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Hamiltoniano (mecánica cuántica)

En mecánica cuántica , el hamiltoniano de un sistema es un operador que corresponde a la energía total de dicho sistema, incluyendo tanto la energía cinética como la potencial ....

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En mecánica cuántica , el hamiltoniano de un sistema es un operador que corresponde a la energía total de dicho sistema, incluyendo tanto la energía cinética como la potencial . Su espectro , es decir, el espectro energético del sistema o su conjunto de autovalores energéticos , es el conjunto de resultados posibles que se pueden obtener al medir la energía total del sistema. Debido a su estrecha relación con el espectro energético y la evolución temporal del sistema, es de fundamental importancia en la mayoría de las formulaciones de la teoría cuántica .

El hamiltoniano recibe su nombre de William Rowan Hamilton , quien desarrolló una reformulación revolucionaria de la mecánica newtoniana , conocida como mecánica hamiltoniana , que fue históricamente importante para el desarrollo de la física cuántica. De forma similar a la notación vectorial , se suele denotar porH^{\displaystyle {\hat {H}}}, donde el sombrero indica que es un operador. También se puede escribir comoH{\displaystyle H}oHˇ{\displaystyle {\check {H}}}.

Introducción

El hamiltoniano de un sistema representa la energía total del sistema; es decir, la suma de las energías cinética y potencial de todas las partículas asociadas al sistema. El hamiltoniano adopta diferentes formas y, en algunos casos, puede simplificarse teniendo en cuenta las características específicas del sistema analizado, como la presencia de una o varias partículas, la interacción entre ellas y el tipo de energía potencial (potencial variable en el tiempo o independiente del tiempo).

Hamiltoniano de Schrödinger

Una partícula

Por analogía con la mecánica clásica , el hamiltoniano se expresa comúnmente como la suma de operadores correspondientes a las energías cinética y potencial de un sistema en la forma H^=T^+V^,{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},} dónde V^=V=V(r,t),{\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r},t),} es el operador de energía potencial yT^=pag^⋅pag^2metro=pag^22metro=−ℏ22metro∇2,{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},} es el operador de energía cinética en el quemetro{\displaystyle m}es la masa de la partícula, el punto denota el producto escalar de vectores y pag^=−iℏ∇,{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,} es el operador de momento donde un∇{\displaystyle \nabla }es el operador del . El producto escalar de∇{\displaystyle \nabla }con sí mismo es el Laplaciano∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}En tres dimensiones, utilizando coordenadas cartesianas, el operador de Laplace es ∇2=∂2∂incógnita2+∂2∂y2+∂2∂z2{\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}

Aunque esta no es la definición técnica del hamiltoniano en mecánica clásica , es la forma que suele adoptar. La combinación de ambas da como resultado la forma utilizada en la ecuación de Schrödinger : H^=T^+V^=pag^⋅pag^2metro+V(r,t)=−ℏ22metro∇2+V(r,t){\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}} lo que permite aplicar el hamiltoniano a sistemas descritos por una función de onda.Ψ(r,t){\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}Este es el enfoque que se suele adoptar en los tratamientos introductorios de la mecánica cuántica, utilizando el formalismo de la mecánica ondulatoria de Schrödinger.

También se pueden realizar sustituciones en ciertas variables para adaptarlas a casos específicos, como algunos que involucran campos electromagnéticos.

Valor esperado

Se puede demostrar que el valor esperado del hamiltoniano que da el valor esperado de la energía siempre será mayor o igual que el potencial mínimo del sistema.

Consideremos el cálculo del valor esperado de la energía cinética: T=−ℏ22metro∫−∞+∞ψ∗d2ψdincógnita2dincógnita=−ℏ22metro([ψ′(incógnita)ψ∗(incógnita)]−∞+∞−∫−∞+∞dψdincógnitadψ∗dincógnitadincógnita)=ℏ22metro∫−∞+∞|dψdincógnita|2dincógnita≥0{\displaystyle {\begin{aligned}T&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx\\[1ex]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]}_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\psi }{dx}}{\frac {d\psi ^{*}}{dx}}\,dx\right)\\[1ex]&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}}

Por lo tanto, el valor esperado de la energía cinética siempre es no negativo. Este resultado se puede utilizar para calcular el valor esperado de la energía total, que para una función de onda normalizada se expresa como: mi=T+⟨V(incógnita)⟩=T+∫−∞+∞V(incógnita)|ψ(incógnita)|2dincógnita≥Vmin(incógnita)∫−∞+∞|ψ(incógnita)|2dincógnita≥Vmin(incógnita){\displaystyle E=T+\langle V(x)\rangle =T+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)} lo cual completa la demostración. De manera similar, la condición puede generalizarse a cualquier dimensión superior utilizando el teorema de la divergencia .

Muchas partículas

El formalismo puede extenderse anorte{\displaystyle N}partículas: H^=∑norte=1norteT^norte+V^{\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}} dónde V^=V(r1,r2,…,rnorte,t),{\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),} es la función de energía potencial, ahora una función de la configuración espacial del sistema y del tiempo (un conjunto particular de posiciones espaciales en algún instante de tiempo define una configuración) y T^norte=pag^norte⋅pag^norte2metronorte=−ℏ22metronorte∇norte2{\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}} es el operador de energía cinética de la partículanorte{\displaystyle n},∇norte{\displaystyle \nabla _{n}}es el gradiente para partículanorte{\displaystyle n}, y∇norte2{\displaystyle \nabla _{n}^{2}}es el laplaciano para la partícula n : ∇norte2=∂2∂incógnitanorte2+∂2∂ynorte2+∂2∂znorte2,{\displaystyle \nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},}

La combinación de estos produce el hamiltoniano de Schrödinger para elnorte{\displaystyle N}-caso de partículas: H^=∑norte=1norteT^norte+V^=∑norte=1nortepag^norte⋅pag^norte2metronorte+V(r1,r2,…,rnorte,t)=−ℏ22∑norte=1norte1metronorte∇norte2+V(r1,r2,…,rnorte,t){\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}}

Sin embargo, pueden surgir complicaciones en el problema de muchos cuerpos . Dado que la energía potencial depende de la disposición espacial de las partículas, la energía cinética también dependerá de la configuración espacial para conservar la energía. El movimiento debido a cualquier partícula variará debido al movimiento de todas las demás partículas del sistema. Por esta razón, pueden aparecer términos cruzados para la energía cinética en el hamiltoniano; una mezcla de los gradientes para dos partículas: −ℏ22METRO∇i⋅∇j{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}} dóndeMETRO{\displaystyle M}denota la masa del conjunto de partículas que resulta en esta energía cinética adicional. Los términos de esta forma se conocen como términos de polarización de masa y aparecen en el hamiltoniano de átomos de muchos electrones (véase más abajo).

Paranorte{\displaystyle N}partículas interactuantes, es decir partículas que interactúan entre sí y constituyen una situación de muchos cuerpos, la función de energía potencialV{\displaystyle V}No se trata simplemente de una suma de los potenciales individuales (y ciertamente no de un producto, ya que esto sería dimensionalmente incorrecto). La función de energía potencial solo puede escribirse como se indicó anteriormente: una función de todas las posiciones espaciales de cada partícula.

Para partículas que no interactúan, es decir, partículas que no interactúan entre sí y se mueven independientemente, el potencial del sistema es la suma de la energía potencial separada para cada partícula, [ 1 ] es decir V=∑i=1norteV(ri,t)=V(r1,t)+V(r2,t)+⋯+V(rnorte,t){\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}

La forma general del hamiltoniano en este caso es: H^=−ℏ22∑i=1norte1metroi∇i2+∑i=1norteVi=∑i=1norte(−ℏ22metroi∇i2+Vi)=∑i=1norteH^i{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}} donde la suma se realiza sobre todas las partículas y sus potenciales correspondientes; el resultado es que el hamiltoniano del sistema es la suma de los hamiltonianos individuales de cada partícula. Esta es una situación idealizada; en la práctica, las partículas casi siempre están influenciadas por algún potencial y existen interacciones de muchos cuerpos. Un ejemplo ilustrativo de una interacción de dos cuerpos donde esta forma no se aplicaría es el de los potenciales electrostáticos debidos a partículas cargadas, ya que interactúan entre sí mediante la interacción de Coulomb (fuerza electrostática), como se muestra a continuación.

ecuación de Schrödinger

El hamiltoniano genera la evolución temporal de los estados cuánticos. Si|ψ(t)⟩{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }es el estado del sistema en el momentot{\displaystyle t}, entonces H|ψ(t)⟩=iℏd dt|ψ(t)⟩.{\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over \ dt}\left|\psi (t)\right\rangle .}

Esta ecuación es la ecuación de Schrödinger . Tiene la misma forma que la ecuación de Hamilton-Jacobi , que es una de las razones.H{\displaystyle H}También se le llama hamiltoniano. Dado el estado en un tiempo inicial (t=0{\displaystyle t=0}), podemos resolverlo para obtener el estado en cualquier momento posterior. En particular, siH{\displaystyle H}es independiente del tiempo, entonces |ψ(t)⟩=mi−iHt/ℏ|ψ(0)⟩.{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}

El operador exponencial en el lado derecho de la ecuación de Schrödinger se define generalmente mediante la serie de potencias correspondiente enH{\displaystyle H}Cabe señalar que tomar polinomios o series de potencias de operadores no acotados que no están definidos en todas partes puede carecer de sentido matemático. Rigurosamente, para tomar funciones de operadores no acotados, se requiere un cálculo funcional . En el caso de la función exponencial, basta con el cálculo funcional continuo o simplemente el holomorfo . Sin embargo, cabe destacar que para cálculos comunes, la formulación de los físicos es suficiente.

Por la propiedad de homomorfismo *- del cálculo funcional, el operador U=mi−iHt/ℏ{\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }} es un operador unitario . Es el operador de evolución temporal o propagador de un sistema cuántico cerrado. Si el hamiltoniano es independiente del tiempo,{U(t)}{\displaystyle \{U(t)\}}forman un grupo unitario de un parámetro (más que un semigrupo ); esto da lugar al principio físico de equilibrio detallado .

formalismo de Dirac

Sin embargo, en el formalismo más general de Dirac , el hamiltoniano se implementa típicamente como un operador en un espacio de Hilbert de la siguiente manera:

Los eigenkets deH{\displaystyle H}, denotado|a⟩{\displaystyle \left|a\right\rangle }, proporcionan una base ortonormal para el espacio de Hilbert. El espectro de niveles de energía permitidos del sistema viene dado por el conjunto de autovalores, denotado{mia}{\displaystyle \{E_{a}\}}, resolviendo la ecuación: H|a⟩=mia|a⟩.{\displaystyle H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .}

DesdeH{\displaystyle H}es un operador hermitiano , la energía siempre es un número real .

Desde un punto de vista matemáticamente riguroso, es necesario tener cuidado con las suposiciones anteriores. Los operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita no necesariamente tienen autovalores (el conjunto de autovalores no coincide necesariamente con el espectro de un operador ). Sin embargo, todos los cálculos rutinarios de mecánica cuántica pueden realizarse utilizando la formulación física.

Expresiones para el hamiltoniano

A continuación se presentan expresiones para el hamiltoniano en diversas situaciones. [ 2 ] Las formas típicas de clasificar las expresiones son el número de partículas, el número de dimensiones y la naturaleza de la función de energía potencial, especialmente la dependencia espacial y temporal. Las masas se denotan pormetro{\displaystyle m}y cargos porq{\displaystyle q}.

Partícula libre

La partícula no está ligada a ninguna energía potencial, por lo que el potencial es cero y este hamiltoniano es el más simple. Para una dimensión: H^=−ℏ22metro∂2∂incógnita2{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}} y en dimensiones superiores: H^=−ℏ22metro∇2{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}

pozo de potencial constante

Para una partícula en una región de potencial constanteV=V0{\displaystyle V=V_{0}}(sin dependencia del espacio ni del tiempo), en una dimensión, el hamiltoniano es: H^=−ℏ22metro∂2∂incógnita2+V0{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}} en tres dimensiones H^=−ℏ22metro∇2+V0{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}

Esto se aplica al problema elemental de la " partícula en una caja " y a los potenciales escalonados .

oscilador armónico simple

Para un oscilador armónico simple en una dimensión, el potencial varía con la posición (pero no con el tiempo), según: V=k2incógnita2=metroω22incógnita2{\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}} donde la frecuencia angularω{\displaystyle \omega }, constante elástica efectivak{\displaystyle k}y masametro{\displaystyle m}del oscilador satisface: ω2=kmetro{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}} Por lo tanto, el hamiltoniano es: H^=−ℏ22metro∂2∂incógnita2+metroω22incógnita2{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}

Para tres dimensiones, esto se convierte en H^=−ℏ22metro∇2+metroω22r2{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}} donde el vector de posición tridimensionalr{\displaystyle \mathbf {r} }usar coordenadas cartesianas es(incógnita,y,z){\displaystyle (x,y,z)}, su magnitud es r2=r⋅r=|r|2=incógnita2+y2+z2{\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Al escribir el hamiltoniano completo, se observa que es simplemente la suma de los hamiltonianos unidimensionales en cada dirección: H^=−ℏ22metro(∂2∂incógnita2+∂2∂y2+∂2∂z2)+metroω22(incógnita2+y2+z2)=(−ℏ22metro∂2∂incógnita2+metroω22incógnita2)+(−ℏ22metro∂2∂y2+metroω22y2)+(−ℏ22metro∂2∂z2+metroω22z2){\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}}

Rotor rígido

Para un rotor rígido —es decir, un sistema de partículas que pueden girar libremente alrededor de cualquier eje, no ligadas a ningún potencial (como moléculas libres con grados de libertad vibracionales despreciables , por ejemplo, debido a enlaces químicos dobles o triples ), el hamiltoniano es: H^=−ℏ22IincógnitaincógnitaJ^incógnita2−ℏ22IyyJ^y2−ℏ22IzzJ^z2{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}} dóndeIincógnitaincógnita{\displaystyle I_{xx}},Iyy{\displaystyle I_{yy}}, yIzz{\displaystyle I_{zz}}son los componentes del momento de inercia (técnicamente los elementos diagonales del tensor del momento de inercia ), yJ^incógnita{\displaystyle {\hat {J}}_{x}},J^y{\displaystyle {\hat {J}}_{y}}, yJ^z{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}son los operadores de momento angular total (componentes), alrededor delincógnita{\displaystyle x},y{\displaystyle y}, yz{\displaystyle z}ejes respectivamente.

Potencial electrostático (de Coulomb)

La energía potencial de Coulomb para dos cargas puntualesq1{\displaystyle q_{1}}yq2{\displaystyle q_{2}}(es decir, aquellos que no tienen extensión espacial de forma independiente), en tres dimensiones, es (en unidades del SI —en lugar de unidades gaussianas que se utilizan con frecuencia en electromagnetismo ): V=q1q24πε0|r|{\displaystyle V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}}

Sin embargo, este es solo el potencial de una carga puntual debido a otra. Si hay muchas partículas cargadas, cada carga tiene una energía potencial debido a todas las demás cargas puntuales (excepto a sí misma). Paranorte{\displaystyle N}cargas, la energía potencial de cargaqj{\displaystyle q_{j}}debido a todas las demás cargas es (véase también Energía potencial electrostática almacenada en una configuración de cargas puntuales discretas ): [ 3 ]Vj=12∑i≠jqiϕ(ri)=18πε0∑i≠jqiqj|ri−rj|{\displaystyle V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}} dóndeϕ(ri){\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}es el potencial electrostático de cargaqj{\displaystyle q_{j}}enri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}. El potencial total del sistema es entonces la suma sobrej{\displaystyle j}: V=18πε0∑j=1norte∑i≠jqiqj|ri−rj|{\displaystyle V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}} Por lo tanto, el hamiltoniano es: H^=−ℏ22∑j=1norte1metroj∇j2+18πε0∑j=1norte∑i≠jqiqj|ri−rj|=∑j=1norte(−ℏ22metroj∇j2+18πε0∑i≠jqiqj|ri−rj|){\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}}

Dipolo eléctrico en un campo eléctrico

Para un momento dipolar eléctricod{\displaystyle \mathbf {d} }constituyendo cargas de magnitudq{\displaystyle q}, en un campo electrostático uniforme (independiente del tiempo)mi{\displaystyle \mathbf {E} }, situado en un solo lugar, el potencial es: V=−d^⋅mi{\displaystyle V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} } El momento dipolar en sí mismo es el operador. d^=qr^{\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }

Dado que la partícula está estacionaria, no hay energía cinética de traslación del dipolo, por lo que el hamiltoniano del dipolo es simplemente la energía potencial: H^=−d^⋅mi=−qr^⋅mi{\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E} }

Dipolo magnético en un campo magnético

Para un momento dipolar magnéticoμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}en un campo magnetostático uniforme (independiente del tiempo)B{\displaystyle \mathbf {B} }, situado en un solo lugar, el potencial es: V=−μ⋅B{\displaystyle V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }

Dado que la partícula está estacionaria, no hay energía cinética de traslación del dipolo, por lo que el hamiltoniano del dipolo es simplemente la energía potencial: H^=−μ⋅B{\displaystyle {\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }

Para una partícula de espín 1/2 , el momento magnético de espín correspondiente es: [ 4 ]μS=gramosmi2metroS{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} } dóndegramos{\displaystyle g_{s}}es el " factor g de espín " (que no debe confundirse con la relación giromagnética ),mi{\displaystyle e}es la carga del electrón,S{\displaystyle \mathbf {S} }es el vector del operador de espín , cuyos componentes son las matrices de Pauli , por lo tanto H^=gramosmi2metroS⋅B{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} }

Partícula cargada en un campo electromagnético

Para una partícula con masametro{\displaystyle m}y cobrarq{\displaystyle q}en un campo electromagnético, descrito por el potencial escalarϕ{\displaystyle \phi }y potencial vectorialA{\displaystyle \mathbf {A} }, hay dos partes del hamiltoniano que sustituir. [ 1 ] El operador de momento canónicopag^{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }, que incluye una contribución de laA{\displaystyle \mathbf {A} }campo y cumple la relación de conmutación canónica , debe ser cuantizado; pag^=metror˙+qA,{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} ,} dóndemetror˙{\displaystyle m{\dot {\mathbf {r} }}}es el momento cinético . La prescripción de cuantización dice: pag^=−iℏ∇,{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla ,} por lo que el operador de energía cinética correspondiente es T^=12metror˙⋅r˙=12metro(pag^−qA)2{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}} y la energía potencial, que se debe a laϕ{\displaystyle \phi }campo, está dado por V^=qϕ.{\displaystyle {\hat {V}}=q\phi .}

Al convertir todo esto en el hamiltoniano se obtiene H^=12metro(−iℏ∇−qA)2+qϕ.{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .}

Degeneración, simetría y leyes de conservación de los autoestados de energía

En muchos sistemas, dos o más autoestados de energía tienen la misma energía. Un ejemplo sencillo de esto es una partícula libre, cuyos autoestados de energía tienen funciones de onda que son ondas planas que se propagan. La energía de cada una de estas ondas planas es inversamente proporcional al cuadrado de su longitud de onda . Una onda que se propaga en elincógnita{\displaystyle x}La dirección es un estado diferente al que se propaga en lay{\displaystyle y}dirección, pero si tienen la misma longitud de onda, entonces sus energías serán las mismas. Cuando esto sucede, se dice que los estados son degenerados .

Resulta que la degeneración ocurre siempre que un operador unitario no trivialU{\displaystyle U}conmuta con el hamiltoniano. Para ver esto, supongamos que|a⟩{\displaystyle |a\rangle }es un eigenket de energía. EntoncesU|a⟩{\displaystyle U|a\rangle }es un eigenket de energía con el mismo valor propio, ya que UH|a⟩=Umia|a⟩=mia(U|a⟩)=H(U|a⟩).{\displaystyle UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).}

DesdeU{\displaystyle U}no es trivial, al menos un par de|a⟩{\displaystyle |a\rangle }yU|a⟩{\displaystyle U|a\rangle }deben representar estados distintos. Por lo tanto,H{\displaystyle H}tiene al menos un par de autovalores de energía degenerados. En el caso de la partícula libre, el operador unitario que produce la simetría es el operador de rotación , que rota las funciones de onda en cierto ángulo mientras conserva su forma.

La existencia de un operador de simetría implica la existencia de un observable conservado . SeaGRAMO{\displaystyle G}ser el generador hermitiano deU{\displaystyle U}: U=I−iεGRAMO+O(ε2){\displaystyle U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})}

Es sencillo demostrar que siU{\displaystyle U}se desplaza conH{\displaystyle H}, entonces también lo haceGRAMO{\displaystyle G}: [H,GRAMO]=0{\displaystyle [H,G]=0}

Por lo tanto, ∂∂t⟨ψ(t)|GRAMO|ψ(t)⟩=1iℏ⟨ψ(t)|[GRAMO,H]|ψ(t)⟩=0.{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.}

Para obtener este resultado, hemos utilizado la ecuación de Schrödinger, así como su dual , ⟨ψ(t)|H=−iℏd dt⟨ψ(t)|.{\displaystyle \langle \psi (t)|H=-i\hbar {d \over \ dt}\langle \psi (t)|.}

Por lo tanto, el valor esperado del observableGRAMO{\displaystyle G}se conserva para cualquier estado del sistema. En el caso de la partícula libre, la cantidad conservada es el momento angular .

Ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton en la mecánica hamiltoniana clásica tienen una analogía directa en la mecánica cuántica. Supongamos que tenemos un conjunto de estados base.{|norte⟩}{\displaystyle \left\{\left|n\right\rangle \right\}}, que no necesariamente tienen que ser autoestados de la energía. Para simplificar, asumimos que son discretos y que son ortonormales, es decir, ⟨norte′|norte⟩=δnortenorte′{\displaystyle \langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}}

Cabe señalar que se supone que estos estados base son independientes del tiempo. Supondremos también que el hamiltoniano es independiente del tiempo.

El estado instantáneo del sistema en el tiempot{\displaystyle t},|ψ(t)⟩{\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }, puede expandirse en términos de estos estados base: |ψ(t)⟩=∑norteanorte(t)|norte⟩{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle } dónde anorte(t)=⟨norte|ψ(t)⟩.{\displaystyle a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .}

Los coeficientesanorte(t){\displaystyle a_{n}(t)}son variables complejas . Podemos tratarlas como coordenadas que especifican el estado del sistema, al igual que las coordenadas de posición y momento que especifican un sistema clásico. Como las coordenadas clásicas, generalmente no son constantes en el tiempo, y su dependencia temporal da lugar a la dependencia temporal del sistema en su conjunto.

El valor esperado del hamiltoniano de este estado, que también es la energía media, es ⟨H(t)⟩=dmiF⟨ψ(t)|H|ψ(t)⟩=∑nortenorte′anorte′∗anorte⟨norte′|H|norte⟩{\displaystyle \langle H(t)\rangle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle } donde el último paso se obtuvo mediante la expansión|ψ(t)⟩{\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }en términos de los estados base.

Cadaanorte(t){\displaystyle a_{n}(t)}En realidad corresponde a dos grados de libertad independientes, ya que la variable tiene una parte real y una parte imaginaria. Ahora realizamos el siguiente truco: en lugar de usar las partes real e imaginaria como variables independientes, usamosanorte(t){\displaystyle a_{n}(t)}y su conjugado complejoanorte∗(t){\displaystyle a_{n}^{*}(t)}Con esta elección de variables independientes, podemos calcular la derivada parcial.∂⟨H⟩∂anorte′∗=∑norteanorte⟨norte′|H|norte⟩=⟨norte′|H|ψ⟩{\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle }

Aplicando la ecuación de Schrödinger y utilizando la ortonormalidad de los estados base, esto se reduce aún más a ∂⟨H⟩∂anorte′∗=iℏ∂anorte′∂t{\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}}

De manera similar, se puede demostrar que ∂⟨H⟩∂anorte=−iℏ∂anorte∗∂t{\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}}

Si definimos variables de "momento conjugado"πnorte{\displaystyle \pi _{n}}por πnorte(t)=iℏanorte∗(t){\displaystyle \pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)} Entonces las ecuaciones anteriores se convierten en: ∂⟨H⟩∂πnorte=∂anorte∂t,∂⟨H⟩∂anorte=−∂πnorte∂t{\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}} que es precisamente la forma de las ecuaciones de Hamilton, con laanorte{\displaystyle a_{n}}s como las coordenadas generalizadas, elπnorte{\displaystyle \pi _{n}}s como los momentos conjugados, y⟨H⟩{\displaystyle \langle H\rangle }tomando el lugar del hamiltoniano clásico.

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª  ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-87373-X.
  2. ↑ Atkins, PW (1974). Quanta: A Handbook of Concepts . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
  3. ↑ Grant, IS; Phillips, WR (2008). Electromagnetismo . Serie de Física de Manchester (2.ª ed.). ISBN  978-0-471-92712-9.
  4. ↑ Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas . Longman. ISBN 0-582-44401-2.

Lecturas adicionales

  • Schrödinger, Erwin (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem" [ Cuantización como problema de valores propios ] . Annalen der Physik (en alemán). 79 (4): 361– 376. Bibcode : 1926AnP...384..361S . doi : 10.1002/andp.19263840404 . Este artículo es fundamental en mecánica cuántica, ya que introduce la ecuación de Schrödinger y su aplicación al operador hamiltoniano.
  • Dirac, Paul AM (1928). "La teoría cuántica del electrón" . Actas de la Royal Society de Londres . Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico. 117 (778): 610–624 . Bibcode : 1928RSPSA.117..610D . doi : 10.1098/rspa.1928.0023 . Este artículo introdujo la ecuación de Dirac , que unificó la mecánica cuántica con la relatividad especial y explicó el espín del electrón.
  • Von Neumann, John (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [ Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica ] . Berlín: Springer. Traducida al inglés en 1955, la obra de Von Neumann formalizó la mecánica cuántica utilizando espacios de Hilbert y operadores lineales. Sigue siendo una obra fundamental en este campo.
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