Espacio-tiempo cuántico

En física matemática , el concepto de espacio-tiempo cuántico es una generalización del concepto habitual de espacio-tiempo en el que se supone que algunas variables que normalmente conmutan no conmutan y forman un álgebra de Lie diferente . La elección de esa álgebra varía de una teoría a otra. Como resultado de este cambio, algunas variables que normalmente son continuas pueden volverse discretas. A menudo, solo esas variables discretas se denominan "cuantizadas"; el uso varía.

La idea del espacio-tiempo cuántico fue propuesta en los primeros días de la teoría cuántica por Heisenberg e Ivanenko como una forma de eliminar los infinitos de la teoría cuántica de campos. El germen de la idea pasó de Heisenberg a Rudolf Peierls , quien observó que los electrones en un campo magnético pueden considerarse como moviéndose en un espacio-tiempo cuántico, y a Robert Oppenheimer , quien la llevó a Hartland Snyder , quien publicó el primer ejemplo concreto. ^[1] El álgebra de Lie de Snyder fue simplificada por CN Yang en el mismo año.

El espacio-tiempo físico es un espacio-tiempo cuántico cuando en la mecánica cuántica las variables de posición y momento ya son no conmutativas , obedecen al principio de incertidumbre de Heisenberg y son continuas. Debido a las relaciones de incertidumbre de Heisenberg, se necesita mayor energía para sondear distancias más pequeñas. En última instancia, según la teoría de la gravedad, las partículas que sondean forman agujeros negros que destruyen lo que se iba a medir. El proceso no se puede repetir, por lo que no se puede considerar una medición. Esta mensurabilidad limitada llevó a muchos a esperar que la imagen habitual del espacio-tiempo conmutativo continuo se rompiera en distancias de escala de Planck , si no antes. ${\displaystyle x,p}$

Se espera que el espacio-tiempo físico sea cuántico porque las coordenadas físicas son ligeramente no conmutativas. Las coordenadas astronómicas de una estrella se modifican por los campos gravitatorios entre el observador y la estrella, como en la desviación de la luz por el sol, una de las pruebas clásicas de la relatividad general . Por lo tanto, las coordenadas en realidad dependen de las variables del campo gravitatorio. Según las teorías cuánticas de la gravedad, estas variables del campo no conmutan; por lo tanto, las coordenadas que dependen de ellas probablemente no conmutan.

Ambos argumentos se basan en la gravedad pura y la teoría cuántica, y limitan la medición del tiempo a la única constante de tiempo en la gravedad cuántica pura , el tiempo de Planck . Sin embargo, los instrumentos no son puramente gravitacionales, sino que están hechos de partículas. Pueden establecer un límite más severo y mayor que el tiempo de Planck.

Los espacio-tiempos cuánticos a menudo se describen matemáticamente utilizando la geometría no conmutativa de Connes, la geometría cuántica o los grupos cuánticos .

Cualquier álgebra no conmutativa con al menos cuatro generadores podría interpretarse como un espacio-tiempo cuántico, pero se han sugerido los siguientes desiderata:

• Las simetrías del grupo local de Lorentz y del grupo de Poincaré deberían conservarse, posiblemente en forma generalizada. Su generalización a menudo toma la forma de un grupo cuántico que actúa sobre el álgebra cuántica del espacio-tiempo.
• El álgebra podría surgir de manera plausible en una descripción efectiva de los efectos de la gravedad cuántica en algún régimen de esa teoría. Por ejemplo, un parámetro físico , tal vez la longitud de Planck , podría controlar la desviación del espacio-tiempo clásico conmutativo, de modo que el espacio-tiempo lorentziano ordinario surja como .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda \to 0}$
• Podría existir una noción de cálculo diferencial cuántico en el álgebra del espacio-tiempo cuántico, compatible con la simetría (cuántica) y preferiblemente reducible al cálculo diferencial habitual como .${\displaystyle \lambda \to 0}$

Esto permitiría elaborar ecuaciones de ondas para partículas y campos y facilitaría predicciones de desviaciones experimentales de la física clásica del espacio-tiempo que luego podrían probarse experimentalmente.

• El álgebra de Lie debería ser semisimple . ^[2] Esto hace más fácil formular una teoría finita.

En la década de 1990 se encontraron varios modelos que cumplían más o menos la mayoría de los criterios mencionados.

El modelo espacio-tiempo bicrosproducto fue introducido por Shahn Majid y Henri Ruegg ^[3] y tiene relaciones de álgebra de Lie

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=0,\quad [x_{i},t]=i\lambda x_{i}}$

para las variables espaciales y la variable temporal . Aquí tiene dimensiones de tiempo y por lo tanto se espera que sea algo así como el tiempo de Planck. El grupo de Poincaré aquí se deforma correspondientemente, ahora en un cierto grupo cuántico de biproducto cruzado con las siguientes características. ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda }$

Los generadores de momento conmutan entre sí, pero la adición de momentos, reflejada en la estructura del grupo cuántico, se deforma (el espacio de momento se convierte en un grupo no abeliano ). Mientras tanto, los generadores del grupo de Lorentz disfrutan de sus relaciones habituales entre sí, pero actúan de manera no lineal en el espacio de momento. Las órbitas para esta acción se representan en la figura como una sección transversal de contra una de las . La región en la capa que describe las partículas en el centro superior de la imagen normalmente serían hiperboloides, pero ahora están "aplastados" en el cilindro. ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}<\lambda ^{-1}\,}$

en unidades simplificadas. El resultado es que el aumento de Lorentz de un momento nunca lo aumentará por encima del momento de Planck. La existencia de una escala de momento más alta o una escala de distancia más baja se ajusta a la imagen física. Este aplastamiento proviene de la no linealidad del aumento de Lorentz y es una característica endémica de los grupos cuánticos de bicrossproduct conocidos desde su introducción en 1988. ^[4] Algunos físicos denominan al modelo de bicrossproduct relatividad especial doble , ya que establece un límite superior tanto para la velocidad como para el momento.

Otra consecuencia del aplastamiento es que la propagación de partículas se deforma, incluso de la luz, lo que lleva a una velocidad variable de la luz . Esta predicción requiere que lo particular sea la energía física y el momento espacial (en oposición a alguna otra función de ellos). Los argumentos para esta identificación fueron proporcionados en 1999 por Giovanni Amelino-Camelia y Majid ^[5] a través de un estudio de ondas planas para un cálculo diferencial cuántico en el modelo. Toman la forma ${\displaystyle p_{0},p_{i}}$

${\displaystyle e^{i\sum _{i}p_{i}x_{i}}e^{ip_{0}t}\,}$

En otras palabras, una forma que sea lo suficientemente cercana a la clásica como para que se pueda creer de manera plausible en la interpretación. En este momento, este tipo de análisis de ondas representa la mejor esperanza para obtener predicciones físicamente comprobables a partir del modelo.

Antes de este trabajo, hubo una serie de afirmaciones sin fundamento para hacer predicciones a partir del modelo basándose únicamente en la forma del grupo cuántico de Poincaré. También hubo afirmaciones basadas en un grupo cuántico de Poincaré anterior introducido por Jurek Lukierski y colaboradores ^[6] que fueron precursores importantes del bicrossproduct, aunque sin el espacio-tiempo cuántico real y con diferentes generadores propuestos para los que la imagen anterior no se aplica. El espacio-tiempo del modelo de bicrossproduct también se ha denominado espacio-tiempo deformado con . ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa =\lambda ^{-1}}$

Este modelo fue introducido independientemente por un equipo ^[7] que trabajaba bajo la dirección de Julius Wess en 1990 y por Shahn Majid y colaboradores en una serie de artículos sobre matrices trenzadas que comenzaron un año después. ^[8] El punto de vista del segundo enfoque es que el espacio-tiempo de Minkowski habitual tiene una descripción a través de matrices de Pauli como el espacio de matrices hermíticas de 2 x 2. En la teoría cuántica de grupos y utilizando métodos de categorías monoidales trenzadas , aquí se define una versión q natural de esto para valores reales de como una 'matriz hermítica trenzada' de generadores y relaciones. ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}^{\dagger },\quad \beta \alpha =q^{2}\alpha \beta ,\ [\alpha ,\delta ]=0,\ [\beta ,\gamma ]=(1-q^{-2})\alpha (\delta -\alpha ),\ [\delta ,\beta ]=(1-q^{-2})\alpha \beta }$

Estas relaciones indican que los generadores conmutan, recuperando así el espacio de Minkowski habitual. Trabajando con variables más conocidas como combinaciones lineales de éstas, en particular, el tiempo ${\displaystyle q\to 1}$${\displaystyle x,y,z,t}$

${\displaystyle t={\text{Trace}}_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=q\delta +q^{-1}\alpha }$

se da por una traza trenzada natural de la matriz y conmuta con los otros generadores (por lo que este modelo es diferente del biproducto). La imagen de la matriz trenzada también conduce naturalmente a una cantidad

${\displaystyle {\det }_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=\alpha \delta -q^{2}\gamma \beta }$

que devuelve la distancia de Minkowski habitual (esto se traduce en una métrica en la geometría diferencial cuántica). El parámetro o es adimensional y se piensa que es una relación entre la escala de Planck y la longitud cosmológica. Es decir, hay indicios de que este modelo relaciona la gravedad cuántica con una constante cosmológica distinta de cero , cuya elección depende de si esta es positiva o negativa. Esto describe el caso positivo, matemáticamente mejor entendido pero quizás menos justificado físicamente. ${\displaystyle q\to 1}$${\displaystyle q=e^{\lambda }}$${\displaystyle q=e^{i\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle q}$

Una comprensión completa de este modelo requiere (y fue concurrente con el desarrollo de) una teoría completa de "álgebra lineal trenzada" para tales espacios. El espacio de momento para la teoría es otra copia de la misma álgebra y hay una cierta "adición trenzada" de momento en él expresada como la estructura de un álgebra de Hopf trenzada o grupo cuántico en una cierta categoría monoidal trenzada). Esta teoría, en 1993, había proporcionado el grupo de Poincaré -deformado correspondiente tal como se genera por tales traslaciones y transformaciones de -Lorentz, completando la interpretación como un espacio-tiempo cuántico. ^[9]${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

En el proceso se descubrió que el grupo de Poincaré no sólo tenía que ser deformado, sino que también tenía que ser extendido para incluir dilataciones del espacio-tiempo cuántico. Para que una teoría de este tipo fuera exacta, todas las partículas en la teoría deben ser sin masa, lo cual es consistente con los experimentos, ya que las masas de las partículas elementales son extremadamente pequeñas en comparación con la masa de Planck . Si el pensamiento actual en cosmología es correcto, entonces este modelo es más apropiado, pero es significativamente más complicado y por esta razón sus predicciones físicas aún están por desarrollarse. ^{[ ¿Cómo? ]}

Esto se refiere en el uso moderno al álgebra del momento angular .

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]=2i\lambda x_{3},\ [x_{2},x_{3}]=2i\lambda x_{1},\ [x_{3},x_{1}]=2i\lambda x_{2}}$

familiar de la mecánica cuántica pero interpretada en este contexto como coordenadas de un espacio cuántico o espacio-tiempo. Estas relaciones fueron propuestas por Roger Penrose en su primera teoría de redes de espín del espacio. Es un modelo de juguete de la gravedad cuántica en 3 dimensiones del espacio-tiempo (no las 4 físicas) con una firma euclidiana (no la física minkowskiana). Fue propuesta nuevamente ^[10] en este contexto por Gerardus 't Hooft . Un desarrollo posterior que incluye un cálculo diferencial cuántico y una acción de un cierto grupo cuántico "doble cuántico" como grupo euclidiano deformado de movimientos fue dado por Majid y E. Batista. ^[11]

Una característica sorprendente de la geometría no conmutativa es que el cálculo diferencial cuántico covariante más pequeño tiene una dimensión mayor que la esperada, concretamente 4, lo que sugiere que lo anterior también puede considerarse como la parte espacial de un espacio-tiempo cuántico de 4 dimensiones. El modelo no debe confundirse con las esferas difusas , que son álgebras matriciales de dimensión finita que pueden considerarse como esferas en el espacio-tiempo del modelo de espín de radio fijo.

El espacio-tiempo cuántico de Hartland Snyder propone que

${\displaystyle [x_{\mu },x_{\nu }]=iM_{\mu \nu }}$

donde se genera el grupo de Lorentz. Este espacio-tiempo cuántico y el de CN Yang suponen una unificación radical del espacio-tiempo, la energía-momento y el momento angular. ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$

La idea fue revivida en un contexto moderno por Sergio Doplicher , Klaus Fredenhagen y John Roberts en 1995, ^[12] al permitir que simplemente se vea como una función de como se define por la relación anterior, y cualquier relación que la involucre se vea como relaciones de orden superior entre los . La simetría de Lorentz está dispuesta de modo que transforme los índices como de costumbre y sin deformarse. ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$${\displaystyle x_{\mu }}$${\displaystyle x_{\mu }}$

Una variante aún más simple de este modelo es dejar que sea un tensor numérico antisimétrico, en cuyo contexto generalmente se denota , por lo que las relaciones son . En dimensiones pares , cualquier theta no degenerada puede transformarse a una forma normal en la que esto realmente es solo el álgebra de Heisenberg pero con la diferencia de que las variables se proponen como las del espacio-tiempo. Esta propuesta alguna vez fue popular debido a su forma familiar de relaciones y porque se ha argumentado ^[13] que surge de la teoría de cuerdas abiertas que aterrizan en D-branas, vea la teoría cuántica de campos no conmutativa y el plano de Moyal. Sin embargo, esta D-brana vive en algunas de las dimensiones del espacio-tiempo más altas en la teoría y, por lo tanto, no es el espacio-tiempo físico el que la teoría de cuerdas sugiere que es efectivamente cuántico de esta manera. También requiere suscribirse a las D-branas como un enfoque de la gravedad cuántica en primer lugar. Cuando se postula como espacio-tiempo cuántico, es difícil obtener predicciones físicas y una razón para esto es que si es un tensor, entonces, mediante análisis dimensional, debería tener dimensiones de longitud , y si se especula que esta longitud es la longitud de Planck, entonces los efectos serían más difíciles de detectar que para otros modelos. ${\displaystyle M}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [x_{\mu },x_{\nu }]=i\theta _{\mu \nu }}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {}^{2}}$

Aunque no se trata de un espacio-tiempo cuántico en el sentido antes mencionado, otro uso de la geometría no conmutativa es añadir "dimensiones extra no conmutativas" en cada punto del espacio-tiempo ordinario. En lugar de dimensiones extra invisibles y enrolladas como en la teoría de cuerdas, Alain Connes y sus colaboradores han argumentado que el álgebra de coordenadas de esta parte extra debería ser reemplazada por un álgebra no conmutativa de dimensión finita. Para una cierta elección razonable de esta álgebra, su representación y el operador de Dirac extendido, se puede recuperar el Modelo Estándar de partículas elementales. Desde este punto de vista, los diferentes tipos de partículas de materia son manifestaciones de la geometría en estas direcciones extra no conmutativas. Los primeros trabajos de Connes aquí datan de 1989 ^[14] pero se han desarrollado considerablemente desde entonces. Este enfoque se puede combinar teóricamente con el espacio-tiempo cuántico como se ha indicado anteriormente.

• Grupo cuántico
• Geometría cuántica
• Geometría no conmutativa
• Gravedad cuántica
• Topología anabeliana

• Majid, S. (1995), Fundamentos de la teoría cuántica de grupos , Cambridge University Press.
• D. Oriti, ed. (2009), Enfoques de la gravedad cuántica , Cambridge University Press.
• Connes, A. ; Marcolli, M. (2007), Geometría no conmutativa, campos cuánticos y motivos , Colloquium Publications.
• Majid, S.; Schroers, BJ (2009), " -Deformación y semidialización en gravedad cuántica 3D", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 42 (42): 425402 (40pp), Bibcode :2009JPhA...42P5402M, doi :10.1088/1751-8113/42/42/425402, S2CID  17160062${\displaystyle q}$.
• RP Grimaldi, Matemáticas discretas y combinatorias: una introducción aplicada, 4ª ed. Addison-Wesley 1999.
• J. Matousek, J. Nesetril, Invitación a las matemáticas discretas. Oxford University Press 1998.
• Taylor EF, John A. Wheeler, Física del espacio-tiempo, editor WH Freeman, 1963.
• Khoshbin-e-Khoshnazar, MR (2013). "Energía de enlace del universo muy temprano: abandonando a Einstein en favor de un conjunto de tres toros discretizados. Una propuesta sobre el origen de la energía oscura". Gravitación y cosmología . 19 (2): 106–113. Bibcode :2013GrCo...19..106K. doi :10.1134/s0202289313020059. S2CID  121288092.

• Artículo de la revista Plus sobre geometría cuántica de Marianne Freiberger
• S. Majid, ed. (2008), Sobre el espacio y el tiempo , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-64168-6