,.}$

La función de transferencia al voltaje del inductor es

${\displaystyle H_{L}(s)={\frac {V_{L}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {Ls}{R+Ls}}=G_{L}e^{j\phi _{L}}\,.}$

De manera similar, la función de transferencia al voltaje de la resistencia es

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {R}{R+Ls}}=G_{R}e^{j\phi _{R}}\,.}$

La función de transferencia, a la corriente, es

${\displaystyle H_{I}(s)={\frac {I(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{R+Ls}}\,.}$

Las funciones de transferencia tienen un único polo ubicado en

${\displaystyle s=-{\frac {R}{L}}\,.}$

Además, la función de transferencia del inductor tiene un cero situado en el origen .

Las ganancias en ambos componentes se obtienen tomando las magnitudes de las expresiones anteriores:

${\displaystyle G_{L}={\big |}H_{L}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{L}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$

y

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}\,,}$

y los ángulos de fase son:

${\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}$

y

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)\,.}$

Estas expresiones juntas pueden sustituirse en la expresión habitual para el fasor que representa la salida: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}&=G_{L}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{L}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\end{aligned}}}$

La respuesta impulsional para cada voltaje es la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia correspondiente. Representa la respuesta del circuito a un voltaje de entrada que consiste en una función impulsional o delta de Dirac .

La respuesta impulsional para la tensión del inductor es

${\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

donde u ( t ) es la función escalón de Heaviside y τ = ⁠L/Res laconstante de tiempo.

De manera similar, la respuesta impulsional para el voltaje de la resistencia es

${\displaystyle h_{R}(t)={\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,.}$

La respuesta de entrada cero (ZIR), también llamada respuesta natural , de un circuito RL describe el comportamiento del circuito una vez que ha alcanzado voltajes y corrientes constantes y se ha desconectado de cualquier fuente de alimentación. Se denomina respuesta de entrada cero porque no requiere ninguna entrada.

La ZIR de un circuito RL es:

${\displaystyle I(t)=I(0)e^{-{\frac {R}{L}}t}=I(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.}$

Estas son expresiones en el dominio de la frecuencia . Su análisis mostrará qué frecuencias permiten y cuáles rechazan los circuitos (o filtros). Este análisis se basa en considerar qué sucede con estas ganancias a medida que la frecuencia aumenta o disminuye drásticamente.

Cuando ω → ∞ :

${\displaystyle G_{L}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

Cuando ω → 0 :

${\displaystyle G_{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

Esto demuestra que, si la salida se toma a través del inductor, las altas frecuencias se transmiten y las bajas se atenúan (rechazan). Por lo tanto, el circuito se comporta como un filtro paso alto . Sin embargo, si la salida se toma a través de la resistencia, las altas frecuencias se rechazan y las bajas se transmiten. En esta configuración, el circuito se comporta como un filtro paso bajo . Compárese esto con el comportamiento de la salida de la resistencia en un circuito RC , donde ocurre lo contrario.

El rango de frecuencias que deja pasar el filtro se llama su ancho de banda . El punto en el que el filtro atenúa la señal a la mitad de su potencia sin filtrar se denomina su frecuencia de corte . Esto requiere que la ganancia del circuito se reduzca a

${\displaystyle G_{L}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {R}{L}}{\mbox{ rad/s}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {R}{2\pi L}}{\mbox{ Hz}}\,,}$

que es la frecuencia que el filtro atenuará a la mitad de su potencia original.

Evidentemente, las fases también dependen de la frecuencia, aunque este efecto suele ser menos interesante que las variaciones de ganancia.

Cuando ω → 0 :

${\displaystyle \phi _{L}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

Cuando ω → ∞ :

${\displaystyle \phi _{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

Así, en CC (0  Hz ), la tensión de la resistencia está en fase con la tensión de la señal, mientras que la tensión del inductor la adelanta 90°. A medida que aumenta la frecuencia, la tensión de la resistencia se desfasa 90° con respecto a la señal y la tensión del inductor se pone en fase con ella.

Esta sección se basa en el conocimiento de e , la constante logarítmica natural .

La forma más sencilla de derivar el comportamiento en el dominio del tiempo es usar las transformadas de Laplace de las expresiones para V _L y V _R dadas anteriormente. Esto transforma efectivamente jω → s . Suponiendo una entrada escalón (es decir, V _in = 0 antes de t = 0 y luego V _in = V después):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{L}(s)&=V\cdot {\frac {sL}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {R}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

Las expansiones en fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace dan como resultado:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

De este modo, la tensión en el inductor tiende a cero con el paso del tiempo, mientras que la tensión en la resistencia tiende a V , como se muestra en las figuras. Esto concuerda con la idea intuitiva de que el inductor solo tendrá tensión mientras la corriente en el circuito varíe; cuando el circuito alcanza su estado estacionario, no hay más cambios de corriente y, por lo tanto, no hay tensión en el inductor.

Estas ecuaciones muestran que un circuito RL en serie tiene una constante de tiempo, generalmente denotada por τ = ⁠L/R⁠ siendo el tiempo que tarda el voltaje a través del componente en caer (a través del inductor) o subir (a través de la resistencia) hasta estar dentro de ⁠1/mide su valor final. Es decir, τ es el tiempo que tarda V _L en alcanzar V (1/mi⁠ ) ​​y V _R para alcanzar V (1 − ⁠1/mi) . ​

La tasa de cambio es una fracción 1 − ⁠1/mi⁠ por τ . Por lo tanto, al pasar de t = Nτ a t = ( N + 1) τ , el voltaje se habrá movido aproximadamente un 63% desde su nivel en t = Nτ hacia su valor final. Así que el voltaje a través del inductor habrá caído a aproximadamente un 37% después de τ , y esencialmente a cero (0,7%) después de aproximadamente 5τ . La ley de voltaje de Kirchhoff implica que el voltaje a través de la resistencia aumentará a la misma tasa. Cuando la fuente de voltaje se reemplaza con un cortocircuito , el voltaje a través de la resistencia cae exponencialmente con t desde V hacia 0. La resistencia se descargará a aproximadamente un 37% después de τ , y esencialmente completamente descargada (0,7%) después de aproximadamente 5τ . Nótese que la corriente, I , en el circuito se comporta como lo hace el voltaje a través de la resistencia, a través de la ley de Ohm .

El retardo en el tiempo de subida o bajada del circuito se debe en este caso a la fuerza contraelectromotriz del inductor que, a medida que la corriente que fluye a través de él intenta cambiar, impide que la corriente (y por lo tanto el voltaje a través de la resistencia) suba o baje mucho más rápido que la constante de tiempo del circuito. Dado que todos los cables tienen cierta autoinductancia y resistencia, todos los circuitos tienen una constante de tiempo. Como resultado, cuando se enciende la fuente de alimentación, la corriente no alcanza instantáneamente su valor de estado estacionario .V/REn cambio, el aumento de la corriente tarda varias constantes de tiempo en completarse. Si no fuera así, y la corriente alcanzara el estado estacionario inmediatamente, el cambio brusco en el campo magnético generaría campos eléctricos inductivos extremadamente fuertes, lo que provocaría una descarga eléctrica en el circuito y un arco eléctrico , dañando probablemente los componentes (y a los usuarios).

Estos resultados también pueden obtenerse resolviendo la ecuación diferencial que describe el circuito:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{L}\,.\end{aligned}}}$

La primera ecuación se resuelve mediante un factor integrante y proporciona la corriente, la cual debe derivarse para obtener V _L ; la segunda ecuación es directa. Las soluciones son exactamente las mismas que las obtenidas mediante transformadas de Laplace.

Para la evaluación de cortocircuitos , se considera un circuito RL. La ecuación más general es:

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri}$

Con condición inicial :

${\displaystyle i(0)=i_{0}}$

Lo cual se puede resolver mediante la transformada de Laplace :

${\displaystyle V_{in}(s)=sLI-Li_{0}+RI}$

De este modo:

${\displaystyle I(s)={\frac {Li_{o}+V_{in}}{sL+R}}}$

Entonces, la transformada inversa de Laplace tomará la forma:

${\displaystyle i(t)=i_{s}+i_{t}+i_{ss}}$

donde es la respuesta de la corriente inicial en , es la respuesta transitoria del circuito y es la respuesta en estado estacionario. Para todas las entradas, la transferencia inversa toma la forma: ${\displaystyle i_{s}}$${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle i_{t}}$${\displaystyle i_{ss}}$

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V_{in}}{sL+R}}\right]}$

Donde la transformada inversa de Laplace representa las respuestas transitorias y en estado estacionario, basadas en diferentes entradas. En caso de que la tensión de la fuente sea una función escalón de Heaviside (CC):

${\displaystyle v_{in}(t)=Eu(t)}$

La transformación devuelve:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E}{s(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)}$

¿Dónde se encuentra la respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario? ${\displaystyle {\frac {E}{R}}e^{-{\frac {R}{L}}t}}$${\displaystyle {\frac {E}{R}}}$

En caso de que la tensión de la fuente sea una función sinusoidal (CA):

${\displaystyle v_{in}(t)=E\cos(\omega t+\phi )}$

El transformador regresa:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {{\mathcal {L}}{[E\cos {\omega t+\phi }]}}{(sL+R)}}\right]}$

Matemáticamente, este transformador resulta complejo, sin embargo, adopta la misma forma básica que la función escalón de Heaviside:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+K_{t}\left(e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)+|H_{I}(s)|E\cos \left[\omega t+\phi -\angle {H_{I}(s)}\right]}$

Donde y la magnitud y el desfase de : ${\displaystyle |H_{I}(s)|}$${\displaystyle \angle {H_{I}(s)}}$${\displaystyle H_{I}(s)}$

${\displaystyle |H_{I}(s)|={\frac {1}{|R+sL|}}={\frac {1}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}}$ y ${\displaystyle \angle {H_{I}(s)}=\angle {\frac {1}{|R+sL|}}=\arctan \left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)}$

Regresando:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+K_{t}\left(e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\omega t+\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

${\displaystyle K_{t}}$Luego se puede resolver utilizando información sobre las condiciones iniciales. En este ejemplo, en , la ecuación se reduce a: ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle i(0)=i_{0}}$

${\displaystyle i_{o}=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}*0}+K_{t}\left(e^{-{\frac {R}{L}}*0}\right)+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\omega *0+\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

${\displaystyle i_{o}=i_{0}+K_{t}+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

${\displaystyle K_{t}=-{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

Haciendo la ecuación final:${\displaystyle i(t)=\left[i_{0}-{\frac {E\cos \left[\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\right]e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\omega t+\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

Cuando tanto la resistencia como el inductor están conectados en paralelo y se alimentan mediante una fuente de tensión, se denomina circuito RL en paralelo. ^{[ 2 ]} El circuito RL en paralelo suele ser menos interesante que el circuito en serie, a menos que se alimente mediante una fuente de corriente. Esto se debe principalmente a que la tensión de salida ( V _out ) es igual a la tensión de entrada ( V _in ); por lo tanto, este circuito no actúa como filtro para una señal de tensión de entrada.

Con impedancias complejas:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{L}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{\mathrm {in} }}{\omega L}}\,.\end{aligned}}}$

Esto demuestra que el inductor está desfasado 90° con respecto a la corriente de la resistencia (y de la fuente).

El circuito en paralelo se observa en la salida de muchos circuitos amplificadores y se utiliza para aislar el amplificador de los efectos de carga capacitiva a altas frecuencias. Debido al desfase introducido por la capacitancia, algunos amplificadores se vuelven inestables a frecuencias muy altas y tienden a oscilar. Esto afecta la calidad del sonido y la vida útil de los componentes, especialmente de los transistores.

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