Probabilidad de desplazamiento

En matemáticas , y más precisamente en teoría de grupos , la probabilidad de conmutación (también llamada grado de conmutatividad ) de un grupo finito es la probabilidad de que dos elementos elegidos al azar conmuten . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Se puede utilizar para medir cuán cerca de ser abeliano está un grupo finito. Se puede generalizar a grupos infinitos equipados con una medida de probabilidad adecuada , ^{[ 3 ]} y también se puede generalizar a otras estructuras algebraicas como los anillos . ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle G}$sea ​​un grupo finito . Definimos${\displaystyle p(G)}$como el número promedio de pares de elementos de${\displaystyle G}$que se desplazan diariamente:

${\displaystyle p(G):={\frac {1}{\#G^{2}}}\#\!\left\{(x,y)\in G^{2}\mid xy=yx\right\}}$

dónde${\displaystyle \#X}$denota la cardinalidad de un conjunto finito${\displaystyle X}$.

Si se considera la distribución uniforme en${\displaystyle G^{2}}$,${\displaystyle p(G)}$es la probabilidad de que dos elementos elegidos al azar de${\displaystyle G}$desplazamiento diario. Por eso${\displaystyle p(G)}$se denomina probabilidad de conmutación de${\displaystyle G}$.

• El grupo finito${\displaystyle G}$es abeliano si y solo si${\displaystyle p(G)=1}$.
• Uno tiene

${\displaystyle p(G)={\frac {k(G)}{\#G}}}$

dónde${\displaystyle k(G)}$es el número de clases de conjugación de${\displaystyle G}$.

• Si${\displaystyle G}$entonces no es abeliano${\displaystyle p(G)\leq 5/8}$(este resultado a veces se denomina teorema 5/8 ^{[ 5 ]} ) y esta cota superior es precisa: hay infinitos grupos finitos${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle p(G)=5/8}$, siendo el más pequeño el grupo diedral de orden 8 .
• No existe un límite inferior uniforme en${\displaystyle p(G)}$De hecho, para cada entero positivo${\displaystyle n}$existe un grupo finito${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle p(G)=1/n}$.
• Si${\displaystyle G}$no es abeliano sino simple , entonces${\displaystyle p(G)\leq 1/12}$(este límite superior se alcanza mediante${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{5}}$, el grupo alternante de grado 5).
• El conjunto de probabilidades de conmutación de grupos finitos está bien ordenado inversamente, y el reverso de su tipo de orden es${\displaystyle \omega ^{\omega }}$. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

• La probabilidad de conmutación puede definirse para otras estructuras algebraicas como los anillos finitos . ^{[ 4 ]} El teorema 5/8 también se aplica a los anillos finitos. ^{[ 8 ]}
• La probabilidad de conmutación se puede definir para grupos compactos infinitos ; la medida de probabilidad es entonces, después de una renormalización, la medida de Haar . ^{[ 3 ]}