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Commutative property

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In mathematics, a binary operation is commutative if changing the order of the operands does not change the result. It is a fundamental property of many binary operations, and many mathematical proofs depend on it. Perhaps most familiar as a property of arithmetic, e.g. "3 + 4 = 4 + 3" or "2 × 5 = 5 × 2", the property can also be used in more advanced settings. The name is needed because there are operations, such as division and subtraction, that do not have it (for example, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); such operations are not commutative, and so are referred to as noncommutative operations.

The idea that simple operations, such as the multiplication and addition of numbers, are commutative was for many centuries implicitly assumed. Thus, this property was not named until the 19th century, when new algebraic structures started to be studied.[1]

Definition

A binary operation∗{\displaystyle *} on a setS is commutative if x∗y=y∗x{\displaystyle x*y=y*x} for all x,y∈S{\displaystyle x,y\in S}.[2] An operation that is not commutative is said to be noncommutative.[3]

One says that xcommutes with y or that x and ycommute under ∗{\displaystyle *} if[4]x∗y=y∗x.{\displaystyle x*y=y*x.}

So, an operation is commutative if every two elements commute.[4] An operation is noncommutative if there are two elements such that x∗y≠y∗x.{\displaystyle x*y\neq y*x.} This does not exclude the possibility that some pairs of elements commute.[3]

Examples

The cumulation of apples, which can be seen as an addition of natural numbers, is commutative.

Commutative operations

The addition of vectors is commutative, because a→+b→=b→+a→.{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}.}

Operaciones no conmutativas

  • La división no es conmutativa, ya que1÷2≠2÷1{\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}La resta no es conmutativa, ya que0−1≠1−0{\displaystyle 0-1\neq 1-0}Sin embargo, se clasifica más precisamente como anticonmutativo , ya queincógnita−y=−(y−incógnita){\displaystyle x-y=-(y-x)}por cadaincógnita{\displaystyle x}y​​y{\displaystyle y}⁠ . La exponenciación no es conmutativa, ya que23≠32{\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}(véase la ecuación x y = y x ). [ 9 ]
  • Algunas funciones de verdad no son conmutativas, ya que sus tablas de verdad son diferentes cuando se cambia el orden de los operandos. [ 10 ] Por ejemplo, las tablas de verdad para (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) y (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) son
  • La composición de funciones generalmente no es conmutativa. [ 11 ] Por ejemplo, siF(incógnita)=2incógnita+1{\displaystyle f(x)=2x+1}ygramo(incógnita)=3incógnita+7{\displaystyle g(x)=3x+7}. Entonces(F∘gramo)(incógnita)=F(gramo(incógnita))=2(3incógnita+7)+1=6incógnita+15{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}y(gramo∘F)(incógnita)=gramo(F(incógnita))=3(2incógnita+1)+7=6incógnita+10.{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10.}
  • La multiplicación de matrices cuadradas de una dimensión dada es una operación no conmutativa, excepto para1×1{\displaystyle 1\times 1}Matrices. Por ejemplo : [ 12 ][0201]=[1101][0101]≠[0101][1101]=[0101]{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}
  • El producto vectorial (o producto cruz ) de dos vectores en tres dimensiones es anticonmutativo ; es decir,b×a=−(a×b){\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {a} =-(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}. [ 13 ]
  • La multiplicación de cuaterniones no es conmutativa, ya queij=−ij{\displaystyle \mathbf {ij} =-\mathbf {ij} }, donde​i{\displaystyle \mathbf {i} }y​​j{\displaystyle \mathbf {j} }son dos de los cuaterniones base.

Estructuras conmutativas

Algunos tipos de estructuras algebraicas implican una operación que no requiere conmutatividad. Si esta operación es conmutativa para una estructura específica, a menudo se dice que la estructura es conmutativa . Por lo tanto,

Sin embargo, en el caso de las álgebras , la frase " álgebra conmutativa " se refiere únicamente a las álgebras asociativas que tienen una multiplicación conmutativa. [ 18 ]

Historia y etimología

El primer uso conocido del término se registró en una revista francesa publicada en 1814.

Los registros del uso implícito de la propiedad conmutativa se remontan a la antigüedad. Los egipcios la utilizaban para simplificar el cálculo de productos . [ 19 ] Se sabe que Euclides asumió la propiedad conmutativa de la multiplicación en sus Elementos . [ 20 ] Los usos formales de la propiedad conmutativa surgieron a finales del siglo XVIII y principios del XIX, cuando los matemáticos comenzaron a trabajar en una teoría de funciones. Hoy en día, la propiedad conmutativa es una propiedad básica y bien conocida que se utiliza en la mayoría de las ramas de las matemáticas. [ 2 ]

El primer uso registrado del término conmutativo se encuentra en unas memorias de François Servois de 1814, donde se utiliza la palabra conmutativos para describir funciones que poseen lo que hoy se denomina la propiedad conmutativa. [ 21 ] Conmutativo es la forma femenina del adjetivo francés commutatif , derivado del sustantivo francés commutation y del verbo francés commuter , que significa «intercambiar» o «cambiar», un cognado de to commute . El término apareció posteriormente en inglés en 1838, en el artículo de Duncan Gregory titulado «On the real nature of symbolical algebra», publicado en 1840 en las Transactions of the Royal Society of Edinburgh . [ 22 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Rice 2011 , pág. 4 . 
  2. 1 2 Saracino 2008 , pág. 11 . 
  3. 1 2 Hall 1966 , págs. 262–263 . 
  4. 1 2 Lovett 2022 , pág. 12 . 
  5. ↑ Rosen 2013 , Véase el Apéndice I.
  6. ↑ Sterling 2009 , pág. 248 . 
  7. ↑ Johnson 2003 , pág. 642 . 
  8. ↑ O'Regan 2008 , pág. 33 . 
  9. ^ Posamentier y col. 2013 , pág. 71 . 
  10. ↑ Medina y col. 2004 , pág. 617 . 
  11. ↑ Tarasov 2008 , pág. 56 . 
  12. ↑ Cooke 2014 , pág. 7 . 
  13. ^ Haghighi, Kumar y Mishev 2024 , pág. 118 . 
  14. ↑ Grillet 2001 , págs. 1–2.
  15. ↑ Grillet 2001 , pág. 3.
  16. ↑ Gallian 2006 , pág. 34.
  17. ↑ Gallian 2006 , pág. 236.
  18. ↑ Tuset 2025 , pág. 99 . 
  19. ↑ Gay & Shute 1987 , pág . 16-17 . 
  20. ↑ Barbeau 1968 , pág. 183. Véase el Libro VII, Proposición 5 , en la edición en línea de los Elementos de Euclides de David E. Joyce. 
  21. ↑ Allaire y Bradley 2002 .
  22. ↑ Rice 2011 , pág. 4 ; Gregory 1840 . 

Referencias

  • Allaire, Patricia R.; Bradley, Robert E. (2002). "El álgebra simbólica como fundamento del cálculo: la contribución de DF Gregory". Historia Mathematica . 29 (4): 395– 426. doi : 10.1006/hmat.2002.2358 .
  • Barbeau, Alice Mae (1968). Un enfoque histórico de la teoría de grupos . Vol.  2. Universidad de Wisconsin-Madison.
  • Cooke, Richard G. (2014). Matrices infinitas y espacios de secuencias . Dover Publications. ISBN 978-0-486-78083-2.
  • Gallian, Joseph (2006). Álgebra abstracta contemporánea (6.ª  ed.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.
  • Gay, Robins R.; Shute, Charles CD (1987). El papiro matemático de Rhind: un texto del antiguo Egipto . Museo Británico. ISBN 0-7141-0944-4.
  • Gregory, DF (1840). "Sobre la verdadera naturaleza del álgebra simbólica" . Transactions of the Royal Society of Edinburgh . 14 : 208–216 .
  • Grillet, PA (2001). Semigrupos conmutativos . Avances en Matemáticas. Vol.  2. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. doi : 10.1007/978-1-4757-3389-1 . ISBN 0-7923-7067-8. MR 2017849 . 
  • Haghighi, Aliakbar Montazer; Kumar, Abburi Anil; Mishev, Dimitar (2024). Matemática Superior para las Ciencias y la Ingeniería . Saltador. ISBN 978-981-99-5431-5.
  • Hall, FM (1966). Una introducción al álgebra abstracta, volumen 1. Nueva York: Cambridge University Press. MR 0197233 . 
  • Johnson, James L. (2003). Probabilidad y estadística para la informática . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-32672-4.
  • Lovett, Stephen (2022). Álgebra abstracta: Un primer curso . CRC Press. ISBN 978-1-000-60544-0.
  • Medina, Jesús; Ojeda-Aciego, Manuel; Valverde, Agustín; Vojtáš, Peter (2004). "Hacia la programación lógica multiadjunta biresiduada". En Conejo, Ricardo; Urretavizcaya, Maite; Pérez-de-la-Cruz, José-Luis (eds.). Temas de Actualidad en Inteligencia Artificial: X Congreso de la Asociación Española de Inteligencia Artificial, CAEPIA 2003, y V Congreso de Transferencia de Tecnología, TTIA 2003, 12-14 de noviembre de 2003 . Apuntes de conferencias sobre informática. vol.  3040. San Sebastián, España: Springer. doi : 10.1007/b98369 . ISBN 978-3-540-22218-7.
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  • Tarasov, Vasily (2008). Mecánica cuántica de sistemas no hamiltonianos y disipativos . Vol.  7 (1.ª  ed.). Elsevier. ISBN 978-0-08-055971-1.
  • Tuset, Lars (2025). Álgebra abstracta a través de números . Cham: Springer. doi : 10.1007/978-3-031-74623-9 . ISBN 978-3-031-74622-2. MR 4886847 .